Ind

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Indépendance Khi-deux ?²

• Mots clés Indépendance, écart à lindépendance,
  tableau observé, tableau calculé, effectifs
  dindépendance, distance entre tableaux,
  contributions absolues, contributions relatives,
  Khi-deux, ddl par ligne, ddl par colonne, ddl du
  ?², Phi-deux, V de Kramer, coefficient de
  contingence.

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Généralités

• Parfois nous nous posons des questions du genre
• Est-ce que le niveau détudes atteint dépend du
  milieu social ?
• Est-ce que la mémorisation des mots dun texte
  dépend de la longueur des mots ?
• Est-ce que limpact dune campagne publicitaire
  dépend du média choisi ?
• Est-ce que le cours du pétrole dépend de celui de
  leuro ?
• Est-ce que le cours de leuro dépend de celui du
  pétrole ?
• Est-ce que le loisir préféré des étudiants dépend
  de leur sexe ?
• Toutes ces questions mettent en jeu deux
  variables. Ces deux variables sont observées sur
  la même population.

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Généralités

• Exemple Considérons une population détudiants
  du DEUG SHS et associons à chaque étudiant un
  couple dobservations (loisir préféré sexe).
• Sur cette (même) population on observe deux
  variables
• Variable X loisir préféré nominale à 3
  modalités Cinéma, Sport et Musique.
• Variable Y sexe nominale à 2 modalités
  Garçon, et Fille.
• On obtient une série double (une série de 12
  couples)
• X M S C C S S M C S
  M S SY G G F F F F
  G F F G F F

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Distribution conjointe Tableau de contingence
(tri croisé)

• On a organisé cette série double en tableaux de
  contingence donnant la distribution conjointe
  (des effectifs et des fréquences) du couple (X,
  Y).
• A partir du tableau de contingence on a déduit
  les distributions marginales.

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Tableau de contingence tentatives de
reconstruction !

• On a vu aussi quà partir des distributions
  marginales on peut obtenir plusieurs tableaux de
  contingence.
• Ceci soulève le problème de la liaison entre les
  deux variables

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Tableau de contingence Comparaison de deux
tableaux

• Comparons le tableau de contingence observé avec
  lun des tableaux reconstitué par tâtonnement.

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Comparons ces deux tableaux en analysant les
distributions conditionnelles (les loisirs
préférés selon le sexe)
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Comparaison des distributions conditionnelles

• On remarque que pour lun des tableaux les
  distributions conditionnelles des fréquences sont
  les mêmes et en plus elles sont identiques à la
  distribution marginale.
• Définition Deux variables sont indépendantes si
  leurs distributions conditionnelles des
  fréquences sont les mêmes

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Indépendance et effectifs

• On démontre que cette définition de
  lindépendance se traduit par la relation
  suivante entre effectifs effectif conjoint
  quotient du produit des effectifs marginaux par
  leffectif total.Exemple 1(4x3)/12
  4(8x6)/12
• On voit immédiatement que X et Y ne sont pas
  indépendantes dans le tableau de droite car
  5(8x6)/12

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Ecart à lindépendance

• Dans notre exemple (tableau de droite) les
  variables ne sont pas indépendantes. On se
  propose de mettre en oeuvre un indice qui mesure
  lécart à lindépendance en calculant la distance
  entre les deux tableaux
• Le tableau observé obtenu à partir de la série
  double
• Le tableau calculé obtenu en calculant les
  effectifs (dindépendance) correspondant au cas
  où lon suppose que les deux variables sont
  indépendantes (modèle dindépendance).

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Calcul du khi-deux

• On dresse le tableau des écarts en retranchant
  les effectifs calculés aux effectifs observés.
• Tableau calculé Tableau observé

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Calcul du khi-deux

• On remarque que les totaux par ligne et par
  colonne de ces écarts sont nuls.
• Ceci est vrai pour tout tableau calculé.Pourquoi
  ?

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Calcul du khi-deux

• On calcule le carré de ces écarts.

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Calcul du khi-deux

• On calcule les contributions absolues cest le
  rapport des carrés des écarts par les effectifs
  calculés.
• Tableau des carrés des écarts Tableau calculé

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Calcul du khi-deux

• Le khi-deux est la somme de toutes ces
  contributions absolues.
• Tableau des carrés des écarts Tableau calculé

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Calcul du khi-deux

• Le pourcentage des contributions absolues par
  rapport au khi-deux donne les contributions
  relatives.

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Le Phi-deux ?²

• Remarque 1 Le Khi-deux dépend du nombre total
  (effectif total n) des observations. La même
  technique appliquée aux fréquences permet
  déliminer cet effet de n. On obtient le
  Phi-deux (?²). Il existe une relation simple
  entre le Khi-deux et le Phi-deux le Phi-deux
  est égal au quotient du Khi-deux par n. Dans
  lexemple on a ?²8,25/120,6875

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Degré de liberté ddl

• On a vu quà partir des distributions marginales
  on peut obtenir plusieurs tableaux de contingence
  mais pour chaque ligne et chaque colonne la
  dernière case est imposée par la contrainte du
  total (marginal)
• Définition On appelle degré de liberté par
  ligne le nombre de colonnes (de modalités)
  diminué de 1. On note ddll. Exemple 3-12 On
  appelle degré de liberté par colonne le nombre de
  lignes (de modalités) diminué de 1. On note ddlc.
  Exemple 2-11 On appelle degré de liberté du
  khi-deux le produit ddll x ddlc. On note ddl.
  Exemple (3-1)x( 2-1)2x12

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Le V de Kramer V

• Remarque 2 Le Phi-deux ne dépend plus du nombre
  total (effectif total n) des observations, mais
  dépend encore de la dimension du tableau de
  contingence (nombre de lignes et de colonnes).
  Pour éliminer cet effet dimension on calcule le
  V de Kramer en calculant la racine carrée du
  rapport du ?² par le plus petit des deux degrés
  de liberté (ddll, ddlc).
• Dans lexemple on a Vracine carrée de (Dans
  lexemple on a Vracine carrée de (?²/1)
  racine carrée de ( 0,6875)0,829
• On montre que 0 ? V ? 1