Comparaison d'une distribution observe une distribution thorique

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Comparaison d'une distribution observée à une
distribution théorique

• Situation du problème
• Les éléments
• Généralisation de la comparaison dun pourcentage
  observé à un pourcentage théorique
• 1 variable qualitative définissant des classes
  (ou quantitative mise en classes). On a la
  fréquence (nombre) de sujets appartenant à chaque
  classe.
• 1 distribution théorique soit empirique soit
  suivant une loi de probabilité théorique
  concernant les mêmes classes.
• On aboutit à une table dans laquelle pour chaque
  classe, on a leffectif observé et leffectif
  théorique correspondant à ce que lon aurait
  observé si le caractère étudié suivait la
  distribution théorique.
• La question
• La distribution observée peut-elle être
  considérée comme conforme à la distribution
  théorique ?
• Les écarts constatés entre valeurs observées et
  théoriques peuvent - ils être attribués au hasard
  ?

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Comparaison d'une distribution observée à une
distribution théorique

• Hypothèses
• Hypothèse nulle
• Les écarts constatés entre les effectifs observés
  et théoriques sont le fait du hasard. La
  distribution observée suit la loi de probabilité
  théorique.
• Hypothèse alternative
• La distribution observée ne suit pas la loi de
  probabilité théorique considérée.
• Eléments nécessaires au calcul
• Table de contingence

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Comparaison d'une distribution observée à une
distribution théorique

• Statistique
• Khi 2 dadéquation
• Degré de liberté
• Nombre de classes - 1 - Nombre de paramètres
  estimés de la loi théorique (si nécessaire).
• Conditions dapplication
• Tous les effectifs théoriques doivent être
  supérieurs à 5.
• Si les conditions ne sont pas remplies, il faut,
  quand cela est possible, regrouper logiquement
  des classes ou prendre dautres méthodes.
• Sous H0, on estime les effectifs théoriques de
  chaque case de la table de contingence
• Pour chaque case on utilise la probabilité
  théorique s'y rattachant multipliée par
  l'effectif observé total.
• Par exemple en cas de loi de distribution (loi
  normale par exemple) on calcule d'abord la
  probabilité d'être dans l'intervalle (Bi-Bs) de
  chaque classe puis l'effectif théorique. Ainsi,
  la probabilité d'être dans l'intervalle
  -infini moyenne est de 0,5. Celle d'être dans
  l'intervalle -infini moyenne - 1,96 écart
  type est de 0,025...
• On calcule ainsi les différents effectifs
  théoriques en fonction de la loi de probabilité
  utilisée.

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Comparaison d'une distribution observée à une
distribution théorique

• Khi 2 dadéquation
• Calcul pour chaque case des effectifs théoriques
• Condition d'application tous les effectifs
  théoriques doivent être supérieurs à 5 sinon
  regroupement
• Calcul du Khi 2

p Nombre de classes après regroupement
DDL p -1 - Nombre de paramètres estimés

• Décision

• Si Khi2 gt Khi2 alpha gt rejet de HO la
  distribution n'est pas conforme à la distribution
  théorique. Recherche du degré de signification p.
• Sinon rien ne permet de dire que la distribution
  observée n'est pas conforme à la distribution
  théorique gt H0 acceptée mais attention au risque
  ß

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Comparaison d'une distribution observée à une
distribution théorique

• Exemple 1
• Dans un essai thérapeutique, on a testé un
  médicament sur 200 patients. Les résultats ont
  été notés en bons, moyens et mauvais. On a obtenu
  les pourcentages de bons résultats suivants
• 45 de bons résultats, 15 de résultats moyens et
  40 de mauvais résultats
• Dans la littérature ce traitement donne 75 de
  bons résultats, 22 de résultats moyens et 3 de
  résultats mauvais. Les résultats observés
  sont-ils conformes à ceux de la littérature?

• H0 Les résultats sont conformes
• H1 Les résultats ne sont pas conformes
• Table de contingence

Bons Moyens Mauvais Total Obs. 90
(0,45200) 30 80 200 Théo 150 44 6 200
DDL 2 Khi20,001 13,82 gt plt0,001
La distribution n'est pas conforme à la
distribution observée dans la littérature. Les
résultats obtenus sont statistiquement moins bons
que ceux de la littérature. Remarque le calcul
d'un seul des termes du khi 2 (le dernier par
exemple) permet de rejeter H0.
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Comparaison d'une distribution observée à une
distribution théorique

• Exemple 2
• Sur 300 étudiants en médecine, la moyenne de la
  taille est de 1,75m avec un écart type estimé de
  0,1m. Ces deux paramètres sont estimés à partir
  des données de cet échantillon. Vous avez observé
  8 étudiants avec une taille inférieure à 1,55m
  40 avec une taille entre 1,55 et 1,65 102 avec
  une taille entre 1,65 et 1,75 et 150 avec une
  taille supérieure à 1,75m
• La distribution de la taille des étudiants en
  médecine peut elle être considérée comme suivant
  une loi normale ?

Moyenne estimée 1,75 - Écart type estimé 0,1