Pr

1
Le mur de l'image de gauche est composé de
briques réparties avec une certaines périodicité
selon les composantes horizontales et verticales
aux différentes couches de briques ( en
verticale) correspond dans la transformée de
Fourier du dessous la ligne verticale, qui est
une ligne dominante. Aux différents espacements
de briques (en horizontale) correspond dans la
transformée de Fourier la ligne horizontale. Les
périodicités verticales et horizontales des
briques se retrouvent dans la transformée de
Fourier sous forme de points ou de raies,
régulièrement espacés, qui strient les lignes de
la transformée.
Les cubes de l'image de gauche laissent
apparaître des arêtes lumineuses (les cubes se
détachent sur le fond). A chacune de ces arêtes
correspond sur la transformée de Fourier une
ligne qui lui est perpendiculaire. On peut
remarquer que les lignes de la transformée vont
facilement vers les hautes fréquences, ce qui
traduit la force des contrastes des arêtes de
cubes.
2
Remarque dans beaucoup de transformées de
Fourier il subsiste les deux lignes verticales et
horizontales passant par l'origine. Elles
viennent des effets de bord de la transformée
discrète .
3
La transformée de l'image de gauche contient,
outre les habituelles lignes d'effet de bord, une
ligne transversale qui correspond probablement au
chapeau qui barre l'écran et qui contraste
nettement avec les cheveux et avec la plume. La
transformée de l'image du babouin est plus
claire, ce qui traduit une présence plus
importante de hautes fréquences.
4
w2
w1
5
(No Transcript)
6
(No Transcript)
7
Remarques
Les transformées de Fourier sont donc
relativement difficiles à interpréter la
plupart sont constituées de droites passant par
l'origine et dont il faut extraire les
caractéristiques de longueur, de direction et de
granularité (points, stries régulières) pour
retrouver l'image d'origine - plus la
droite est longue, plus elle porte des fréquences
élevées. - sa direction indique les
lignes de force de l'image d'origine, qui lui
sont perpendiculaires. - si elle est
constituée de points ou stries alignés, cela
indique une certaine périodicité de l'image dans
la direction perpendiculaire.
8
Filtre spatial vs fréquentiel

• Correspondance entre filtres spatial et
  fréquentiel ?
• Pour deux fonctions f(x,y) et h(x,y)1 de
  dimension M X N, la convolution discrète est
  définie comme suit
• 1(pour une fonction h(x,y) symétrique à
  l'origine)

9
Filtre spatial vs fréquentiel

• Théorème de convolution

Domaine spatial
Domaine fréquentiel
Convolution
Multiplication
Convolution
Multiplication
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Filtre spatial vs fréquentiel

• Théorème de convolution
• Connaissant une fonction filtre dans le domaine
  fréquentiel, on peut obtenir un filtre
  correspondant dans le domaine spatial en
  calculant la transformée de Fourier inverse de
  cette fonction filtre
• Et vice-versa !

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Filtrage fréquentiel

• L'approche générale

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Filtrage fréquentiel

• L'approche générale

Re-dimension
Correction histogramme, log
13
Filtrage fréquentiel

• La recette
• Multiplier f(x,y) par (-1)xy
• Calculer la trans. De Fourier -gt F(u,v)
• Multiplier F(u,v) par une fonction filtre
• Calculer la trans. inverse de (3)
• Extraire la partie réelle de (4)
• Multiplier (5) par (-1)xy

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Filtrage fréquentiel

• La transformé de Fourier présente
• Moyenne au centre (composante DC)
• Les basses fréquences - niveau de gris des
  surfaces douces (smooth)
• Les hautes fréquences - les détails, tels les
  arrêtes et le bruits (sharp)
• Il est possible de créer des filtres dédiés à
  l'atténuation de fréquences spécifiques
• Filtre coupe-bande, passe-bas, passe-haut,
  Gaussien,

15
Filtrage fréquentiel

• Filtre coupe bande
• Élimination ponctuelle
• Filtres passe-bas (lowpass-smoothing)
• Idéal
• Butterworth
• Gaussien
• Filtres passe-haut (highpass-sharpening)
• Idéal
• Butterworth
• Gaussien

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(No Transcript)
17
Filtre passe bas
Filtre passe haut
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Filtrage fréquentiel

• Filtres passe-bas idéal
• Coupe toutes les hautes fréquences après une
  distance D0 du centre
• Distance du centre (M/2, N/2)

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Filtrage fréquentiel

• Filtres passe-bas idéal
• D0 est la fréquence de coupure (cutoff)

Section radiale
2-D
3-D
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Filtrage passe-bas idéal
21
Filtrage fréquentiel

• Filtre passe-bas idéal1 ou 0

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Filtrage fréquentiel

• Filtres passe-bas idéal 1 ou 1/2
• Coupe 1/2 hautes fréquences après une distance D0
  du centre
• Distance du centre (M/2, N/2)

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Filtrage fréquentiel

• Filtre passe-bas idéal1 ou 1/2

24
Filtrage fréquentiel

• Effet de la fréquence de coupure D0
• Évalué en fonction de l'énergie comprise dans le
  cercle de rayon D0

Pour les (u,v) dans le cercle
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Filtrage fréquentiel
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Filtrage fréquentiel
Rayon 5, 15, 30, 80 et 230 pixels
Énergie enlevée 8, 5.4, 3.6, 2, et 0.5
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Filtrage fréquentiel

• Phénomène de réverbération (contour)

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Filtrage fréquentiel

• Phénomène de réverbération

h(x,y)
H(u,v)
Filtre idéalrayon 5 pixels
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Filtrage fréquentiel

• Filtre Butterworth passe-bas
• Coupe graduellement les hautes fréquences selon
  la sélection de D0 et de l'exposant n

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Filtrage fréquentiel

• Filtre Butterworth passe-bas

D0 est choisie pour H(u,v) 0.5
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Filtrage fréquentiel
Rayon 5, 15, 30, 80 et 230 pixels, n 2
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Filtrage fréquentiel

• Phénomène de réverbération (contour)

Filtre Butterworth d'ordre 1, 2, 5, et 20
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Filtrage fréquentiel

• Filtre Gaussien passe-bas