Title: Biostatistique et Introduction la Sant Publique
1Biostatistique et Introduction à la Santé
Publique
2Loi de probabilité dune variable aléatoire
discrète
- La loi de probabilité dune variable discrète
prenant les valeurs x1, x2,, xn est définie
par lensemble des probabilités correspondantes
p1, p2,,pnon note piPr(Xxi) avec 0 ? pi
? 1 et ?pi1 - Exemple lancer dun dé à 6 faces6 résultats
possibles x11, x22,, x66 avec les
probabilités p1p2 p3p4p5p61/6(loi
discrète uniforme)
3Moyenne dune variable aléatoire discrète
- La moyenne dune v.a. X est la valeur moyenne des
résultats que lon obtiendrait si lon répétait
lépreuve à linfini. - La moyenne ? est déduite de la loi de probabilité
de X ? x1 p1 x2 p2 xn pn ? xi pi - Exemple du dé à 6 faces la moyenne est 3,5
- On utilise aussi le terme despérance
mathématique E(X) ? - La moyenne est un paramètre de position.
4Variance dune variable aléatoire discrète
- La variance ?² dune v.a. X est la moyenne des
carrés des écarts entre X et sa valeur moyenne
?. ?² ? pi (xi ? ?)² - La variance est un paramètre de dispersion.Elle
est nulle pour une v.a. certaine. - Lécart type est la racine carrée de la variance.
- Exemple du dé à 6 faces la variance est
2,917 lécart type est 1,708 - Autre définition basée sur lespérance
mathématique ?² E(X ? ?)² E(X²) ? E(X)²
5Loi de Bernoulli
- Une v.a. de Bernoulli est une v.a. qui ne prend
que deux valeurs possibles notées 1 , associée
à une probabilité p et 0 , avec une
probabilité 1?p (événement contraire) - Sa loi de probabilité définit la loi de Bernoulli
de paramètre p - Moyenne p
- Variance p(1?p)
- Concerne toutes les épreuves binaires
succès/échec, présence/absence, oui/non,
vrai/faux, malade/non malade
6Loi binomiale
- Une v.a. obtenue par le nombre de fois où on a
obtenu 1 en répétant n fois, indépendamment, une
même v.a. de Bernoulli de paramètre p, suit une
loi binomiale qui a pour paramètres p et
n.avec nombre de combinaisons de k
sujets pris parmi n - Moyenne np
- Variance npq
7Loi binomiale exercice
- Un médicament est susceptible de provoquer des
accidents allergiques chez un patient sur 100.
Quelle est la probabilité dobserver au moins un
accident allergique dans une clientèle comportant
70 patients traités par ce médicament ? - On cherche Pr(X?1)
- Il sagit de lévénement contraire par rapport à
lévénement élémentaire aucun accident
allergique - On peut écrire Pr(X?1) 1 ? Pr(X0) 1 ? qn
- Résultat Pr(X?1) 1 ? (1 ? 0,01)70 0,505
50,5
8Loi binomiale formule de récurrence
- Complexité des calculs dès que n dépasse quelques
unités en raison des calculs de factorielles - Définition dune suite récurrente de 0 à n
- valeur initiale Pr(X0) qn
- suite
9Loi binomiale fonction Excel
10Loi de Poisson loi des événements rares
- La loi de Poisson permet de représenter la
survenue dévénements rares - exemples en épidémiologie, pharmacovigilance.
-
- Moyenne ? (paramètre de la loi de Poisson)
- Variance ?
- Pr(X0) e??
- Bonne approximation de la loi binomiale quand np
est petit par une loi de Poisson de paramètre ?
np
11Variables aléatoires continues
- Les variables continues suivent des lois de
probabilité dont la formulation est différente de
celle des variables discrètes. - Chaque valeur élémentaire a une probabilité nulle
(ce qui ne veut pas dire quelle est impossible) - La loi de distribution de probabilité est
représentée par une fonction appelée densité de
probabilité - Une probabilité est définie sur un intervalle
Pr(X?a,b) - Moyenne Variance
12La loi normale de Laplace-Gauss
- Cest la loi de probabilité la plus importante,
pour des raisons de pratique, et pour des raisons
théoriques. - Cest la loi qui décrit les fluctuations des
moyennes. - Densité de probabilité définie de ?? à ?
- La v.a. est centrée et réduite
- Toute loi normale de paramètres ? et ? peut être
ainsi transformée en loi normale centrée réduite.
13La loi normale centrée réduiteTable 1
14La loi normale centrée réduiteTable 2
15La loi normale centrée réduiteTable 3
16La loi normale centrée réduiteTable 4
17Loi normale fonction Excel
18Loi normale fonction Excel