R

1
Réseaux complexes
2
Quest-ce quun réseau ?

• Points/sites reliés par des liens

individus ordinateurs pages web aéroports molécul
es ....
relations sociales (excollaborations
scientifiques) câbles hyperliens connexions
aériennes réactions chimiques ....
Autoorganisation Evolution dynamique
3
Etude des réseaux complexes

• Etude phénoménologique
• dégager des
  caractéristiques générales
• Modélisation
• comprendre les
  mécanismes
• Conséquences
• comprendre limportance des différentes
  caractéristiques pour différents phénomènes, par
  exemple la propagation dépidémies, la fragilité
  en face de pannes ou dattaques...

4
Réseaux sociauxlexpérience de Milgram
Milgram, Psych Today 2, 60 (1967) Dodds et al.,
Science 301, 827 (2003)
Six degrés de séparation petit-monde
5
LInternet un autre petit-monde
Histogramme des distances entre deux
sites distances typiques très petites par
rapport à la taille dInternet
Autres exemples WWW, réseaux de transports,
etc...
6
Une autre caractéristique répandue Clustering
Clustering Mes amis se connaissent très
probablement entre eux (exemple typique réseaux
sociaux)
Effet quantifié par le coefficient de
clustering, entre 0 et 1
7
Modèle le plus simple de réseauxErdös-Renyi
(1960)
-N points, liés avec probabilité p
Réseau -statique, -homogène nombre de voisins
similaire pour tous
-Modifications du modèle pour introduire le
clustering
8
Réseau du transport aérien
9
Une vision dInternet
10
Homogène vs. Hétérogène
Réseau homogène nombre de voisins similaire pour
tous
Réseau hétérogène grandes variations du nombre
de voisins
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Principales caractéristiques des réseaux complexes

• Nombreux éléments en interaction
• Evolution dynamique
• Auto-organisation

Internet, World-Wide-Web, Réseaux sociaux etc...
petit-monde clustering hétérogénéité
Architecture non-triviale Propriétés émergentes
Phénomènes coopératifs
12
Modélisation des réseaux complexes
13
Changement de point de vue
La modélisation commence par la compréhension des
mécanismes de base de la formation du réseau
La topologie complexe est générée dans les
modèles, et non mise à la main de façon ad-hoc
Meilleure compréhension de linteraction
entre dynamique, trafic, etc...
14
Exemple de mécanisme Lattachement préférentiel
1)Les réseaux croissent par laddition de
nouveaux sites
Exemples WWW addition de nouvelles pages webs
Internet nouveaux ordinateurs,
serveurs
2) Les nouveaux sites se connectent plutôt vers
des sites ayant déjà de nombreux voisins
Exemples WWW liens vers des pages webs
connues Internet liens vers des fournisseurs
daccès bien connectés
1) 2) gt réseau très hétérogène
15
Graphe aléatoire vs Attachement préférentiel
16
Autres niveaux de complexité

• intensités des liens
• réseaux dynamiques
• (ex peer-to-peer)
• réseaux dirigés (ex WWW)

17
Exemple dapplications épidémiologie
18
Modèles de propagation dépidémies
Description schématique des individus et de leur
état Les individus peuvent se trouver dans
certains états Sain/Susceptible Infecté
Immunisé/Remis
-Propagation par contact
I
I
S
I
p
-Guérison/immunisation
I
R
19
Modèles de propagation dépidémies

• Réseau de contacts
• Individussites
• Lienspossibilité de propagation

Réseau dont la topologie joue un rôle important
20
Importance de la topologie du réseau de contacts
Virus sur ordinateurs
Topologie dInternet
Topologie du réseau d email
Computer worms
Topologie du réseau de transports/déplacements
Epidémiologie
21
Importance de la topologie du réseau de contacts
I
I
S
I
p
Graphes homogènes
Graphes hétérogènes
Lépidémie se propage
Lépidémie meurt
Lépidémie se propage
p
p
pc
0
0
pc0 (ou très petit)
22
Un autre exemple de modèlede propagation dune
épidémie
c
d
b
a
Ville A
Ville B
23
Un autre exemplepropagation dune épidémie
c
d
a
b
Ville A
Ville B
gtImportance du réseau de transport !
24
Une épidémie ancienne
Peste Noire 14ème siècle
25
Une épidémie récente
SARS
26
Etudes possibles

• caractérisation du réseau de transport
• (essentiellement transport aérien)
• modèle simple dépidémie
• reproduire a posteriori le déroulement de
  lépidémie
• pour valider le modèle
• étude, dans le cadre du modèle, de linfluence
• des différents niveaux de complexité
• étude de la prédictabilité
• étude de mesures dendiguement

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Conclusion
-Importance études empiriques -Modélisation -Con
séquences sur processus divers
Physique Statistique
(exemples épidémies fragilité des réseaux ...)
Domaine interdisciplinaire informatique,
biologie, épidémiologie, sciences sociales...
28
Robustness
Robustness
Complex systems maintain their basic functions
even under errors and
failures
(cell ? mutations Internet ?
router breakdowns)
S fraction of giant component
29
Case of Scale-free Networks
Random failure fc 1
(2 lt g ? 3)
s
Attack progressive failure of the most
connected nodes fc lt1
fc
1
Internet maps
R. Albert, H. Jeong, A.L. Barabasi, Nature 406
378 (2000)
30
Robust-SF
Failures vs. attacks
1
S
0
1
f