Quel forme a lunivers

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(No Transcript)
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• TPE 2004/2005
• DECONINCK Florian
• TAKADOUM Zacharie

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Plan de lexposé

• I  Lhomme à la découverte de lunivers
• Dans cette première partie, nous aborderons la
  naissance et les premiers
• balbutiements de la cosmologie, cette science qui
  sintéresse justement à la
• forme et à la structure de lunivers.
• II La courbure de lunivers
• La courbure est une caractéristique de tout
  espace quil est indispensable de
• déterminer avant de sintéresser à sa forme
  globale, sa topologie.
• III  La topologie de lunivers
• La topologie est précisément la forme de
  lunivers. On verra que la notion de
• topologie dun espace est bien plus précise que
  la notion commune de
•  forme .
• Conclusion

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I Lhomme à la découverte de lunivers

• 1. Introduction à la cosmologie

La cosmologie, du grec cosmos, lunivers, est la
science qui sintéresse à lunivers dans sa
globalité. Cest en cela quelle est différente
de lastronomie ou de lastrophysique qui sont
des sciences portant sur des objets célestes ou
sur des phénomènes. Quest-ce que lunivers?Le
mot univers vient du latin universum qui signifie
intégral.Lunivers est lensemble de tout ce qui
existe dans lespace et dans le temps. La
cosmologie qui étudie la forme de lespace étudie
en fait lespace en tant que conteneur plutôt que
contenu. Lorsquelle étudie la forme de
lunivers, elle se doit donc détudier la forme
de lespace et celle du temps.
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I Lhomme à la découverte de lunivers

• 2. Les débuts de la cosmologie

Jusquau XVIème siècle, lil humain fut le seul
outil dobservation de lunivers. Les Grecs sont
les premiers à avoir émis un premier modèle
cosmologique, en fait basé uniquement sur
limaginaire des hommes. En effet, selon
Aristote, IVème siècle av. J.-C., il existerait
dans l'univers 4 éléments la Terre, l'Eau, le
Feu et l'Air. Lunivers serait une sphère, donc
il serait fini, et la Terre serait à son centre.
Les planètes et les étoiles baigneraient non pas
dans le vide mais dans un milieu appelé Ether.
Aristote ignorait par contre tout de la réelle
disposition des planètes et des étoiles dans
lunivers. Un autre Grec, Eudoxe de Cnide
imagina un modèle dunivers géocentrique, limité
au système solaire, et dans lequel il décrivit
les planètes et leurs orbites (qui savérèrent
être erronées). Ce modèle fut repris et arrangé
par Ptolémée en 140 av. J.-C.. Tous les modèles
furent détrônés par le modèle héliocentrique de
Copernic en 1543 qui a pu être réalisé grâce aux
nombreuses observations dues à la lunette
astronomique.
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I Lhomme à la découverte de lunivers

• 3. Hubble, une révolution cosmologique

Mais jusque là les hommes sétaient seulement
intéressés à la petite partie de lunivers qui
leur était possible dobserver, à savoir le
système solaire. Jamais la science ne sétait
encore penchée sur lunivers dans sa globalité.
Cest avec Hubble que ce fut fait pour la
première fois.
En effet, Edwin Hubble (1889-1953), astronome
américain, fût le premier, dans les années 20, à
orienter ses recherches sur l'âge de l'Univers et
son expansion. Hubble fit de nombreuses
observations sur les galaxies et leur
déplacement  il constata un décalage du spectre
de toutes les galaxies vers le rouge. Il attribua
ce phénomène à un effet Doppler qui aurait pour
origine léloignement de toutes les galaxies par
rapport à la terre. Or comme lunivers est
généralement supposé homogène, Hubble en a
conclut que toutes les galaxies, et dune manière
générale tous les objets dans lunivers,
séloignent les uns des autres. Ainsi, en
remontant dans le temps, il doit inévitablement y
avoir un début de lunivers. Celui-ci nétait
alors quun point, la singularité initiale, qui a
donnée naissance au Big Bang, la naissance de
lunivers.
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I Lhomme à la découverte de lunivers

• 3. Hubble, une révolution cosmologique (suite)

La formule dHubble traduit le fait que toutes
les galaxies s'éloignent entre elles à une
vitesse proportionnelle à leur distance v
Ho x D v est la vitesse déloignement de deux
objets (en km/s) D est la distance séparant ces 2
objets (en Mpc) Ho est la constante dHubble
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I Lhomme à la découverte de lunivers

• 4. Principe cosmologique

• Au début du XXème siècle, les astrophysiciens
  sous légide dEinstein se sont mis daccord sur
  le principe cosmologique qui énonce en tant que
  postulats les hypothèses suivantes 
• la répartition de la matière dans lunivers est
  homogène (à grande échelle)
• lunivers est isotrope, cest-à-dire quil ny
  a pas de direction privilégiée dans la géométrie
  de lunivers (cette information est confirmée par
  les observations)
• Fort de ce principe cosmologique, nous pouvons
  maintenant aborder la cosmologie moderne
  puisquil en est le point de départ.

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II La courbure de lunivers

• 1. Einstein et la courbure de lespace-temps

En 1916, Albert Einstein publie la théorie de la
relativité générale. Cette théorie décrit les
forces dattraction gravitationnelles dune
nouvelle manière. Tout objet de masse non nulle
induit une courbure dans lespace-temps (un
espace auquel on ajoute une 4ème dimension
dordre temporelle, à laquelle il est
profondément lié), laquelle a pour effet
dattirer vers lui les objets environnants. A
défaut dune définition très rigoureuse de la
théorie, on peut intuitivement se représenter le
phénomène grâce à un schéma 
La boule bleue figure un objet ayant une masse,
la trame bleue lespace-temps ramené à une
surface et la ligne jaune la trajectoire dun
autre objet (ici un photon). On constate que le
photon glisse dans la cuvette qui est la courbure
de lespace-temps engendrée par la masse de la
boule.
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II La courbure de lunivers

• 2. Espaces et courbure

Nous allons maintenant chercher à connaître la
courbure moyenne de lunivers. Or univers
espace temps. En réalité, cest seulement à la
courbure de lespace que nous nous intéresserons,
puisque celle du temps ne nous est pas utile pour
déterminer la  forme du temps . Nous verrons
dans la seconde partie que la forme du temps
découle de la courbure de lespace. Sil est
facile de se représenter la courbure dune ligne
ou celle dune surface, il nen va pas de même
pour celle dun espace puisque nous ne disposons
pas dune dimension supérieure à la 3ème pour
pouvoir  observer  une courbure. Néanmoins,
tout en ne considérant que les trois dimensions
de lespace, nous pouvons prendre conscience de
sa courbure puisquelle en modifie la géométrie.
Cest un peu comme prendre conscience que la
terre nest pas plate mais est une sphère (donc
une surface ayant une certaine courbure). Cela
est par exemple possible en traçant un triangle à
sa surface est en calculant la somme de ses
angles.
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II La courbure de lunivers

• 2. Espaces et courbure (suite)

• Les différents types despaces selon leur
  courbure sont
• Si la courbure est nulle, nous avons à faire à
  un espace plat ou euclidien. Un tel espace est
  régi par la géométrie dEuclide. Cest la
  géométrie que nous pratiquons habituellement. On
  y retrouve donc tous les axiomes bien connus dits
  dEuclide (2 droites ne se coupent jamais, par 2
  points il ne passe quune droite, etc.) ainsi que
  les formules apprises à lécole telle que celle
  de la surface du cercle, ou encore le fait que la
  somme des angles dun triangle est toujours égale
  à 180.
• Si la courbure est positive, lespace est dit
  sphérique. Les règles de la géométrie dans un tel
  espace sont complètement modifiées  2 droites
  parallèles se coupent forcément à un moment où à
  un autre, la somme des angles dun triangle est
  supérieure à 180, etc.
• Si la courbure est négative, il sagit dun
  espace hyperbolique. La géométrie est là aussi
   étrange   2 droites parallèles séloignent
  lune de lautre, la somme des angles dun
  triangle est supérieure à 180, etc.

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II La courbure de lunivers

• 2. Espaces et courbure (suite)

La seule représentation mentale que lon puisse
se faire dun espace courbe consiste à le ramener
à 2 dimensions, donc à une surface ayant la même
courbure. Cest bien sûr une vision totalement
erronée mais on peut ainsi visualiser des
géométries non-euclidiennes. Mais attention, ne
surtout pas simaginer que lespace, parce quil
est sphérique, a la forme dune sphère. Encore
une fois, sur ces illustrations lespace est
représenté par une surface ! NB on note la
courbure K Sur la diapositive suivante vous
pouvez observer les 3 types espaces (sphérique,
plat et hyperbolique) ramenés à des surfaces.
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II La courbure de lunivers

• 2. Espaces et courbure

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II La courbure de lunivers

• 3. Le modèle cosmologique de Friedmann-Lemaître

En se basant sur les travaux dEinstein et sur le
principe cosmologique, les cosmologistes
Friedmann (Russe) et Lemaître (Français) ont mis
au point en 1927 un modèle cosmologique (en fait
un ensemble de formules) encore utilisé
aujourdhui. Ce modèle décrit la courbure de
lunivers (on entend par là la courbure moyenne
de tous les points de lunivers) selon la densité
moyenne de lunivers. Comme nous le verrons plus
tard, cest là une information essentielle pour
déterminer la forme de lunivers.
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II La courbure de lunivers

• 3. Le modèle cosmologique de Friedmann-Lemaître
  (suite)

• Le modèle définit un paramètre de densité O O
  ?/ ?c où ? est la densité de matière moyenne de
  lunivers et ?c une densité particulière
  déterminée mathématiquement la densité critique.
• Le modèle distingue trois cas selon la valeur de
  O
• Si O1 (? ?c ) alors la courbure de lunivers
  est nulle (K0), il est plat. Son volume est
  infini. Lunivers continuera son expansion à
  linfini mais en ralentissant petit à petit.
• Si Ogt1 (? gt ?c ) alors la courbure de lunivers
  est positive (Kgt0), il est de type sphèrique.
  Dans ce cas, lunivers est refermé sur lui-même
  (cest-à-dire quon peut en faire le tour
   comme  pour une sphère) et son volume est donc
  fini. La densité de matière dans lunivers est
  telle que, après sêtre dilaté un temps, il va
  finir par seffondrer sur lui-même en un
  gigantesque  Big Crunch , un symétrique du Big
  Bang.
• Si Olt1 (? lt ?c ) alors la courbure de lunivers
  est négative (Klt0), il est de type hyperbolique.
  Son volume est infini. De plus, lunivers
  continuera son expansion à linfini en
  accélérant.

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II La courbure de lunivers
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II La courbure de lunivers

• Alors, quel est la courbure de lunivers?

La courbure de lunivers pourrait être obtenue en
traçant des triangles et en calculant la somme de
leur angle. Vous me répondrez certainement que la
somme des angles dun triangle est égale à 180,
donc que la courbure de lespace qui nous
entoure, donc de lunivers, est nulle. Mais cest
une illusion due à léchelle effectivement à
notre échelle la courbure est nulle, mais à très
grande échelle, elle peut être complètement
différente. De la même manière, la terre nous
parait plate alors que cest une sphère! La
taille que doivent avoir ces  triangles
cosmiques  pour pouvoir observer une déviation
significative de la somme de leurs angles est
bien trop importante. Ainsi cette solution ne
convient pas.
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II La courbure de lunivers

• Alors, quel est la courbure de lunivers? (suite)

Cest en fait grâce au fond de rayonnement
cosmologique (micro-ondes émises lorsque
lunivers était très jeunes) que les
astrophysiciens étudient la courbure de lunivers.
Les sondes Boomerang et plus récemment COBE qui
ont mesuré le fond de rayonnement cosmologique
confirment que lunivers est quasiment plat,
éventuellement légèrement sphèrique.
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II La courbure de lunivers

• Alors, quel est la courbure de lunivers? (suite)

Tout ce que nous pouvons pour linstant affirmer
cest quil possède les propriétés géométriques
dun espace quasi-plat, éventuellement,
légèrement sphérique.
Quel est la forme de lunivers? La question
demeure, bien que la courbure de lunivers relève
déjà en quelque sorte de sa forme intrinsèque.
Maintenant que nous connaissons la courbure de
lunivers, nous allons pouvoir étudier
véritablement la forme de lunivers, sa topologie
pour employer le terme approprié.
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III La topologie de lunivers

• 1. Quest-ce que la topologie?

La topologie est une branche de la géométrie qui
classifie les espaces selon leur forme globale.
Topologie est également le nom que lon donne à
la forme globale dun objet, et cest à celle de
lunivers que nous allons nous intéresser. Mais
développons dabord notre intuition sur ce quest
une topologie.
Prenons lexemple de la sphère, qui est une
topologie (pour une surface). Toutes les formes
que lont peut obtenir par déformation continue
de la sphère (cest-à-dire en étirant ou en
déformant mais sans jamais couper ou trouer) sont
dites de même topologie. Ainsi une sphère a la
même topologie quun cube. De même, un tore (un
 beignet  a la même topologie quune tasse). Et
un double tore est topologiquement équivalent à
un ciseau ou encore à une théière !
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III La topologie de lunivers

• 2. Topologie du temps

• Le quotidien nous dicte que le temps est une
  grandeur unidimensionnelle et continue. Pour
  représenter le temps, il faudrait donc tracer une
  ligne. On a 2 possibilités pertinentes
• soit une ligne avec deux extrémités, un segment
  de droite. Lunivers est alors temporellement
  fini, cest le cas lorsque la courbure de
  lunivers (de lespace) est positive.
• soit une demi-droite. Lunivers est alors
  temporellement ouvert, ou infini. Cest le cas
  lorsque la courbure de lunivers (de lespace)
  est nulle ou négative.
• Léventualité dun temps sans début ni fin (une
  droite) est également rejetée car elle ne
  coïncide pas avec la théorie du Big Bang qui
  affirme quil doit y avoir un début au temps.

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III La topologie de lunivers

• 3. Topologie de lespace

• Rassemblons les données que nous avons sur
  lunivers
• Tout dabord, il est un espace tridimensionnel
• Sa courbure est nulle, voire très légèrement
  positive.
• Lunivers doit vraisemblablement être sans bord,
  sinon que se passe-t-il lorsque lon transgresse
  un bord? (cest un paradoxe connu depuis
  lAntiquité Grecque)

• Parce quun univers de volume infini est
  difficilement imaginable, et quen plus, nous ne
  pourrions pas déterminer sa topologie, nous
  allons émettre lhypothèse que lunivers est de
  volume fini. Ainsi nous pouvons avancer dans
  notre recherche de la topologie de lunivers.
• Mais un problème se pose alors comment un
  espace peut-il être de volume fini et sans bord?

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III La topologie de lunivers

• 3. Topologie de lespace (suite)

Comment lunivers peut-il être sans bord et de
volume fini? Le tore est un exemple de topologie
sans bord et à surface fini. Le tore est en fait
au départ un simple rectangle. En  identifiant 
les côtés opposés de ce rectangle, autrement dit
en décrétant quils sont superposés, on obtient
une surface dont la topologie est un tore. Ainsi
lorsque lon atteint un côté on ressort part le
côté opposé. On peut construire le tore comme
ci-dessous
Construction du tore
On peut ensuite procédé à la même opération en
parant dun volume. En effet, de la même façon
quun tore est un  carré reconnecté ,
lhyper-tore est un cube reconnecté. Cest-à-dire
que lorsque, à lintérieur du cube, on atteint
lune des faces on ressort sur la face opposée,on
dit que les deux faces sont identifiés, tout ce
qui passe par lune ressort par lautre. Le cube
est alors appelé domaine fondamentale de cet
espace (lhyper-tore), il constitue en fait tout
le volume de lespace.
Construction de lhyper-tore
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III La topologie de lunivers

• 3. Topologie de lespace (suite)

Ainsi, imaginons que notre univers soit un espace
multi-connexe comme un hyper-tore.
Imaginons que dans son domaine fondamental, qui
est dans notre exemple un cube, lunivers
contienne 20 étoiles.
Un observateur à lintérieur de lunivers
observerait une infinité détoiles dans la voûte
céleste car la lumière peut emprunter une
infinité de trajectoire pour lui parvenir (le
schéma de droite montre que la lumière peut
emprunter différentes trajectoires).
(2)
(1)
(3)
Cest un peu comme si on se plaçait dans une
pièce dont les murs sont tapissés de miroirs on
verrait notre reflet en une infinité
dexemplaires car la lumière peut emprunter une
infinité de trajectoires.
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III La topologie de lunivers

• 3. Topologie de lespace (suite notre
  expérience)

• Nous avons fait une expérience qui reproduit le
  phénomène précédent. Nous navons toutefois pas
  utiliser de miroirs car ces derniers renversent
  limage (ils inversent la gauche et la droite).
  Notre expérience est la suivante un caméscope
  filme lécran dune télé, et la télé affiche ce
  que filme le caméscope. On place ensuite un objet
  entre lobjectif du caméscope et lécran. La
  manière dont on perçoit alors lobjet est
  semblable à celle dont on le percevrait dans un
  univers multi-connexe. En effet, lobjectif du
  caméscope et lécran de la télé sont identifiés,
  donc tout ce qui est filmé par le caméscope est
  affiché par la télé, et tout ce quaffiche la
  télé est filmé par le caméscope. Au final,
  limage visualisable sur lécran donne
  limpression que lobjet est présent en une
  infinité dexemplaires

Notre expérience
Objectif du caméscope
Écran TV
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III La topologie de lunivers

• 3. Topologie de lespace (suite notre
  expérience)

Photos des images obtenues à lécran
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III La topologie de lunivers

• 3. Topologie de lespace (suite)

Les topologies raisonnablement envisageables pour
lunivers sont principalement des solides de
Platon reconnectés (dont les faces sont
identifiées deux à deux). Les solides de Platon
sont les 5 solides suivants dodécaèdre, cube,
tétraèdre, icosaèdre et octaèdre
Pourquoi seulement des solides de Platon? Car ce
sont les seuls volumes qui, lorsquils sont
reconnectés, donnent des espaces globalement
isotropes (donc conforme au principe
cosmologique) et possédant une courbure
nulle. Chaque solide de Platon reconnecté peut
ensuite donner lieu à plusieurs topologies selon
la manière (en fait langle) dont les faces sont
identifiées entre elles. Les possibilités restent
donc nombreuses.
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III La topologie de lunivers

• 3. Topologie de lespace (suite)

Daprès des études récentes menées par J.-P.
Luminet, il semblerait que lunivers soit un
dodécaèdre de Poincaré, cest-à-dire un
dodécaèdre dont les faces sont reconnectées avec
un angle de 36 dans le sens direct. Cette
topologie a été privilégiée car confirmée par des
observations (fond diffus cosmologique).
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CONCLUSION
Quelles garanties avons-nous quant à la véracité
de ces propos? Quelle crédibilité faut-il
accorder à ces études? Ce sont des questions que
nous sommes en droit de nous poser, car peut-être
ne possédons nous pas la théorie physique (ou
mathématique) appropriée. Ou peut-être que nous
la possédons mais que, par exemple, le principe
cosmologique est erroné. Peut-être que lunivers
est infini, dans quel cas nous ne pouvons pas
déterminer sa topologie. Un espace de courbure
nulle ou presque (qui impliquerait donc un
univers temporellement ouvert) et possédant la
topologie dun dodécaèdre de Poincaré, cest
véritablement le modèle le plus pertinent à ce
jour pour décrire lunivers. Du moins pour
linstant. Concernant la topologie, ce qui la
crédibilise vraiment, cest quelle a été
confirmée par des observations sur le fond diffus
cosmologique. Curieusement, depuis quelques
années, la forme de lunivers suscite de plus en
plus dintérêt de la part des astrophysiciens, et
dans les années à venir, plusieurs projets de
grande envergure vont être menés tels que le
projet franco-italien  Virgo  ou encore lenvoi
de sondes pour faire de nouvelles mesures,
toujours plus précise, du fond diffus
cosmologique.
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