Master 1 informatique 20062007' Logique et Programmation' G' Hains

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Chapitre 2 Logique du premier ordre

• Formules du premier ordre
• Dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

• Une formule de logique du 1er ordre est un terme
  dans une syntaxe à trois niveaux
• Termes (fonctionnels, comme ceux de
  larithmétique)
• Formules booléennes (termes relationnels)
• Quantificateurs (Il existe E, Pour tout A)

Voici par exemple une formule (x gt 0) et A y A
z (non(y z x) ou yx ou zx) qui exprime le
fait que x est positif et que quels que soient y
et z soit ils ne sont pas une factorisation de x
soit lun deux est égal à x, Interprétation sur
les naturels x est premier.
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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

• Dans cette formule
• (x gt 0) et A y. A z. (non(yzx) ou yx ou yz)
• On trouve
• Un symbole de constante, fonction darité 0 0.
• Un symbole de fonction binaire
• Deux symboles de relations binaires et gt
• Des variables x, y, z
• Des connecteurs et, non, ou, et un quantificateur
  A.
• Des termes x, 0, yx, y, z.
• Des formules booléennes
• Atomiques x gt 0, yzx, yx, yz
• Composées non(yzx), non(yzx) ou yx etc.
• Tout ceci provenant dune syntaxe propre, donc
  dune signature appropriée.

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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

Une signature (syntaxe) de logique du 1er ordre
contient ainsi des symboles fonctionnels et des
symboles relationnels. Par exemple, une
signature pour larithmétique Sigma 0, S,
, , lt, contient des symboles fonctionnels
0, S, et ( chapitre précédent ) et des
symboles relationnels binaires lt et . T_Sigma
les termes (fonctionnels) sur Sigma
T_SigmaX les termes avec variables de
lensemble X At_SigmaX les formules
atomiques (ou atomes) qui sont les R t_1
t_n où t_i T_SigmaX et R est un symbole
relationnel darité n.
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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

• Définissons L_SigmaX les formules du calcul des
  prédicats du premier ordre
• L_SigmaX est le plus petit langage de
• (Sigma union X union et, ou, gt, non, faux, A,
  E)
• tel que
• si phi At_SigmaX alors phi L_SigmaX
• faux L_SigmaX et si phi, psy L_SigmaX
  alors
• phi et psy, phi ou psy, phi gt psy, non phi
  L_SigmaX
• si x X et phi L_SigmaX alors
• A x phi, E x phi L_SigmaX

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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

Pourquoi ce nom de  logique du premier ordre  ?
Parce que les variables ne dénotent que des
valeurs constantes. Dans une logique dordre
supérieur on peut avoir des varibles de fonctions
ou des variables de relation   il existe une
relation bien fondée   etc. Cela rend la
logique beaucoup plus expressive mais infiniment
plus complexe du point de vue de lalgorithmique.
Les occurrences dune formule sont définies en
posant que dans A x phi (respectivement E x
phi) la racine est (A x) (respectivement (E x))
et larète qui descend de la racine est étiquetée
1 le quantificateur est traité comme unaire.
Par exemple O(E x (x gt 0 et x S0)) ,
1, 1,1, 1,1,1, 1,1,2, 1,2, 1,2,1,
1,2,2, 1,2,2,1 où par exemple le symbole S
est en 1,2,2 .
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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

La greffe dans une formule du premier ordre est
définie exactement comme au chapitre 1, elle ne
dépend que de la définition des occurrences.
Par exemple si phi E x (x gt 0 et x S(0))
alors phi 1, 2 lt- yz 0 E x (x gt
0 et yz0)
La substitution est plus délicate, il faut éviter
la capture de variables. Soient une formule
phi L_SigmaX, et un terme t TX. Si les
variables liées de phi sont renommées hors des
variables de t, alors phix t est obtenue en
remplaçant chaque occurrence de x (nécessairement
libre) dans phi par t.
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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

Attention. On peut toujours renommer les
occurrences dune même variable liée. Par exemple
(A x. x gt 0) et (A y. y gt 0) sont des formules
non seulement équivalentes mais égales. Ce
renommage est parfois délicat. Par exemple dans
(A x E y (xyz)), y peut être renommée en u mais
pas en x ou en z
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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

• Les formules de logique du 1er ordre expriment
  des propriétés vraies, fausses ou conditionnelles
  selon la valeur de leurs variables.
• En général il est difficile de déterminer la
  valeur de vérité dune formule.
• On écrit une preuve formelle ou dérivation qui
  démontre une formule par des règles de dérivation
  à partir de formules supposées ou posées vraies.
• Une fois construite, une preuve peut se vérifier
  par algorithme mais en général la recherche de
  preuve est indécidable.
• Voyons ces systèmes déductifs et les arbres de
  dérivations (preuves) pour
• La logique minimale propositionnelle NM
• La logique intuitionniste sans quantificateurs
• La logique intuitionniste avec quantificateurs

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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

• La logique minimale propositionnelle NM.
• Ses règles portent des noms comme
  Introduction/élimination de symbole.
• Une règle/dérivation peut contenir des formules
  dites déchargées qui sont des hypothèses quon
  écrit entre .
• Introduction du gt
• alpha beta / (alpha gt beta)si on dérive
  beta de lhypothèse alpha on a prouvé alpha gt
  beta.
• Introduction du et
• (alpha) (beta) / (alpha et beta)
• si on dérive alpha et si on dérive beta on a
  prouvé (alpha et beta).

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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

• Elimination du gt
• (alpha gt beta) alpha / beta
• Elimination du et, version gauche
• (alpha et beta) / alpha
• Elimination du et, version droite
• (alpha et beta) / beta
• Introduction du ou, version gauche
• alpha / (alpha ou beta)
• Introduction du ou, version droite
• beta / (alpha ou beta)
• Elimination du ou
• ((alpha ou beta) (alpha gamma) (beta
  gamma) ) / gamma

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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

Voici par exemple une dérivation de la formule
(alpha et beta) gt (beta et alpha) alpha
et beta / beta élim et à
droite alpha et beta / alpha élim
et à gauche (alpha et beta / beta) (alpha et
beta / alpha) / (beta et alpha) intro
et (alpha et beta / beta) (alpha et beta /
alpha) / (beta et alpha) / ((alpha et
beta) gt (beta et alpha)) intro gt
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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

La logique intuitionniste sans quantificateurs.
La logique minimale MN ne traite pas la négation
(non, faux). Le traitement  classique  de la
négation est de considérer que tout ce qui nest
pas vrai est faux, le principe du tiers exclu.
Ce principe nest pas tenable en informatique où
beaucoup de choses sont indécidables,
non-évaluées, manquent dinformation etc. La
logique intuitionniste est plus réaliste par son
traitement de la négation qui tient compte de la
notion de calcul et des découvertes de
linformatique théorique. La seule nouvelle
règle est lélimination de faux faux /
alpha de la formule fausse on peut déduire
nimporte quelle formule. Ce système (NM
règle élim-faux) sappelle NJ.
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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

Dans le système NJ on traite la négation à
partir de faux et gt. La formule (non alpha)
nest quune abbréviation de (alpha gt
faux). Pour raisonner directement avec la
négation il est plus commode davoir des règles
intro-non et élim-non Intro-non (alpha(non
beta)) (alpha(beta)) / (non alpha)
Elim-non (non alpha) (alpha) / beta
Ces règles ne sont pas élémentaires, elles
peuvent être démontrées
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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

Par ex. démonstration de élim-non dans le système
NJ (non alpha) (alpha) / (alpha gt faux)
(alpha) abbrév. (non alpha) (alpha) / (alpha
gt faux) (alpha) / faux élim gt (non alpha)
(alpha) / (alpha gt faux) (alpha) / faux / beta
élim-faux Donc Elim-non (non alpha)
(alpha) / beta Intro-non peut être
démontrée dans NM donc sans élim-faux.
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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

• La logique intuitionniste avec quantificateurs.
• Enfin il existe des règles pour les
  quantificateurs.
• Intro A alpha(a) / A x. alpha(x)
• La constante a est quelconque donc alpha(a) est
   universelle .
• Elim A
• A x. alpha / alphax t
• Pour un terme t quelconque.

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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

• Intro E alphax t / E x. alpha
• Pour un terme t quelconque.
• Elim E
• (E x. alpha) (alpha(a) beta) / beta
• Théorème non(A x. alpha) ? E x. (non alpha)
• Et non(E x. alpha) ? A x. (non alpha).
• Le  sens  de ces règles est assez clair.
• Mais une dérivation comme (a0) / A x. (x0) est
  ici valide.
• Pour éliminer ce genre de dérivation il faut une
  gestion fine des  décharges  dhypothèses.
• Nous allons étudier des logiques plus simples à
  implanter.

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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

• Formes normales
• Les formules propositionnelles (sans
  quantificateurs) peuvent se ramener à des
  formules nutilisant que les connecteurs et, ou,
  non sur des formules atomiques.
• Un littéral est une formule atomique ou sa
  négation, ex non(x gt 0).
• Une forme normale conjonctive est une formule de
  forme
• (l1 ou l2 ou ) et (l3 ou l4 ou ) et
• où les l_i sont des littéraux.
• Une forme normale disjonctive est une formule de
  forme
• (l1 et l2 et ) ou (l3 et l4 et ) ou
• où les l_i sont des littéraux.

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• Formules du premier ordre
• dérivation naturelle, arbres de dérivation
• Formes normales

Proposition Pour toute formule
propositionnelle il existe une forme normale
disjonctive et une forme normale conjonctive qui
lui sont équivalentes. On obtient la forme
normale conjonctive par le système de réécriture
suivant alpha ltgt beta ? (alphagtbeta) et
(betagtalpha) alpha gt beta ? (non alpha) ou
beta non(non alpha) ? alpha non(alpha et beta)
? (non alpha) ou (non beta) non(alpha ou beta)
? (non alpha) et (non beta) alpha ou (beta et
gamma) ? (alpha ou beta) et (alpha ou gamma)
(alpha et beta) ou gamma ? (alpha ou gamma) et
(beta ou gamma)fin du chapitre.
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