Une loi statistique universelle

1
Une loi statistique universelle
La loi des matrices aléatoires
Bertrand Eynard
Plan

• variables indépendantes loi de Poisson
• physique nucléaire la loi GOE
• exemples
• les surfaces aléatoires
• le travail du physicien théoricien

2
Loi de Poisson
Points au hasard sur un axe
3
Niveaux dénergie des noyaux
Wigner, 1951
Histogramme desespacements entreles niveaux
4
Matrice aléatoire
? loi GOE
5
Chaos quantique
Billard pour électrons
niveaux dénergie
Forme du billard

• Rectangle ? Loi Poisson
• Stade ? Loi GOE
• Stade champs magnétique ? Loi GUE

6
Temps de passage des autobus
(ville de Cuernavaca au Mexique)
? loi GOE
7
Nombres premiers
Fonction de Riemann ?
...
?(s)
Valeurs de s pour lesquelles ?(s) sannule
? loi GUE
8
Autres exemples

• conducteurs mésoscopiques
• croissance des cristaux
• interactions nucléaires (QCD)
• turbulence des fluides
• jeux de cartes
• la bourse
• ... etc

9
Surfaces aléatoires
Calcul de la valeur moyenne
k
compte les surfaces trianguléesayant k cotés.
lt Tr M gt
Applications

• surfaces aléatoires
• gravitation quantique
• théorie des cordes
• etc.

10
Le travail du physicien

• Étudier les propriétés mathématiques de ces
  lois (équations différentielles)
• Répertorier et classer(GOE, GUE, GSE, COE, TOE,
  chGOE, NS... 48 lois)( lois critiques Airy,
  Painlevé,...)
• Comprendre leur stabilité quand le nombre de
  variables devient grand (loi des grands nombres)
  ?
• Comprendre pourquoi elles décrivent bien les
  phénomènesphysiques ?
• Prédire de nouvelles propriétés des systèmes
  physiques...