Pr

1
Journées Arithmétiques
Marseille, Jeudi 7 juillet 2005
Recherches en arithmétique est-ce vraiment bien
utile?
Michel Waldschmidt Université P. et M. Curie
(Paris VI)
http//www.math.jussieu.fr/miw/
Mise à jour 8 juillet 2005
2
PYTHAGOREde Samos

• La vie, prince Léon, peut être comparée à ces
  jeux publics, car dans le vaste public assemblé
  ici se trouvent des gens qui sont attirés par le
  gain, d'autres par les espoirs de la renommée et
  de la gloire. Mais il y en a aussi qui sont venus
  pour observer et comprendre tout ce qui se passe
  ici.
• Il en va de même avec la vie. Certains sont
  menés par l'amour et la richesse, d'autres guidés
  aveuglément par la soif insensée de puissance et
  de domination, mais l'homme le plus noble se
  consacre à la découverte du sens et du but de la
  vie. Il cherche à découvrir les secrets de la
  nature. C'est celui que j'appelle un philosophe
  car, bien quaucun homme ne soit sage à tous
  égards, il peut aimer la sagesse comme clef des
  secrets de la nature.

3

•  Monsieur Fourier avait lopinion que le but
  principal des mathématiques était lutilité
  publique et lexplication des phénomènes
  naturels. 

4
Gustav Jacobi

•  Un philosophe tel que lui aurait dû savoir
  que le but unique de la Science, cest lhonneur
  de lesprit humain et que, sous ce titre, une
  question de nombres vaut bien une question du
  système du monde 

5
Eugène Wigner

•  The unreasonable effectiveness
• of mathematics in the natural
• sciences 
• Communications in Pure and Applied
  Mathematics, vol. 13, No. I (February 1960)

6
G.H. Hardy

• Je nai jamais rien accompli d utile. Aucune
  de mes découvertes na rien ajouté, ni
  vraisemblablement najoutera, directement ou non,
  en bien ou en mal, aux agréments de ce bas monde

7
E.C. Titschmarsch

• Il peut n'y avoir aucun intérêt pratique à
  savoir que p est irrationnel, mais s'il est
  possible de le savoir, il serait intolérable de
  ne pas le savoir.

8
Mathématiques Pures
Mathématiques Appliquées
Pierre Louis Lions
9
(No Transcript)
10
Number Theory in Science and Communication
Manfred R. SCHROEDER

• With application in Cryptography, Physics,
  Digital Information, Computing and Self-Similarity

Springer Series in Information Sciences 1985
11
Quelques applications de la théorie des nombres

• Cryptographie, sécurité des systèmes
  informatiques
• Transmission de données, codes correcteurs
  derreur
• Interface avec la physique théorique
• Musique, gammes
• Les nombres dans la nature

12
Combien avons-nous dancêtres?
Suite 1, 2, 4, 8, 16 En1
2En En 2n
13
Généalogie des abeilles
14
Généalogie des abeilles
Nombre de femelles au niveau n1

population totale au niveau n Nombre de males au
niveau n1
nombre de femelles au niveau n
Suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, Fn1 Fn
Fn-1
15
Fibonacci (Leonardo di Pisa)

• Pise 1175, 1250
• Liber Abaci 1202
• F0 0, F1 1, F2 1,
• F3 2, F4 3, F5 5,

F0 0,
16
Modélisation dune population

• Première année

Couples adultes
Couples jeunes

• Deuxième année

• Troisième année

• Quatrième année

• Cinquième année

• Sixième année

Suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, Fn1 Fn
Fn-1
17
Théorie des populations stables(Alfred Lotka)
Si chaque couple engendre un couple les deux
premières saisons seulement, alors le nombre de
couples qui naît chaque année suit encore la loi
de Fibonacci.
Bouleau arctique
Chaque branche en créé une autre à partir de sa
seconde année dexistence dans les pays froids.
18
Suite exponentielle

• Première année

• Deuxième année

• Troisième année

• Quatrième année

Nombre de couples 1, 2, 4, 8,
En 2n
19
Représentation dun nombre entier comme somme de
puissances de 2

• 513219, 3225
• 19163, 1624
• 321 , 221 , 120
• 51 25 24 21 20

20
Écriture dun nombre en base dix

• 51 5 ? 10 1
• 2012 2 ? 103 0 ? 102 1 ? 10 2

21
Représentation dun entier comme somme de nombres
de Fibonacci

• N un entier positif
• Fn le plus grand qui soit N
• Ainsi N Fn reste qui est lt Fn-1
• On recommence avec le reste
• Application stratégie pour le jeu de Nim

22
Exemple
F1 1 F2 1 F3 2 F4 3 F5 5 F6 8 F7 13 F8
21 F9 34 F10 55 F11 89 F12 144 F13 233 F14
377 F15 610 F14 987 F15 1597
F1 1 F2 1 F3 2 F4 3 F5 5 F6 8 F7 13 F8
21 F9 34 F10 55 F11 89 F12 144 F13 233 F14
377 F15 610
F9 34 51 F9 17
F1 1 F2 1 F3 2 F4 3 F5 5 F6 8 F7 13 F8
21 F9 34 F10 55 F11 89 F12 144 F13 233 F14
377 F15 610
F7 13 17 F7 4
51 F9 F7 F4 F2
51 ?
51 F9 17
51 F9 F7 4
51 F9 F7 F4 1
F4 3 4 F4 1
F2 1
Dans cette représentation il ny a pas deux
nombres de Fibonacci consécutifs
23
La suite de Fibonacci
F1 1, F2 1, F3 2, F4 3,
F5 5, F6 8, F7 13 F8 21, F9
34, F10 55, F11 89, F12 144, F13 233,
F14 377, F15 610,
La suite des nombres entiers
1F2, 2F3, 3F4, 4 F4 F2, 5F5, 6 F5
F2, 7 F5 F3, 8 F6, 9 F6 F2, 10 F6
F3, 11 F6 F4, 12 F6F4F2
24
La suite de Fibonacci
F1 1, F2 1, F3 2, F4 3,
F5 5, F6 8, F7 13, F8 21, F9
34, F10 55, F11 89, F12 144, F13 233,
F14 377, F15 610, . . .
Divisibilité (Lucas, 1878)
Si b divise a, alors Fb divise Fa.
Si b3, alors b divise a si et seulement si Fb
divise Fa.
Exemples F12 144 est divisible par F3 2, F4
3, F6 8, F14 377 par F7 13, F16 987 par F8
21 .
25
Logique mathématique le dixième problème de
Hilbert
D. Hilbert (1900) donner un algorithme
permettant de dire si une équation
diophantienne admet une solution
J. Robinson (1952)
J. Robinson, M. Davis, H. Putnam (1961)
Yu. Matijasevic (1970)
La relation bF2a entre deux entiers a et b est
une relation diophantienne à croissance
exponentielle.
Gilles Godefroy, Laventure des nombres, Odile
Jacob 1997
26
Équations Diophantiennes exponentielles
Y. Bugeaud, M. Mignotte, S. Siksek (2004)
Les seules puissances parfaites dans la suite de
Fibonacci sont 1, 8 et 144.
Équation Fn ab Inconnues n, a et b avec n1,
a 1 et b 2.
27
Phyllotaxie

• Étude de la disposition des feuilles sur une tige
  et des mécanismes qui la gouvernent
• Nombre de pétales des fleurs marguerites,
  tournesol,
• Spirale formée par les épines (aubépines,)
• Pommes de pins, ananas, choux Romanesco, cactus
• Croissance des feuilles de céleri

28
http//www.unice.fr/LEML/coursJDV/tp/tp3.htm

• Université de Nice,
• Laboratoire Environnement Marin Littoral,
  Equipe d'Accueil "Gestion de la Biodiversité"

29
Phyllotaxie
30
(No Transcript)
31
Un joli rectangle
32
(No Transcript)
33
U N J O L I R E C T A N G L E
Ceci est un joli rectangle
Un carré
1
1
x
1x1/x
34
(No Transcript)
35
Le nombre dOr
Fra Luca Pacioli (1509) De Divina Proportione
Exercice
36
522 1
37
Rectangle dor
1/?
1
1/?2
?
1/?3
38
(No Transcript)
39
Ammonite
40
(No Transcript)
41
Phyllotaxie

• Képler (1611) utilise la suite de Fibonacci pour
  étudier le dodécaèdre et licosaèdre, puis les
  symétries ternaires et dordre 5 des fleurs
• Stéphane Douady et Yves Couder Les
  spirales végétales
  La Recherche 250 (janvier 1993) vol. 24.

42
Pentagones et dodécagones réguliers

• nbor7.gif

? 2 cos(?/5)
43
Pavages non périodiques de Penrose et
quasi-cristaux
44
G/M?
45
Diffraction des quasi-cristaux
46
Géométrie d'un champ de lavande
http//math.unice.fr/frou/lavande.htmlFrançois
Rouvière (Nice)
Pavages doublement périodiques (réseaux) -
cristallographie
47
Rectangle dor
Irrationalité du Nombre dOr
U N J O L I R E C T A N G L E
? a/b
b
a-b
1/ ?
1
b
1/ ?2
2b-a
?
a
2a-3b
48
Longueurs des côtés des carrés
c0 b
cn cn-2 - cn-1
c1 a- b
a?, b1
c2 2b- a
cn ? - n
c3 2a- 3b
cn Fn a- Fn1 b si n est impair
cn (-1)n1 (Fn a- Fn1 b)
? - n (-1)n1 (Fn? - Fn1)
cn Fn1 b- Fn a si n est pair
49
Calcul de ? n
Sectio Aurea (Golden section)
? 2 ? 1
? 3 ? 2 ? 2? 1
? 4 ? 3 ? 2 3? 2
? n Fn? Fn-1
50
Rectangle dor
U N J O L I P E T I T R E C T A N G L E
?3
?
?2
?2
1
?
?2
51
Calcul de Fn
2? - 1 ?5
F-n (-1)n1 Fn
52
Formule de Binet

• De Moivre (1730)
• D. Bernoulli (1732)
• L. Euler (1765)
• J.P.M. Binet (1843)

Autre formule de De Moivre (cos x i sin x)n
cos (nx) i sin (nx)
Fn est lentier le plus proche de ? n / ?5
53
Nombre de couples de lapins de Fibonacci au bout
de 60 ans
F60 est lentier le plus proche de ? 60 / ?5
F60 1 548 008 755 920
F60 est divisible par F30 832 040 ,
F20 6 765,
F15 610,
Croissance exponentielle

• larves de coccinelles
• bactéries
• économie

54
Approximation Diophantienne
Pour tout nombre réel x il existe une infinité
de nombres rationnels p/q tels que
Quand on prend pour x le nombre dor ?, le
coefficient ?5 ne peut pas être remplacé par un
nombre plus grand.
55
Approximation diophantienne dans la vie
quotidienne

• Petits diviseurs et systèmes dynamiques (H.
  Poincaré)
• Périodes des orbites de Saturne (divisions de
  Cassini)
• Stabilité du système solaire
• Résonance en astronomie
• Engrenages
• Quasi-cristaux
• Acoustique des salles de concert
• Calendriers années bissextiles

56
(No Transcript)
57
(No Transcript)
58
(No Transcript)
59
Échelle logarithmique
23/2 v8
3
2x
23/2 v8 lt 3 8 lt 9
x
log2 3
1,58496
3/2
60
En effeuillant la marguerite
Je taime Un peu Beaucoup Passionnément À la
folie Pas du tout
Suite des restes de la division par 6 de la
suite de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 4, 1, 5, 0,
5,
Premier multiple de 6 144
61
Reste de la division par 6 des nombres de
Fibonacci
8 6 ? 1 2
13 6 ? 2 1
21 6 ? 3 3
34 6 ? 5 4
55 6 ? 9 1
89 6 ? 14 5
144 6 ? 24 0
62
Division Euclidienne
Soient a et b deux nombres réels avec b gt 0.
Alors
a b q r
avec q entier (quotient) et 0 r lt b (reste).
b
b
b
r
Exemple Si a et b sont entiers, alors r ? ?0,
1, , b-1?
Division de ?2 par ? ?2 ? 1 .
Division de ?n1 par ?n ?n1 ?n ?n-1 .
a
63
Exemples

• modulo 2 pair, impair (dernier chiffre en base
  2)
• modulo 7 jours de la semaine
• modulo 9 somme des chiffres en base 10
• modulo 10 dernier chiffre en base 10
• modulo 12 zodiaque, cercle dodécaphonique
• modulo 24 tous les jours (24 heures)
• modulo 60 toutes les heures, toutes les minutes
• modulo 400 piste dathlétisme

64
La suite des lapins
On désigne un jeune couple de lapins par 0 et un
couple adulte par 1. Au passage dune année à la
suivante le couple jeune devient adulte
0 ? 1, un couple adulte
reste un couple adulte et produit un jeune
couple 1 ? 10.
On obtient le système dynamique 0 ? 1 ? 10 ?
101 ? 10110 ? 10110101 ?
65
Le mot de Fibonacci fn1 fn fn-1
0 ? b et 1 ? a
f0 b f1 a f2 ab f3 aba f4 abaab f5
abaababa f6 abaababaabaab f7
abaababaabaababaababa
nombre de lettres de fn Fn1
nombre de a dans fn Fn
nombre de b dans fn Fn-1
la proportion de a dans w est 1/?
wabaababaabaababaababaabaababaabaababaabab
Conséquence le mot de Fibonacci nest pas
périodique.
66
Suite Sturmienne









0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
67
La suite des lapins
L1 1, L2 0, L3 1, L4 1,
L5 0, L6 1, L7 0 L8 1, L9 1,
L10 0, L11 1, L12 1, L13 0, L14 1, L15
0,
L1 1, L2 0, L3 1, L4
1, L5 0, L6 1, L7 0
L8 1, L9 1, L10 0, L11
1,
1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1,
1, 0, 1, L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7,
L8, L9, L10, , L11, L12, L13, L14,
1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1,
1, 0, 1,
1F2, 2 F3, 3F4, 4 F4 F2, 5F5, 6
F5 F2, 7 F5 F3, 8 F6, 9 F6 F2, 10
F6 F3, 11 F6 F4
68
Le nième lapin Ln
51 F9 F7 F4 F2
Le dernier indice (le 2 de F2 ) est pair
donc L51 1.
69
Le nième lapin Ln
Suites de Beatty
Autre façon de déterminer Ln
70
Autres liens entre la suite de Fibonacci et le
nombre dor
(J.L. Davison 1977)
(Formule de Binet)
Approximation simultanée dun nombre et de son
carré (H. Davenport et W.M. Schmidt, 1969. D.
Roy, 2003)
Fraction continue de Fibonacci
0 a, b, a, a, b, a, b, a, a, b, a, a, b, a, b,
a,
71
Le nombre dor et lesthétique
72
Musique et suite de Fibonacci

• Dufay, XVème siècle
• Roland de Lassus
• Debussy, Bartok, Ravel, Webern
• Stoskhausen
• Xenakis
• Tom Johnson Automatic Music for six percussionists

73
Gammes musicales

• Mathematics and musics, a Diderot Mathematical
  Forum
• G. Assayag, H.G. Feichtinger, J.F.
  Rodrigues (Ed.), Springer 2002.

• PYTHAGORE

74
Gammes musicales
Harmoniques dune note de fréquence n
vibrations de fréquences 2n, 3n, 4n,
Note à loctave fréquence 2n.
Octaves successives dune note de fréquence 1000
Hz
1000, 2000, 4000,
, 250, 500, 1000, 2000, 4000,
75
On choisit un intervalle n, 2n et on ramène
toutes les notes dans cet intervalle par des
octaves successives.
Exemple On choisit lintervalle 1, 2. Une
note de fréquence f sera ramenée à une
vibration de fréquence r avec 1 r lt 2, où
f2a r, a entier.
Cela revient à diviser log2 f par 1, le
quotient est a, le reste est log2 r avec 0
log2 r lt 1
log2 f a log2 r
76
Exemple une note de fréquence 3 (harmonique de
1) est à loctave de la note de fréquence 3/2.
Intervalle musical 1, 3/2 quinte, rapport
3/2
Intervalle musical 3/2, 2 quarte, rapport
4/3
77
Intervalles en musique

• Note 1 2 3 4 5
  6 7 8
• Nom Do Ré Mi Fa Sol La Si
  Do
• Fréquence 264 297 330 350 390 440
  493 528
• Rapport 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3
  15/8 2
• Octave DO ? DO 1 ? 8 Rapport 2/1
• Quinte DO ? SOL 1 ? 5 Rapport 3/2
• Quarte DO ? FA 1 ? 4 Rapport 4/3
• Tierce DO ? MI 1 ? 3 Rapport 5/4

78
Quintes successives ce sont les notes à
loctave de celles de fréquences 1,
3, 9, 27, 81, dans lintervalle 1,
2 1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64,
Question quand retombera-t-on à loctave de la
note initiale?
Réponse jamais!
Raison léquation diophantienne 3a 2b na pas
de solution en entiers positifs a, b.
79
(3/2)a 2c ? 3a 2b avec bac
Approximation trouver a et b tels que
3a soit proche de 2b
32 9, 238, 9/8 1,125 ? 1 Deux
quintes font un peu plus quun octave
35 243, 28256, 243/256 0,94921?
1 Cinq quintes font presque trois octaves
80
(No Transcript)
81
312 531 441, 219524 288,
(3/2)12 129,7463gt 27128 Douze
quintes font à peine plus que sept octaves
Comma de Pythagore 312 / 2191,01364
82
Autre approximation remarquable
53 125 27 128
(5/4)3 1,953 2 trois tierces (rapport 5/4)
font presque une octave
Informatique (kilo octets)
210 1024 103
83
Informatique kilo octets (210 1024 ? 103)
Acoustique multiplier lintensité sonore par 10,
cest ajouter 10 décibels.
Multiplier lintensité par k, cest ajouter d
décibels avec
10d k10 .
Comme 210 ? 103, doubler lintensité, cest à
peu près ajouter 3 décibels.
84
Équation 3a - 2b 1 seule solution a2 , b 3
Question de Philippe de Vitry, résolue par Levi
Ben Gerson (Leo Hebraeus) (1288-1344)
Euler (1738) x2 - y3 ? 1 seule solution x3 ,
y 2
Équation de Catalan xa - yb 1.
85
Extrait dune lettre adressée à lÉditeur par
Monsieur E. Catalan, Répétiteur à lÉcole
Polytechnique de Paris, publiée dans le Journal
de Crelle (1844)
Je vous prie, Monsieur, de bien vouloir énoncer,
dans votre recueil, le théorème suivant, que je
crois vrai, bien que je n'aie pas encore réussi
à le démontrer complètement d'autres seront
peut-être plus heureux. Deux nombres entiers
consécutifs, autres que 8 et 9, ne peuvent être
des puissances exactes autrement dit
l'équation xa - yb 1, dans laquelle les
inconnues sont entières et positives, n'admet
qu'une seule solution.
86
J.W.S. Cassels (1953, 1961), R. Tijdeman
(1976), P. Mihailescu (2002) xa - yb 1 a
pour seule solution 32 - 23 1
Suite des puissances parfaites 1, 4, 8, 9, 16,
25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128,
144, 169, , xa ,
Conjecture de Pillai (1945) la différence entre
deux termes consécutifs tend vers linfini.
Pour tout k? 0, léquation xa - yb k na quun
nombre fini de solutions (x, y, a, b).
87
E. Dubois, G. Rhin, Ph. Toffin (1986)
Pour a et b entiers positifs,
88
Problème de Mahler (1967)
Pour a et b entiers positifs,
b-log agt2-cb ?
K. Mahler, M. Mignotte, F. Wielonsky
b-log agtb-20b
Yu.V. Nesterenko, S. Khémira a et b rationnels
Applications en informatique théorique J.M.
Muller et A. Tisserand, 1996
89

• Lexplosion
• des
• Mathématiques

90
http//smf.emath.fr/Publication/ExplosionDesMathe
matiques/ Presentation.html
http//www.math.jussieu.fr/miw/