Efficacit

1
Efficacité des algorithmes

• Comment choisir parmi les différentes approches
  pour résoudre un problème?
• Exemple Liste chaînée ou tableau?
• 2 objectifs à atteindre
• Concevoir un algorithme facile à comprendre,
  coder et déboguer.
• Concevoir un algorithme qui utilise de façon
  efficace les ressources de lordinateur.

2
Efficacité des algorithmes(suite)

• Objectif (1) concerne le génie logiciel
• Objectif (2) Algorithmes et structures de
  données.
• Lorsque lobjectif (2) est important, comment
  peut-on mesurer lefficacité dun algorithme?

3
Comment mesurer lefficacité?

• Comparaison empirique (exécuter le programme)
• Analyse assymptotique dalgorithmes
• Ressources critiques temps, espace mémoire,...
• Facteurs affectant le temps dexécution
• machine, language, programmeur, compilateur,
  algorithme et structure de données.
• En général, le temps dexécution dépend de la
  longueur de lentrée.
• Ce temps est une fonction T(n) où n est la
  longueur de lentrée.

4
Exemples

• Exemple 1.
• // Retourne lindice du plus grand élément
• int PlusGrand(int T, int n)
• int max 0
• for (int i1 iltn i)
• if (Tmax lt Ti)
• max i
• return max

5
Exemples (suite)

• Exemple 2 x3
• Exemple 3
• sum 0
• for (i1 iltn i)
• for (j1 jltn j)
• sum

6
Meilleur algorithme ou ordinateur?
On suppose que lordinateur utilisé peut
effectuer 106 opérations à la seconde
7
Taux de croissance
8
Analyse assymptotique Grand O

• Définition T(n) est dans O(f(n)) sil existe
  deux constantes positives c et n0 t.q.
• T(n) ? cf(n) pour tout n gt n0.
• Utilité Simplifie l'analyse
• Signification Pour toutes les grandes entrées
  (i.e., n?n0), on est assuré que lalgorithme ne
  prend pas plus de cf(n) étapes.
• ? Borne supérieure.

9
Notation grand-O (suite)

• La notation grand-O indique une borne supérieure
  sur le temps dexécution.
• Exemple Si T(n) 3n2 2
• alors T(n) ? O(n2).
• On désire le plus de précision possible
• Bien que T(n) 3n2 2 ? O(n3),
• on préfère O(n2).

10
Grand-O Exemples

• Exemple 1 Initialiser un tableau dentiers
• for (int i0 iltn i) Tabi0
• Il y a n itérations
• Chaque itération nécessite un temps ? c,
• où c est une constante.
• Le temps est donc T(n) ? cn
• Donc T(n) ? O(n)

11
Grand-O Exemples

• Exemple 2 T(n) c2n2 c1n c0 .
• c2n2 c1n c0 ? c2n2 c1n2 c0n2
• (c2 c1 c0)n2
• pour tout n ? 1.
• T(n) ? cn2 où c c2 c1 c0
• Donc, T(n) est dans O(n2).

12
Grand-O Exemples

• Exemple 3
• Lorsque T(n) c, où c est une constante,
• on écrit T(n) ? O(1).

13
Grand-Omega

• Definition On a T(n) ? ?(g(n)) s'il existe deux
  constantes positives c et n0 telles que T(n) ?
  cg(n) pour tout n gt n0.
• Signification Pour de grandes entrées,
  lexécution de lalgorithme nécessite au moins
  cg(n) étapes.
• ? Borne inférieure.

14
Grand-Omega Exemple

• T(n) 3n2 2n 5
• 3n2 2n 5 ? 3n2 pour tout n gt 0.
• T(n) ? cn2 pour c 3 et ngt0.
• Donc, T(n) ? ?(n2) par la définition.

15
La notation Theta

• Lorsque le grand-O et le grand-omega dune
  fonction coïncident, on utilise alors la notation
  grand-theta.
• Définition Le temps dexécution dun algorithme
  est dans ?(h(n)) sil est à la fois dans O(h(n))
  et dans ?(h(n)).

16
Exemple
?(n) ?(n2) ?(n3) ?(2n) ?(lg n)
?(lg n) ? ?(n) ? ?(n2) ? ?(n3) ? ?(2n)
17
Pire cas, meilleur cas et cas moyen

• Toutes les entrées dune longueur donnée ne
  nécessitent pas le même temps dexécution.
• Exemple Recherche séquentielle dans un tableau
  de taille n
• Commencer au début du tableau et considérer
  chaque élément jusquà ce que lélément cherché
  soit trouvé.
• Meilleur cas ?(1)
• Pire cas ?(n)
• Cas moyen ?(n)

18
(No Transcript)
19
Une erreur fréquente

• Le meilleur cas pour mon algorithme est n1 car
  cest le plus rapide. FAUX!
• On utilise la notation grand-O parce quon
  sintéresse au comportement de lalgorithme
  lorsque n augmente.
• Meilleur cas on considère toutes les entrées de
  longueur n.

20
Règles de simplification 1

• Si
• f(n)? O(g(n))
• et
• g(n) ? O(h(n)),
• alors
• f(n) ? O(h(n)).

21
Règles de simplification 2

• Si
• f(n) ? O(kg(n))
• où k gt0 est une constante
• alors
• f(n) ? O(g(n)).

22
Règles de simplification 3

• Si
• f1(n) ? O(g1(n))
• et
• f2(n) ? O(g2(n)),
• alors
• f1(n) f2(n) ? O(max(g1(n), g2(n))).
• Exemple n nlog n ? O(nlog n)

23
Règles de simplification 4

• Si
• f1(n) ? O(g1(n))
• et
• f2(n) ? O(g2(n))
• alors
• f1(n)f2(n) ? O(g1(n) g2(n))
• Exemple (3n2 3)(n25nlog n) ? O(n4)

24
Règles de simplification 5

• Si p(n) est un polynôme de degré k
• alors p(n) ? ?(nk)

25
Règles de simplification 6

• logk n ? O(n?)
• pour toutes constantes kgt0 et ?gt0

26
Exemples

• Exemple 1 a b
• Temps constant ?(1).
• Exemple 2
• somme 0
• for (i1 iltn i)
• somme n
• Temps ?(n)

27
Exemples

• Exemple 3
• somme 0
• for (i1 iltn i)
• for (j1 jlti j)
• somme
• Temps ?(1) O(n2) O(n2)
• On peut montrer ?(n2)

28
Exemples

• Exemple 4
• somme 0
• for (j1 jltn j)
• for (i1 iltn i)
• somme
• for (k0 kltn k)
• Ak k
• Temps ?(1) ?(n2) ?(n) ?(n2)

29
Exemples

• Example 5
• somme 0
• for (k1 kltn k2)
• for (j1 jltn j)
• somme
• Temps ?(nlog n)

30
Recherche dychotomique

• // Retourne la position de lélément K
• // dans un tableau trié de taille n
• int dycho(int tab, int n, int K)
• int l 0
• int r n-1
• while (l lt r)
• int m (lr)/2
• if (tabm lt K) lm1
• else if (tabm gt K) rm-1
• else return m
• return n // K n'est pas dans tab

31
Recherche dychotomique

• Combien déléments sont examinés dans le pire cas?

32
Autres exemples

• Instruction if maximum entre le if et le then
• switch maximum entre les différents cas
• Appels de fonction Temps dexécution de la
  fonction

33
Analyse de problèmes

• Borne supérieure Borne supérieur sur le meilleur
  algorithme connu.
• Borne inférieure Borne inférieure sur tous les
  algorithmes possibles.
• Exemple Trier un tableau de taille n nécessite
  O(n) étapes et peut se faire en O(nlog n) étapes.

34
Espace mémoire

• La quantité despace mémoire utilisé peut aussi
  être étudiée à laide de lanalyse assymptotique.
• En général
• Temps Algorithme manipulant les
  structures de données.
• Espace Structure de données

35
Le principe du compromis espace/temps

• Il est souvent possible de réduire le temps
  dexécution au prix daugmenter lespace mémoire
  et vice versa.
• Fichiers compressés
• Table des valeurs dune fonctions
• Espace disque Un programme sera dautant plus
  rapide quil requiert peu daccès disque.