Plan du Cours

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Plan du Cours

• Généralités sur les ondes
• Ondes progressives. Description mathématique.
  Représentation complexe. Superposition d'ondes.
• Cordes vibrantes
• Equation de propagation. Vitesse de phase.
  Transport de l'énergie. Discontinuités
  réflexion et transmission.
• Ondes acoustiques
• Ondes longitudinales. Vitesse du son dans les
  milieux. Energie et intensité sonore. Tuyaux
  sonores. Propagation à trois dimensions.
• Ondes électromagnétiques
• Théorie de Maxwell. Ondes progressives planes.
  Notion de rayon lumineux. Optique géométrique.
  Optique physique interférences diffraction.

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Tuyaux sonores
Onde de pression dans un tuyau
La pression aux extrémités ouvertes du tuyau doit
être égale à la pression ambiante extérieure.
Surpression
Pression
ambiante
Dépression
Longueur d'onde
Onde stationnaire dans un tuyau ouvert Longueur
d'onde
Tuyau ouvert aux deux extrémités
Mode fondamental n 1
Longueur d'onde
Tuyau fermée à une extrémité
L'harmonique (ou partiel) n 2
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Propagation dans un tuyau acoustique(Définitions
et relations de base)
Elément de volume au repos d?0 Sdx de masse dm
?0d?0.
?(x,t)
S
?(xdx,t)
?(x,t) est le déplacement d'une tranche de gaz se
trouvant à la position x au temps t.
d?
P0 pression du volume d?0 à l'équilibre P(x,t)
pression du volume d? p(x,t) P(x,t) - P0 est
la surpression (algébrique) Dilatation
Coefficient de compressibilité Surpression
Sujet de réflexion avons-nous bien compris
le signe "-" de la dernière Relation???
x
xdx
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Nombres complexes rappels
module
argument
axe des imaginaires
z x iy ? (cos? i sin? ) ? ei?
z
y
partie réelle
partie imaginaire
?
i
Conjugué du nombre complexe z
x
?
1
axe des réels
z x iy ? e-i?
Module (au carré) du nombre complexe z
Conséquences
?2 zz (x iy)(x iy) x2 y2
Argument du nombre complexe z
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Oscillateur Harmonique rappels
Equation du mouvement
?2
où z est lécart à la position déquilibre.
Solution générale
avec ? 2?? (k/m)1/2 la pulsation ?
le déphasage à lorigine
Le mouvement harmonique dune source (charge,
piston, main qui tient une corde...) génère une
onde progressive sinusoïdale.
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Addition dondes de même fréquence
La somme de plusieurs ondes de même fréquence
(éventuellement déphasées) donne une onde de même
fréquence. Difficile en représentation réelle,
très facile en représentation complexe
Sil y a des déphasages à lorigine, ils sont
inclus dans les Ei complexes. Exemple
avec
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Ondes stationnaires
Superposition de deux ondes de même amplitude et
fréquence se propageant en sens opposés
y1(x,t) y0sin(kx ?t)
y(x,t) y1 y2 2y0 sinkx.cos ?t
y2(x,t) y0sin(kx - ?t)
y1
y2
y
y(x,t) nest pas une onde progressive !
Remarquer la position des noeuds et ventres
toujours au même point.
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Une onde stationnaire
y(x,t) 2y0 sinkx cos ?t
Donne la position (fixe) des noeuds
Donne les oscillations (en temps) des ventres
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Addition de 2 ondes déphasées(même amplitude,
même fréquence)
y1 y0 sin(?t - kx)
y y1 y2
y2 y0 sin(?t kx ?)
Déphasage petit (? ? 0 ) les deux ondes se
renforcent
Déphasage grand (? ? ? ) les deux ondes se
détruisent
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Addition de deux ondes de fréquences voisines
Les deux ondes Leur somme Leur
enveloppe Intensité
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Corde vibrante
Tensions
ydy
a
m dm/dx (masse linéique)
a, a angles petits
Equation de Newton
a
y
x
xdx
Sur Ox pas de déplacement
(tension horizontale)
Sur Oy
Equation du mouvement
(onde progressive de célérité )
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Corde vibrante représentation spatiale
t 0
t t2 T
t 0
Mouvement de la source
x
t t1 T/2
t t1 T/2
Mouvement de la source (en x 0) y y0
coswt
x
Période du mouvement T coswT cos(0) ? wT
2p
Vitesse de londe c (célérité) Longueur donde
l (distance que londe parcourt pendant le
temps T) ? l ct
t t2 T
Mouvement de la corde (en un point x quelconque)
y y0 cosw(t x/c)
x
l cT
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Corde vibrante représentation temporelle
en x 0
Mouvement de la source (en x 0) y(0,t)
y0 coswt
y
t
Mouvement de la corde (en x x0) y(x0 ,t)
y0 cosw(t x0/c)
en x l/2
Mouvement de la corde (en x l/2) y(x ,t)
y0 cos w (t x/c) y0 cos (wt
wx/c) avec w/c 2p/l et x l/2 y(x
,t) y0 cos (wt p) - y(0,t)
y
t
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Réflexion à lextrémité dune corde
Londe incidente subit une réflexion totale sur
lobstacle. Lextrémité de la corde est fixe.