STT-3220 M

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STT-3220Méthodes de prévision

• Section 5
• Estimation de la fonction dautocovariance g(k)
  et de la fonction dautocorrélation r(k)
• Version 11 décembre 2008

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Cas où la moyenne m est connue

• On veut estimer , où
• Un estimateur naturel de repose
  sur

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Étude des c(k)

• On note
• Ceci nous amène à poser

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Fonction dautocovariance échantillonnale (m
connu)

• On dit que est la fonction
  dautocovariance échantillonnale.
• Cest une première définition.
• On se rappelle que est définie
  non-négative. Ce nest pas le cas pour
  .
• Pour retrouver cette propriété, on doit
  considérer de diviser par n et non pas n-k.

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Étude des c(k)

• On pose alors
• On perd labsence de biais, mais pour k fixé

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Étude des c(k) (suite)

• On obtient donc que les c(k) sont
  asymptotiquement sans biais (ASB).
• Pour estimer
• Estimateur

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Fonction dautocovariance échantillonnale (m
inconnu)

• On considère
• Cest la fonction dautocovariance
  échantillonnale de délai k. On remarque que la
  variance échantillonnale est

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Propriétés des c(k)

• (i) , où
  , où K est fixé par rapport à n.
• (ii) Si n est fixé, le biais est de lordre de
  1/n, et le biais croît en général avec k.
• (iii) Lautocorrélation échantillonnale c(k) est
  convergente en moyenne quadratique pour g(k).
• (iv) Si
  alors on a que

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Fonction dautocorrélation échantillonnale (m
inconnu)

• On rappelle que lautocorrélation de délai k est
  donnée par
• Afin destimer r(k), on introduit les r(k)

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Propriétés des r(k)

• Sous des hypothèses générales sur le processus
  , en particulier sur les hypothèses de moments
• (i) , où
  , où K est fixé par rapport à n.
• (ii), Pour n fixé, le biais de r(k) est de
  lordre de 1/n, et il croît en général avec k.
• (iii) Lautocorrélation r(k) est un estimateur
  convergent en moyenne quadratique de r(k), pour
  .

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Propriétés des r(k), (suite)

• (iv) La structure de covariance entre r(h) et
  r(k) est donnée par
• (v) Si , alors on a que