Conception et analyse des algorithmes

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• Conception et analyse des algorithmes
• Comment comparer deux problèmes?

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Relation entre les classes de fonctions
PP
BPP
ZPP
ZPP
P
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Relation entre les classes de problèmes de
décision
PP
BPP
NP
co-NP
RP
co-RP
ZPP
NP?co-NP
P
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Quelques problèmes (1)

• HC Cycle hamiltonien dans un graphe
• DFC graphe dirigé
• TSP problème du comis voyageur
• CLIQUE Trouver un ensemble maximal M de noeuds
  dans un graphe tels que chaque paires de noeuds
  dans M sont reliées par une arête.
• INDEPENDENT SET Trouver un ensemble maximal M de
  noeuds dans un graphe tels que aucune paire de
  noeuds dans M n'est reliée par une arête.
• VERTEX COVER Trouver un ensemble minimal de
  noeuds dans un graphe tel que toute arête est
  adjacente à au moins un de ces noeuds.
• a-CHAMPIONSHIP Déterminer à un moment donner de
  la saison si notre équipe à des chances
  d'emporter la coupe le gagnant à ba points et
  le perdant a (a-b) points.

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Quelques problèmes (2)

• SAT Satisfaisabilité Déterminer s'il existe une
  affectation des n variable booléenne permettant
  de satisfaire une formule logique en forme
  normale conjonctive.
• 3-SAT 3 littéraux par clause
• MAX-SAT maximiser le nombre de clauses
  satisfaisables.
• BINPACKING Mettre n objets de poids divers dans
  des cases de capacité b
• PARTITION Partitionner une suite de nombres en
  deux ensembles d'égales valeurs.
• 2-DM Problème du mariage dans un graphe biparti
• NETWORK FLOW Maximiser le flot entre un noeud a
  et un noeud b dans un graphe dirigé où chaque arc
  possède une capacité maximale.

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Objectif

• On veut définir une relation A T B signifiant
  que B est au moins aussi difficile que A
• Réduction de Turing A T B

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Réduction de Turing

• A T B S'il existe un algorithme EP pour P qui
  utilise un algorithme EQ pour Q et qui possède
  les propriétés suivantes
• Le temps de EP (si on ne compte pas les appels à
  EQ) est borné par un polynôme p(n)
• Le nombre d'appels à EQ est borné par un polynôme
  q(n)
• La longueur des entrées des appels à EQ est
  bornée par un polynôme r(n)
• Le temps de EP est
• tP(n) p(n) q(n) tQ(r(n))

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Problèmes équivalents

• Deux problèmes A et B sont Turing-équivalents si
  A T B et B T A.
• Notation A ?T B
• FAIT Si B ? P et A T B alors A ? P
• Remarque Même chose pour BPP et ZPP

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Propriétés de la réduction de Turing

• Transitivité P T Q et Q T R ? P T R
• Réfexibilité P T P
• Symétrie P ?T Q ? Q ?T P

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Problèmes algorithmiques

• Problèmes d'optimisation
• Ex Produire un cycle hamiltonien de longueur
  minimal dans un graphe
• Problème d'évaluation
• Ex. Donner la longueur du plus petit cycle
  hamiltonien dans un graphe
• Problème de décision
• Existe-t-il un cycle hamiltonien de longueur plus
  peit ou égal à k?

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Réduction entre variantes d'un problème

• Pour la plupart des problèmes A on a
• ADEC ?T AEVAL ?T AOPT
• Il est facile de voir
• ADEC T AEVAL
• AEVAL T AOPT

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AEVAL T ADEC

• Trouver une borne B tel que la valeur de
  n'importe quelle solution est entre B et B
  (souvent entre 0 et B).
• Exemple
• BINPACKING n nombres en entrée ? Bn
• CLIQUE n noeuds ? Bn
• MAX-SAT n clauses ? Bn
• Recherche dychotomique O(lg B) appels à un
  algorithme pour ADEC

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AOPT T AEVAL

• On appelle d'abord un algorithme pour AEVAL afin
  d'obtenir une valeur optimal wopt.
• On construit progressivement une solution en
  vérifiant si elle est prometteuse à l'aide d'un
  appel à l'algorithme pour AEVAL et de wopt.
• Exemple MAX-SAT
• On cherche à satisfaire une formule f(x1, ...,
  xn).
• On essaie avec x11 on remplace les clauses
  contenant x1 par la clause 1 et on enlève x1 de
  toutes les clauses (une clause vide n'est jamais
  satisfaisable).
• On appelle l'algorithme d'évaluation avec la
  nouvelle formule g(x2, ..., xn) qui nous retourne
  w
• Si wwopt alors on continue avec x11 sinon avec
  x10.
• Nombre maximal d'appels à l'algorithme
  d'évaluation n1

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CLIQUEOPT T CLIQUEEVAL

• Exemple MAX-CLIQUE
• On appelle l'algorithme d'évaluation qui retourne
  la valeur wopt
• On choisi un noeud n et on l'enlève du graphe
  pour obtenir un nouveau graphe G'
• On appelle à nouveau l'algorithme d'évaluation
  sur G' qui retourne la valeur w
• Si wwopt alors il existe une clique qui ne
  contient pas n et on peut enlever n de G.
• On continue avec un autre noeud.
• Nombre maximal d'appels à l'algorithme
  d'évaluation n1

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BINPACKINGOPT T BINPACKINGEVAL

• Exemple BINPACKING
• On appelle l'algorithme d'évaluation qui retourne
  la valeur wopt
• On choisit deux objets que l'on colle ensemble
  pour en faire un seul (le poids est la somme des
  deux objets initiaux).
• On appelle à nouveau l'algorithme d'évaluation
  qui retourne la valeur w
• Si wwopt alors on conserve les deux objets
  collés.
• On poursuit de la même manière
• Remarque
• En réalité on travaille avec des ensembles
  d'objets (initialement on n'a que des
  singletons).
• On ne choisit jamais deux ensembles contenant
  deux objets que l'on a déjà tenté de coller
  puique l'on sait que cela ne mène pas à la
  solution optimale.
• Nombre maximal d'appels à l'algorithme
  d'évaluation n(n-1)/2

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Réduction entre problèmes de même type

• Le résultats prédédents indique que l'on peut se
  concentrer sur les problèmes de décision.
• Nous allons montrer
• DHC ?T HC
• SAT ?T 3-SAT
• PARTITION T BINPACKING
• CLIQUE ?T INDEPENDENT SET (ANTI-CLIQUE)
• ?T VERTEX COVER

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DHC ?T HC

• HC T DHC Par définition
• DHC T HC
• G(V,E) où V v1, v2, ... , vn
• G'(V',E') où V' vi,j 1in, 1j3
• (vi,1, vi,2), (vi,2, vi,3) ? E' pour tout i
• Si (vi, vj) ? E alors (vi,3, vj,1) ? E'
• Si (vk, vi) ? E alors (vk,3, vi,1) ? E'
• La direction d'un arc adjacent à vi se réflète
  par l'endroit où l'arête correspondante est
  reliée dans le chemin (vi,1, vi,2, vi,3)

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DHC ?T HC

• Si G contient un cycle hamiltonien (v1, v2, ...
  , vn, v1)
• G' contient aussi un cycle hamiltonien
• (v1,1 , v1,2 , v1,3 , v2,1 , v2,2 , v2,3 , ...,
  vn,1 , vn,2 , vn,3 , v1,1)
• Si G' contient un cycle hamiltonien alors
• SPDG supposons que le cycle commence à v1,1
• Puisque les noeuds vi,2 ont exactement deux
  arêtes adjacentes alors ces deux arêtes doivent
  faire parti du cycle.
• Le cycle doit donc contenir le segment (v1,1 ,
  v1,,2 , v1,3)
• Les 3 noeuds suivants doivent être de la forme
  (vk,1 , vk,,2 , vk,3)
• Etc.

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SAT ?T 3-SAT

• 3-SAT T SAT puisque 3-SAT est une restriction de
  SAT.
• SAT T 3-SAT
• Chaque clause de SAT est de la forme (z1 ? z2 ? ?
  ? zk) où zi ? x1, x1, x2, x2, ... , xn, xn
• Si k1 on remplace la clause par (z1 ? z1 ? z1)
  
• Si k2 on remplace la clause par (z1 ? z2 ? z2)
• Si kgt3 on remplace la clause par
• (z1 ? z2 ? y1) ? (y1 ? z3 ? y2) ? ? ? (yk-1 ?
  zk-1 ? zk)
• où les yi sont de nouvelle variables.

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PARTITION T BINPACKING

• n nombres x1, x2, ..., xn
• Seulement 2 cases avec capacité
• ? (x1 x2 ... xn) / 2 ?
• 1 seul appel à BINPACKING

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CLIQUE ?T INDEPENDENT SET ?T VERTEX COVER

• Graphe G (V,E) et G' (V,E)
• G possède une clique de k noeuds ssi G' possède
  une anti-clique de k noeuds.
• G possède une anti-clique de k noeuds ssi les
  (n-k) noeuds restant couvrent toutes les arêtes
  de E.

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Autres réductions

• 2-DM T NETWORK FLOW
• a-championship T NETWORK FLOW
• 3-SAT T CLIQUE
• 3-SAT T DHC

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Réduction polynomiale

• Permet une classification plus fine pour les
  problèmes de décision.
• Permet de rester à l'intérieur des classes de
  complexité qui ne sont pas fermée sous la
  complémentation (e.g. RP, co-RP, NP, co-NP)
• Déf. Un langage LA ? ? se réduit polynomialement
  à un langage LB ? A s'il existe une fonction f
  ? ? ? calculable en temps polynomiale telle
  que
• w ? LA ? f(w) ? LB
• pour tout w ? ?.
• On utilise la notation LA p LB et LA ?p LB