Les tests dhypothses

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STATISTIQUES

• Les tests dhypothèses

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Variables aléatoires

• Une variable aléatoire X est un résultat dune
  expérience aléatoire.
• Ex Résultat du tirage dun dé à 6 faces, v.a.
  discrète.
• Problème comment faire si on doit représenter
  le même genre dhistogramme pour une v.a. pouvant
  prendre nimporte quelle valeur dans 01
  uniformément ?

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Densité

• Pour les v.a. continues, on ne peut plus
  caractériser la probabilité point par point, on a
  donc recours à une fonction nommée densité.
• On définit pour X la probabilité dappartenir à
  un intervalle ab
• Propriétés remarquables
• La densité dune somme est la convolée des
  densités.

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Loi normale

• Densité de la loi normale de moyenne ? et décart
  type ? N (?, ?)
• Ex loi normale N (0,1)

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Table de la loi normale
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Théorème Central Limit

• Théorème
• Soit Xi une suite de v.a. de même loi
  despérance µ et décart type s. Alors la v.a.
• converge en
  loi vers une v.a. normale centrée réduite N
  (0,1).
• Conséquences
• la moyenne des Xi converge vers une N (µ, s/vn).
• une proportion Fn tend vers une N (p, s/v(p(1-p)
  / n)).
• Attention On suppose tout de même lexistence
  dun écart type fini !!!

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But des tests dhypothèses

• Répondre à des questions de la forme
• Cette pièce est-elle truquée ?
• Ces deux populations sont-elles significativement
  différentes ?
• Est-il possible que ces données suivent une loi
  Gaussienne ?
• En fait on cherche à trancher entre deux
  hypothèses dont une et une seule est vraie en
  ayant une idée sur les erreurs commises.
• Soient H0 et H1 ces deux hypothèses.
• a et ß sont des probabilités
• a erreur de première espèce
• ß erreur de seconde espèce
• 1-ß est la puissance du test

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Région dacceptation

• a étant fixé, il faut choisir une variable de
  décision X dont le comportement est connu sous
  lhypothèse H0.

O ensemble des possibles pour X
R Région de rejet de H0 P(X ? R
/H0)1-a P(X ? R /H1)ß
A Région dacceptation de H0 P(X ? A
/H0)a P(X ? A /H1)1-ß
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Sur un exemple

• On souhaite construire un test au niveau 5
  permettant de détecter si une pièce est truquée
  ou non. On se donne pour cela 1000 tirages.
• H0 la pièce est normale
• H1 la pièce est truquée
• Si H0 est vraie la pièce doit faire pile
  avec une probabilité ½.
• Donc si X est le nombre de pile
• X?B(1000,1/2) cette loi est approximée par une
  N (500,?250)
• Il faut trouver une région R telle que X soit
  dans R avec probabilité 95.

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Exemple (2)

• On cherche a et b tels que
• P(X?a,b / H0) 0.95
• ? P(N (500, ?250) ?a,b ) 0.95
• ? P(N (0,1) ?(a-500)/?250,(b-500)/ ?250 )
  0.95
• Il faut trouver les valeurs des bornes de
  lintervalle de confiance.

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Table de la loi normale
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Exemple (3)

• ? a ? 530.99
• ? b ? 469.01
• On accepte H0 (la pièce nest pas truquée) si X
  est dans 470530. On rejette H0 dans les autres
  cas.
• On est sûr que si H0 est vraie, il ny a que 5
  des cas où on ne va pas le détecter.
• Que se passe t-il dans le cas où H1 est vraie ?

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Exemple (4)

• Impossible de déterminer la puissance de notre
  test.
• Pour capable de la minorer, il faut se fixer une
  tolérance sur le biais de la pièce. Par exemple
  on tolère les pièces dont la probabilité de faire
  pile est comprise entre 0.49 et 0.51.
• 1-? P(X?469530 / H1) gt P(N (510, ?249.9) ?
  469530 )
• P(N (490, ?249.9) ? 469530)
• P(N (0,1) ? -1.328 2.530)
• 0.0895
• Passage à un test unilatéral (on sait que les
  pièces truquées font moins de piles)
• Au niveau 5, le rejet à lieu si X lt 474
• La puissance est minorée (pour une tolérance de
  0.01) par 0.1562

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Lien entre seuil et risque
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Loi du ?2

• Elle possède un paramètre m degré de liberté
  
• Soit (xi) une suite de v.a. indépendantes suivant
  une N (0,1) alors
• Remarque

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Test du ?2

• Cest un test dadéquation dune loi de
  probabilités à des données.
• Soit x1,,xn un échantillon de n réalisations
  indépendantes de la v.a. X
• Soit f(x) la densité réelle de X
• Soit f notre hypothèse sur la densité de X
• (les paramètres de f sont soit connus soit
  estimés à partir des données)
• H0 f(x) f(x)
• H1 f(x) ? f(x)
• A partir de léchantillon on construit un
  histogramme pour X de k classes Ci .
• Soit Oi le nombre dobservations dans la classe
  Ci
• Les classes sont déterminées à partir des
  valeurs prises dans léchantillon au bon vouloir
  de lutilisateur.

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• On construit ensuite le tableau suivant
• suit une ?2 à ? degrés de libertés
• ? k nombre de relations entre effectifs
  théoriques sous H0 et effectifs observés.
• En fait I mesure une distance entre la
  distribution attendue et la distribution observée
• Pour construire un test au niveau ? de H0 contre
  H1, il suffit de choisir un seuil s tel que
  P(Igts/H0)lt?, ce qui est facile car sous H0 I suit
  un ?2 dont les valeurs sont tabulées.

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Expérience de Mendel

• Chez les pois, le caractère couleur est codé par
  un gène présentant deux formes allèles C et c,
  correspondant aux couleurs jaune et vert. Le
  jaune est dominant, le vert récessif. La forme,
  rond ou ridé, est portée par un autre gène à deux
  allèles R (dominant) et r (récessif). On croise
  deux individus dont le génotype est CcRr.
• Dans ses expériences, Mendel a obtenu les
  résultats suivants.
• I0.47 à comparer avec la valeur dun ?2 à 3 ddl
  (au niveau 5 on rejette H0 dessus de 7.815).
• En réalité sous H0 on avait seulement 8 de
  chances davoir des résultats aussi proches de la
  théorie

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?2 de contingence

• Utilisé pour tester lindépendance de deux
  caractères A et B dans une même population.
  Chacun des deux caractères possède plusieurs
  classes.
• H0 Algo 1 et Algo 2 ont des
  performances équivalentes.
• H1 Algo 1 et Algo 2 ont des
  performances différentes.
• Effectifs observés Effectifs attendus sous H0

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?2 de contingence (2)

• Différence entre observation Carré des
  différences divisé par
• et effectifs attendus leffectif attendu
• En fait on observe la statistique
• Avec h nb de lignes, k nb de colonnes
• O(i,j) effectif observé en (i,j)
• E(i,j) effectif attendu en (i,j)
• Sous H0 I suit un ?2 à (h-1)(k-1)1 degré de
  liberté
• Donc pour un test au niveau 1 on rejette H0 (le
  seuil est de 6.635)

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Remarques

• Pour un tableau 2x2 cest mal de faire un ?2 car
  il est équivalent à un t-test sur les proportions
  qui possède deux avantages
• Possibilité de calculer la puissance pour le
  t-test
• On peut créer un test unilatéral alors que ?2 est
  toujours bilatéral ce qui signifie que lon
  obtient que des informations du type algo 1 et
  algo 2 sont différents mais pas davantage.
• On peut citer de nombreux autres tests
• Tests du maximum de vraisemblance
• Test de Fisher (variances) Student (moyennes)
  Kolmogorov-Smirnov, Cramer (tests sur fonction
  répartition) Spearman (indépendance des
  réalisations)
• ANOVA (analyse of variance).

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Documents utiles

• Jean-Michel JOLION
• http//rvf.insa-lyon.fr/jolion/STAT/poly.html
• Stephan MORGENTHALER
• Introduction à la statistique , Presses
  Polytechniques et Universitaires Romandes
• SMEL
• Projet de lINRIA sur les statistiques en
  médecine.

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Densité