Mat5110 : Introduction aux vecteurs

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Mat-5110 Introduction aux vecteurs

• Martin Francoeur
• Conseiller pédagogique
• martin.francoeur_at_cssmi.qc.ca

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Présentation du programme

• Mat 5101 Optimisation I
• Mat 5102 Statistique III (corrélation)
• Mat 5105 Coniques
• Mat 5106 Fonctions réelles et équat.
• Mat 5107 Fonctions exp et log
• Mat 5108 Fonctions trigo
• Mat 5109 Géométrie IV
• Mat 5110 Introduction aux vecteurs
• Mat 5111 Complément et synthèse II

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Pourquoi les vecteurs en mathématique au
secondaire?

• Notion mathématique utilisée en physique
• Façon de réinvestir les démonstrations

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Définitions

• Scalaire quantité définie par un nombre réel.
• Vecteur quantité ayant une grandeur, une
  direction et un sens.

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Comment nomme-t-on les vecteurs?

• Lettre minuscule surmontée dune flèche
• a
• Point de départ (origine) de la flèche et point
  de départ (extrémité) de la flèche
• AB

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Comment nomme-t-on les vecteurs?

• Vecteur algébrique par ses composantes
• Composantes horizontale et verticale
• v(3,4)
• Les composantes correspondent aux coordonnées de
  lextrémité du vecteur lorsque lorigine du
  vecteur coïncide avec lorigine du plan
  cartésien.

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Direction et sens

• Toutes les flèches parallèles ont la même
  direction.
• Une même direction peut se prendre dans les deux
  sens.

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Vecteurs colinéaires

• Vecteurs colinéaires vecteurs qui ont la même
  direction.
• Deux vecteurs qui nont pas la même direction
  sont dits non-colinéaires ou linéairement
  indépendants.

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Orientation dun vecteur géométrique

• Avec la rose des vents

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Orientation dun vecteur géométrique

• Angle dorientation angle que la flèche forme
  avec lhorizontal dans le sens anti-horaire.
• Détermine à la fois la direction et le sens.

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Orientation dune vecteur algébrique

• Vecteur algébrique les composantes donne
  lorientation du vecteur.
• Pour connaître langle dorientation dun vecteur
  algébrique, on utilise la trigonométrie.

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Norme dun vecteur

• Longueur du vecteur
• Notation v
• Vecteur géométrique
• On mesure avec une règle
• Vecteur algébrique
• Distance entre lorigine et lextrémité du vecteur

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Vecteurs opposés

• Deux vecteurs de même norme, de même direction et
  de sens contraire
• v est toujours opposé à v.
• AB est opposé à BA.
• m(2,4) est opposé à n(-2,-4).

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Vecteur nul et vecteur unitaire

• Vecteur dont la longueur est 0. On le note 0.
• Le vecteur nul a toutes les orientations.
• Vecteur dont la longueur est 1 dans une
  orientation donnée.
• Vecteurs orthogonaux
• Vecteurs dont les directions sont
  perpendiculaires.

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Angle entre deux vecteurs

• Lorsque les origines de deux vecteurs coïncident.
• La plupart du temps noté ?
• Utilisation de la loi des sinus et des cosinus

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Addition de vecteurs

• Méthode du parallélogramme
• Méthode du triangle
• Addition des composantes
• Le vecteur somme sappelle la résultante
• Pour la soustraction de vecteurs, on additionne
  le vecteur opposé

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Résultante

• Norme de la résultante
• Loi des cosinus
• Orientation de la résultante
• Mesure de langle formé par la résultante et un
  des deux vecteurs

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Exercices 1 et 2

• Document exercices complémentaires.

19
Relation de Chasles

• AB BC CD AD
• AB BC CA AA 0
• AB CB AB BC AC

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Exercice 3

• Document exercices complémentaires.

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Multiplication dun vecteur par un scalaire

• Le produit dun vecteur par un scalaire est un
  vecteur.
• Le vecteur final a la même direction que le
  vecteur initial.
• Même sens si le scalaire est positif.
• Sens contraire si le scalaire est négatif.

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Combinaison linéaire

• w 3u 4v
• Si u et v sont colinéaires, w aura aussi la même
  direction.
• Si u et v sont non-colinéaires, w aura une
  direction différente.

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Base vectorielle

• Deux vecteurs non-nuls linéairement indépendants
  forment une base vectorielle.
• À partir de ces deux vecteurs, on peut les
  combiner et obtenir tout autre vecteur du plan.
• La recherche des coefficients dune combinaison
  linéaire ne portera que sur les vecteurs décrits
  par leurs composantes.

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Exercice 5

• Document exercices complémentaires.

25
Base vectorielle orthonormée

• Vecteurs orthogonaux et de norme 1.
• i (1,0) et j (0,1)

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Base vectorielle et combinaison linéaire

• Tout vecteur est décomposable en une somme de
  deux autres vecteurs qui, eux-mêmes, peuvent être
  décomposés en un produit dun vecteur par un
  scalaire.

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Multiplication scalaire de 2 vecteurs

• Produit de la longueur orientée de la projection
  orthogonale du premier vecteur sur le deuxième
  par la norme du deuxième vecteur.
• Le produit scalaire de deux vecteurs est un
  scalaire.
• Notation u ? v

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Multiplication scalaire

• Produit scalaire de vecteurs orthogonaux 0
• Produit scalaire de vecteurs géométriques
• u ? v u v cos ?
• Produit scalaire de vecteurs algébriques
• u(a,b) et v(c,d)
• u ? v acbd

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Propriétés de laddition de vecteurs

• La somme de deux vecteurs est un vecteur.
• Commutativité u v v u
• Associativité (u v) w u (v w)
• Existence de lélément neutre u 0 u
• Existence de lopposé u -u 0

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Propriétés de la multiplication dun vecteur par
un scalaire

• Le produit dun vecteur par un scalaire est
  toujours un vecteur.
• Associativité k1(k2u) (k1k2)u
• Existence dun scalaire neutre 1u u
• Distributivité sur laddition de vecteurs
• k(u v) ku kv
• Distributivité sur laddition de scalaires
• k1u k2u (k1 k2)u

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Propriétés de la multiplication scalaire de deux
vecteurs

• La produit scalaire de 2 vecteurs est un scalaire
• Commutativité u ? v v ? u
• Associativité des scalaires
• k1u ? k2v (k1k2)(u ? v)
• Distributivité sur une somme vectorielle
• u ? (v w) (u ? v ) (u ? w)

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Un peu de pratique maintenant!

• Document exercices complémentaires.
• Vous pouvez faire les exercices 6, 8, 9, 11.

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Démonstrations à laide des vecteurs

• Énoncer la loi de Chasles et lappliquer à la
  vérification dénoncés à laide des vecteurs.
• Construire ou compléter une démonstration.
• Déterminer si un énoncé, formulé à laide des
  vecteurs, est vrai ou faux. La réponse doit être
  justifiée

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Exercices 14 et 15

• Document exercices complémentaires.

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Résoudre des problèmes

• Utiliser les vecteurs pour résoudre des
  problèmes.
• Justifier les étapes de sa démarche.

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Exercices 18 et 22

• Document exercices complémentaires.