Introduction la programmation linaire

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Introduction à la programmation linéaire
Inspiré de Cliff Ragsdale (Virginia Tech)
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La programmation linéaire peut être définie comme
étant une méthode qui permet dallouer de façon
optimale des ressources disponibles en quantités
limitées à des activités compétitrices. Buongiorno
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Caractéristiques de la PL

• Décisions (Variables décisionnelles)
• Quest-ce quon cherche à établir?
• Contraintes
• Viennent définir lensemble des solutions
  possibles.
• Objectif
• Maximisation - Minimisation

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Forme générale dun problème doptimisation

• MAX (ou MIN) f0(X1, X2, , Xn)
• Sujet à f1(X1, X2, , Xn) lt b1
• fk(X1, X2, , Xn) gt bk
• fm(X1, X2, , Xn) bm
• Si toutes les fonctions sont linéaires, le
  problème en est un de programmation linéaire.

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Forme générale dun problème en programmation
linéaire

• MAX (ou MIN) c1X1 c2X2 cnXn
• Sujet à a11X1 a12X2 a1nXn lt b1
• ak1X1 ak2X2 aknXn lt bk
• am1X1 am2X2 amnXn bm

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Propriétés dun modèle de programmation linéaire

• Linéarité
• Équations polynômiales de degré 1
• Divisibilité continuité
• Domaine des variables ?

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Propriétés dun modèle de programmation linéaire
(Suite)

• Séparabilité additivité
• c1X1 c2X2 cnXn
• Fonction objectif unique
• Min coût, Max profit,
• Données considérées certaines

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Exemple
Equipement inc. produit deux types de chargeuses
A et B
Il y a 200 pompes, 1566 heures en M-O, et 2880
mètres de tuyaux disponibles.
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5 Étapes pour la formulation du problème LP

• Comprendre le problème.
• 2. Identifier les variables décisionnelles.
• X1 nbre de chargeuses A produites
• X2 nbre de chargeuses B produites
• 3. Définir la fonction objectif en une
  combinaison linéaire de variables décisionnelles.
• MAX 350X1 300X2

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5 Étapes pour la formulation du problème LP
(Suite)

• 4. Définir les contraintes en une combinaison
  linéaire de variables décisionnelles.
• 1X1 1X2 lt 200 pompes
• 9X1 6X2 lt 1566 M.-O.
• 12X1 16X2 lt 2880 tuyaux
• 5. Identifier limites supérieures ou inférieures
  sur les variables décisionnelles.
• X1 gt 0
• X2 gt 0

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Sommaire du modèle LPEquipement inc.
MAX 350X1 300X2 S.T. 1X1 1X2 lt 200 9X1
6X2 lt 1566 12X1 16X2 lt 2880 X1 gt 0
X2 gt 0
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Résoudre un problème PLUne approche intuitive
Idée Chaque chargeuse A (X1) génère le profit
unitaire le plus élevé (350), faisons-en le plus
possible! Combien en fabriquer? Posons X2
0 1ère contrainte 1X1 lt 200 2è
contrainte 9X1 lt1566 ou X1 lt174 3è
contrainte 12X1 lt 2880 ou X1 lt 240
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Résoudre un problème PLUne approche intuitive
(Suite)

• Si X20, la valeur maximale de X1 est 174 et le
  profit total est
• (350 174) (300 0) 60 900
• Cest une solution possible mais est-elle
  optimale?

Non!
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Résolution problème PLUne approche graphique

• Les contraintes dun problème PL définissent la
  région de faisabilité.
• Le meilleur point dans la zone de faisabilité
  correspond à la solution optimale.
• Pour des problèmes à deux variables, il est
  facile de tracer la zone de faisabilité et de
  trouver la solution optimale.

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Tracé de la première contrainte
X2
250
(0, 200)
200
Contrainte des pompes
X1 X2 200
150
100
50
(200, 0)
0
100
X1
0
150
50
200
250
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Tracé de la deuxième contrainte
X2
(0, 261)
250
Contrainte de main-doeuvre
9X1 6X2 1566
200
150
100
50
(174, 0)
0
100
X1
0
150
50
200
250
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Tracé de la troisième contrainte
X2
250
(0, 180)
200
150
Contrainte des tuyaux
12X1 16X2 2880
100
Zone de faisabilité
50
(240, 0)
0
100
X1
0
150
50
200
250
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X2
Tracé dune droite de la fonction objectif
250
200
(0, 116.67)
Fonction objectif
150
350X1 300X2 35000
100
(100, 0)
50
0
100
X1
0
150
50
200
250
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Un deuxième tracé de la fonction objectif
X2
250
(0, 175)
Fonction objectif
200
350X1 300X2 35000
Fonction objectif
150
350X1 300X2 52500
100
(150, 0)
50
0
100
X1
0
150
50
200
250
20
Tracé de la solution optimale
X2
250
Fonction objectif
200
350X1 300X2 35000
150
Solution optimale
100
Fonction objectif
350X1 300X2 52500
50
0
100
X1
0
150
50
200
250
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Calcul de la solution optimale
La solution optimale se trouve à lintersection
des contraintes de pompes et de m-o. Où X1
X2 200 (1) 9X1 6X2 1566 (2) De (1)
nous avons X2 200 -X1 (3)
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Calcul de la solution optimale (Suite)
En substituant (3) pour X2 dans (2) nous
avons 9X1 6 (200 -X1) 1566 ce qui fait
X1 122 La solution optimale est X1
122 X2 200-X178 Profit total (350122)
(30078) 66 100
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Situations spéciales avec problèmes PL

• Plusieurs anomalies peuvent survenir
• Solutions optimales multiples
• Contraintes redondantes
• Problème non-contraint (Unbounded Solutions)
• Infaisable

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Exemple de solutions optimales multiples
X2
250
Tracé de la fonction objectif
450X1 300X2 78300
200
150
100
Solutions optimales équivalentes
50
0
100
X1
0
150
50
200
250
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Example dune contrainte redondante
X2
250
Contrainte des tuyaux
200
Contrainte des pompes
150
Contrainte de la M-O
100
Zone de faisabilité
50
0
100
X1
0
150
50
200
250
26
Exemple dune solution unbounded
X2
1000
Fonction objectif
X1 X2 600
-X1 2X2 400
800
Fonction objectif
X1 X2 800
600
400
200
X1 X2 400
0
400
X1
0
600
200
800
1000
27
X2
Exemple dinfaisabilité
250
200
X1 X2 200
Zone de faisabilité de la deuxième contrainte
150
100
Zone de faisabilité de la première contrainte
50
X1 X2 150
0
100
X1
0
150
50
200
250