Equation d

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Equation détat dun modèle de transport-diffusion
. Applications

• Gilles Roussel,
• Eric Ternisien
• LASL (EA2600) / ULCO
• Calais

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Plan

• I Contexte
• II Sans Modèle / Avec Modèle ?
• III Modélisation
• IV Discrétisation, codage détat
• V Propriétés
• VI Applications
• VII Conclusion

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I. Contexte

• Problématique Inverse pour la surveillance de la
  pollution
• Mesures aux capteurs de concentration ?
  déterminer
• Le flux à la (aux) source(s) (déconvolution,
  séparation)
• La position de la source (localisation)
• les paramètres du modèle (identification)
• Domaines applicatifs
• Surveillance de la pollution atmosphérique
• Développer une aide au diagnostic des pics
  démission canalisée d'origine industrielle en
  identifiant la cause (flux, position)
• Surveillance de la pollution fluviale ou
  phréatique
• Localiser les sources de pollution liée à des
  rejets ou fuites
• Localisation des essais nucléaires (Traité du
  CTBTO)
• Détection des explosions ? 1Ktonne eqTNT à partir
  des données de concentration en xénon
• Localiser les sources de pollution liée à des
  rejets ou fuites

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II. Sans modèle / avec modèle ?

• Méthodes sans modèle source - capteurs
• Interpolation spatiale à partir des
  concentrations observées
• nb capteurs ?
• sensibilité aux paramètres ?
• portabilité du comportement à dautres sites ?.
• Prédiction temporelles à partir des séries
• déconvolution ?
• localisation ?
• sensibilité au paramètres ?
• Conclusion combinaison espace - temps difficile
• Méthodes avec modèle source - capteurs
• Modèle de comportement
• choix ?
• prise en compte des paramètres physiques ?
• portabilité ?
• localisation?
• Modèle de connaissances

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II. Avec modèle /sans modèle ?

• Modèle de connaissances
• phénomènes physiques caractéristiques
• précision évolutive
• prend en compte les variables pertinentes
• modélisation espace-temps explicite
• Souhaits pour le modèle directe
• simplicité, fidélité choix ?
• faire apparaitre explicitement la (les) source(s)
  et les variables observables
• garder la dimension spatiale et temporelle
  (mesures spatialement réparties, cas
  multisources)
• possibilité de se placer dans un cadre discret
  (mesures échantillonnées)

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III. Modélisation

• Pourquoi le modèle de transport-diffusion ?
• Modèle (historique) de dispersion de la pollution
  dans lair
• bonne approximation de la propagation horizontale
• hypothèses sur la dispersion turbulentes
  verticales
• Modèle directe dynamique
• solution en statique classique équation
  panache
• Le modèle de transport-diffusion (2D)
• il satisfait en tout point la conservation de la
  masse

diffusion
advection
? (x,y,t) concentration au point (x,y) à
l instant t
vent
diffusion
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III. Modélisation

• Hypothèses
• Domaine atmosphérique non borné
• Réduction à un domaine de calcul (de
  surveillance) ? borné de contour artificiel ??
• conditions aux limites

Atmosphère
Ex. conditions de Neuman continuité aux limites
artificielles
??
?
Source
??
Vent
Ex. conditions de Dirichlet
Vue de dessus
Vent
?
Terre
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III. Modélisation

• Conditions aux limites (locales)
• Limites artificielles non réfléchissantes
• continuité (Pearson)
• ?x, ? y célérité équivalente
• Limites physiques réfléchissantes
• exemples ?0 sur ?
• à une source au point (xs,ys)
• Conditions initiales pollution de fond
• Modèle elliptique linéaire

Sur ??
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IV. Discrétisation

• On discrétise les signaux S(xs,ys,t) et ?
  (x,y,t) avec le même pas d'échantillonnage
  temporel T
• On discrétise l'espace avec les pas
  d'échantillonnage directionnels h et k
• Les méthodes de discrétisation
• différences finies,
• élements finis

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IV. Discrétisation

• Dérivation par les différences finies en un point
  i
• dérivée première temporelle
• dérivée première spatiale
• centrée espace, schéma de Lax effet de lissage
• décentré en espace (upwind)
• calcul effectué que pour les points "au vent
• tenir compte du sens du vent
• Cette méthode ajoute un terme de viscosité
  négligeable si le nombre de Reynolds de maille
  Rh

?
?
?
X
O
?i-1n
?in
?i1n
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IV. Discrétisation

• Dérivée spatiale seconde
• explicite ?in1f1(? in, ? vn), ? v potentiel
  au voisinage de i
• Markovien,
• implicite ? in1 f2(? in , ? in1, ? vn1)
• schéma stabilisant,
• résolution numérique supplémentaire à chaque n
• non Markovien
• Crank-Nicolson ? in1 ?f1(.) (1- ? )f2(.)
• idem implicite

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IV. Discrétisation

• Equation d'advection - diffusion (cas 2D, Kcste)
• conditions limites
• aux frontières artificielles (condition de
  continuité)
• aux sources
• obstacle (sans turbulence)
• Paramètres (pour Ux, Uy positifs)
• Précision

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IV. Discrétisation
capteurs
c1
c2
c3
i1

• Schéma numérique
• en ?
• en ??

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IV. Discrétisation

• Modèle détat
• vecteur détat
• Equation détat
• Les bruits
• Wn bruit détat
• modélise lincertitude sur létat (turbulence non
  prise en compte par le modèle, topographie)
• moyenne parfois non nulle, trace(E(Wn.WnT))
  faible
• indépendant de Sn et Vn
• Vn bruit de mesure

A caractérise lévolution libre du système de
dispersion
B modélise limplantation des sources dim(B)
lLns
C modélise l implantation des capteurs dim(C)
nclL
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IV. Discrétisation

• Stabilité du schéma numérique
• condition nécessaire de convergence de la
  solution ?i,jn.
• peut sétudier à partir des valeurs propres de la
  matrice A
• rayon spectral ?(A)max?k 1?k?Ll1
• on peut montrer (Gershgörin-Hadamard)
• comme (A matrice de Markov)
• alors
• finalement, on peut montrer
• d'où la condition sur la période
  déchantillonnage T pour un pas spatial (h,k)
  donné

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• Simulations
• sans advection

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V. Propriétés

• Observabilité
• Observabilité stricte, cest la possibilité de
  résoudre
• O doit être de rang l.L dimension de ?
• un nombre de mesures égale à
• cas monocapteur dim(Y) ? l.L
• cas nc capteurs dim(Y) ? (l.L/nc)
• si (rang(O)r )lt l.L seulement (l.L-r) noeuds ne
  peuvent être estimés.
• Observabilité théorique
• Le rang est meilleur dans le cas multicapteurs
• numériquement

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• Evolution de rang(O) pour 1 capteur, seuil de
  rang 1e-25
• Evolution de rang(O) pour 2 capteurs, dont1 fixe
  en (8,8), seuil de rang 1e-25
• Conclusion
• plus le capteur est éloigné de la source dans la
  direction du vent, meilleur est l'observabilité
• plus il y a de capteurs, meilleur est
  l'observabilité

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V. Propriétés

• Commandabilité (Excitabilité des nœuds)
• Existe t-il une commande
• vérifiant
• La réponse est oui si rang(C) l.L, sinon il y a
  (rang(C)-l.L) nœuds non excités.
• On peut montrer
• De façon logique, le rang(C) augmente avec le
  nombre de source.
• Un état X(kf) peut être atteint en n coups
  (nltl.L), si
• X(kf) appartient au sous espace engendré par les
  colonnes de C
• La représentation des colonnes de C sur le
  maillage, constitue une base de motifs

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V. Propriétés

• Commandabilité (suite)
• En pratique, le rang(C) dépend du seuil de
  sélection des valeurs propres considérées non
  nulles.
• Pour un seuil d'excitabilité donné, le rang
  indique le nombre de nœuds excitables.
• Evolution de rang(C) en fonction de la position
  de S, à seuil fixé
• Conclusion Pour une direction de vent donnée,
  plus la source est au vent, plus il y a d'état
  excités.

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V. Propriétés

• Identifiabilité
• C.N. Commandabilité et Observabilité
• on augmente la probabilité d'identifier le
  modèle si
• le capteur est placé sous le vent, le plus loin
  de la source
• le nombre de capteurs augmente
• Ouf !!!

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VI Applications

• Principe Majeur
• Considérer la relation source-capteur comme un
  filtre de convolution

Hi(z)C(zI-A)-1B f position(S),
position(capteursi), K, U ? i
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VI Applications

• Différentes formes du modèle
• forme d'état A(?1), B ( ?2), C
• réponses impulsionnelles
• matrice de Hankel
• matrice de filtrage
• Différents problèmes inverses
• Estimation des paramètres physiques ?1
• Localisation de source(s) estimation de ?2
  (i.e. B)
• Déconvolution / séparation de sources
  estimation de Sn
• Prédiction temporelle
• Informations

?1 paramètres physiques
?2 paramètre de localisation
M ordre RIF
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VI Applications
Exemple Estimation des réponses
impulsionnelles par méthode spectrale
paramétrique (séparation des sous-espaces source
et bruit)
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VII Conclusion

• Modélisation d'un phénomène de transport-diffusion
  par une représentation d'état.
• réutilisabilité de la méthodologie ?
• Point de départ pour bon nombre de problèmes
  d'estimation
• Aspects applicatifs surveillance de points
  sources