Cours analyse spectrale Part III

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Cours analyse spectrale Part III

• ESPEO 3ème année
• Philippe Ravier 2000-2001

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Classification des méthodes dAS

• Méthodes non paramétriques
• Fourier (périodogramme/corrélogramme)
• Minimum de variance (capon, MV)
• Décomposition en valeurs singulières (MUSIC,
  vecteurs propres)
• Maximum dentropie (MEM)
• Méthodes paramétriques
• Signal vu comme la filtrée dun bruit blanc par
  un modèle paramétrique AR, MA ou ARMA
• Signal vu comme une somme de sinusoïdes bruitées
  (Prony, Prony modifié, Pisarenko)

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Modélisations
Lestimation classique utilise les estimateurs
(mesure). Aucun modèle nest imposé au signal.
On suppose ici que le signal suit un modèle
paramétrique.
Deux formulations équivalentes
- le signal est vu comme la filtrée dun bruit
blanc par un modèle paramétrique

• si on fait passer le signal dans un filtre
  linéaire et stationnaire à paramètres
• ajustables et si on obtient un bruit blanc à la
  sortie du filtre, alors on peut
• dire que toute linformation spectrale est
  contenue dans le filtre.

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Filtres numériques couramment utilisés
Modèle ARMA autorégressif - moyenne ajustée
Tout pôle ou RII ou récursif
Modèle AR autorégressif
Tout zéro ou RIF ou transversal
Modèle MA moyenne ajustée
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Formes des spectres AR, MA ou ARMA
AR
MA
ARMA
Fourier (Périod., Corrél.)
o

o
o

o

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Liens
équation aux différences
TZ
fonction de transfert
doù
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Principe on cherche les coeff. dun filtre dont
la sortie est le signal et lentrée un BB
dsp à la sortie dun filtre
Exemple du filtre AR
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Comment fait-on pour estimer les ap et bq ?
on dispose des échantillons xn et on cherche le
filtre blanchisseur A(z) de x
BB
BB
erreur de prédiction ou  innovation  ou résidu
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Équations de Yule-Walker (1)
Critère pour trouver les ap on minimise lEQM
de lerreur de prédiction (ou puissance moyenne
du résidu)
éq de Yule Walker
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Équations de Yule-Walker (2)
Écriture sous forme matricielle
coefficients du filtre blanchisseur
Pb inversion de la matrice R
algorithme rapide dinversion
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Algorithme de Levinson
Récurrence sur lordre p
Récurrence
Initialisation
On calcule les coeff du filtre de longueur p1 à
partir des coeff du filtre de longueur p
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coefficients de corrélation partielle (PARCOR)
Interprétation si on introduit les échantillons
de prédiction progressive et rétrograde
Prédiction rétrograde
n-p-1
n-p
n-p1
n-2
n-1
n
Prédiction progressive
alors le coefficient PARCOR est la covariance
normalisée des résidus de prédiction progressif
et rétrograde
Intérêt correspondent aux coefficients dune
structure de filtre en treillis pour le filtre
blanchisseur
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Exemple sur signal test
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Extensions de cette méthode

• Méthode de Burg (pour estimation spectrale AR)

Minimisation des erreurs de prédiction forward
(progressive) et backward (rétrograde) avec la
récurrence de Levinson

• Méthode de la covariance (pour estimation
  spectrale AR)

Minimisation de lerreur de prédiction forward

• Méthode de la covariance modifiée (pour
  estimation spectrale AR)

Minimisation des erreurs de prédiction forward et
backward
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Exemple sur signal test (1) - Burg
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Exemple sur signal test (2) - Covariance
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Exemple sur signal test (3) Covariance modifiée
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Interventions de lutilisateur

• Nature du filtre AR, MA ou ARMA ? Selon
  lallure du spectre

• Ordre du modèle

- Ordre trop bas lissage faible variance,
fort biais
- Ordre trop élevé fluctuations forte
variance, faible biais
Ces 2 paramètres sont liés un AR(p) est
équivalent à un MA( ) Bien choisir le modèle,
cest économiser des coefficients
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Méthodes SVD
On suppose connaître le nombre de raies (param.
de la méthode) Adaptées pour les signaux bandes
étroites avec du BB
Autocorrélation de M sinusoïdes s noyées dans du
bruit w Rp SpWp où
et
Principe décomposition de Rp en vecteurs
propres signal et bruit
valeurs propres
l1
l2
l3
lp
l4
l
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On omet les lk du bruit
Vecteurs propres bruit
vecteurs propres signal
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• Estimateur EV (EigenValue Decomposition)

• Estimateur MUSIC (Multiple Signal Classification)

Pics très pointus en ffi Très bonne
résolution fréquentielle