Les rseaux petitsmondes

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Les réseaux petits-mondes

• Nicolas Hanusse (LaBRI)

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Contexte

• Caractériser les réseaux dintéractions de grande
  taille
• En partant de données réelles qui partagent
  des propriétés structurelles particulères
• En proposant de bons modèles
• Etudier les conséquences algorithmiques
• Requêtes Routage, recherche information
• Tolérance aux pannes
• Diffusion/propagation dinformation, dépidémie
  ou rumeurs.
• Bons candidats pour des réseaux logiques

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Quel est le rapport entre

• Graphe du Web ?
• Réseaux sociaux
• collaborations scientifiques Erdös Number
• Hollywood graph.
• Réseaux dintéractions protéïne-protéïne
• Réseaux pair-à-pair
• Réseaux de transport aériens
• Ontologies lexicales et sémantiques

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Ce sont tous des graphes petits mondes !

• Pas de définition précise mais existence de
  nombreux courts chemins.

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Distribution des distances
Lada A. Adamic. The Small World Web. 2000.
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Caractérisation des petits mondes

• Statistiques sur des paramètres de graphes
• Petit diamètre polylog(n)
• Densité locale forte (mes voisins se
  connaissent)
• Densité globale faible degré moyen faible
• Distribution des degrés hétérogène ou homogène
• Algorithmique on peut router facilement et
  rapidement dans un petit monde (espoir).

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Réseaux sociaux Lexpérience de Milgram - 1967

• Du Nebraska à Boston

Pourquoi le routage glouton est-il efficace ?
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Le phénomène petit-monde

• il existe des courts chemins et on en trouve !
• Quels modèles (graphes, processus dynamiques)
  peuvent expliquer ce phénomène ?
• Court chemins (facile) un anneau couplage
  aléatoire mène à des chemins O(log N)
• Algorithme décentralisé de recherche (bien plus
  difficile)

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Modèle de Watts-Strogatz et ses variantes

• WS
• Graphe de base anneau de n nuds connexion
  avec ses k plus proches voisins
• Redirection aléatoires darêtes (de manière
  uniforme).
• Variantes en dimension supérieure (tores, grilles
  en dimension D)
• Ajout darêtes aléatoires au lieu de redirection
  (graphe augmenté)

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Graphe augmenté (G,L)
graphe déterministe G liens (aléatoires) L
n
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Petit-monde navigable

• Hypothèse chaque nud dispose dun oracle
  indiquant un voisin qui rapproche de la
  destination via
• une approximation de la distance à la destination
  (étiquetage de distance, ) OU
• Propriétés de graphes géométriques (triangulation
  Delaunay, graphes de Yao, )
• Petit-monde navigable Pour un réseaux à n nuds,
  on peut router avec polylog(n) sauts avec un
  algorithme glouton décentralisé.

Question 1 tout petit-monde est-il navigable ?
Question 2 tout graphe peut-il être transformé
en petit-monde navigable ?
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La petite-mondisation
Petite-mondisation L
G petit-monde navigable
G

• Petite-mondisation augmention de G avec un lien
  supplémentaire Lu par sommet en G petit-monde
  navigable.
• La petite-mondisation nest pas un recalcul
  global de loracle
• Ajout dune entrée dans une table de routage, pas
  de modification des étiquettes (ou basée sur un
  calcul local )

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G est petit-mondisable sil existe une
petite-mondisation de G.

• Question 2a quels sont les graphes
  petit-mondisables ?
• Question 2b comment construire la distribution L
  ?

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Petit-mondiser nest pas facile
u
G
L

• Il ne suffit pas que le diamètre devienne
  polylogarithmique !

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Petit-mondiser nest pas facile
u
(G,L)

• Il ne suffit pas que le diamètre devienne
  polylogarithmique !

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Petit-mondiser nest pas facile
Il existe un chemin de u à v de longueur O(log n)
via les arêtes de L
u
v
Voisinage de u dans (G,L)
(G,L)

• Rappel u ne connaît que les distances dans G
  entre ses voisins et les autres sommets

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Petit-mondiser nest pas facile
Il existe un chemin de u à v de longueur O(log n)
via les arêtes de L
u1
u
v
Mais u ne le connaît pas
Voisinage de u dans (G,L)
u2
(G,L)

• Rappel u ne connaît que les distances dans G
  entre ses voisins et les autres sommets

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Graphe augmenté (G,L) navigable ?
graphe déterministe G liens (aléatoires) L
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Quels sont les autres graphes petit-mondisables ?

• Une histoire de boules et de dimension

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A propos dexpansion de boules
i1
i2
B(r) ? rD polynomiale
B(r) ? 2r exponentielle
B(r) ? elog2(r) intermédiaire
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Les graphes à croissance modérée

• Def. Un graphe est de croissance modérée si les
  tailles de boules sont
  telles que
• Théorème (DHLS04) les graphes à croissance
  modérée sont petit-mondisables avec la
  distribution et
  qgt1.

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Des graphes à croissance modérée ... aux graphes
dexpansion b

• Un graphe est dexpansion b si pour tout centre,
  on a
• B(2r) lt B(r) (log N)b - version globale
• B(2r) lt B(r) (log r)b - version locale
• b est la dimension apparente de lexpansion

t
r
ROUTAGE GLOUTON en O(logO(b) d) -locale- ou
O(logO(b) N) - globale
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Se pose la question quest-ce que la dimension d
?

• Espace euclidien (Rd,L2),
• Graphe dexpansion d, B(2r) lt B(r) (log N)d
• La dimension doublante d est le logarithme du
  nombre de boules de rayon r nécessaire pour
  couvrir une boule de rayon 2r

ROUTAGE GLOUTON en O(logO(d) N) avec 1 lien long.
Quelle définition de la dimension prendre ?
celle qui arrange !
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Les graphes petit-mondisables
N taille du graphe, A diamètre
normalisédmax/dmin
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Perspectives

• Réseau logique
• Petit-Mondes Bons candidats pour la construction
  décentralisée de réseaux faiblement structurés
  mais efficaces pour les opérations de recherche.
• Etude de la congestion, diffusion dans les
  réseaux petit-monde à faire.
• Logique / Physique
• Comment tenir compte du réseau physique ? (cf.
  LAND, Méridien)
• Dynamisme
• garantir des propriétés de petit-monde à moindre
  coût (proactif, réactif)

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Perspectives

• Problèmes pratiques
• la construction des liens longue-distance est
  coûteuse en ressources (temps et mémoire). (en
  cours)
• Implantation dans un réseau pair-à-pair
  nécessite la construction distribué des liens
  longue-distance. (en cours)
• Version dynamique (beaucoup de travail à faire)
  cest le challenge