LINF1251: Enregistrements et Arbres

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LINF1251Enregistrements et Arbres

• Peter Van Roy
• Département dIngénierie Informatique, UCL
• pvr_at_info.ucl.ac.be

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Test le 9 mars 2005!

• Le test aura une durée dune heure
• Pendant la première moitié du cours, dans
  lauditoire du cours
• La matière est toute la matière des cinq
  premières semaines
• Test à livre fermé, il suffit davoir un stylo ou
  un crayon
• Il y aura une question pratique (écrire un petit
  programme) et une question théorique (définir
  quelques concepts)
• Le test comptera pour 25 des points
• Dispensatoire tu peux garder les points ou
  refaire la matière pendant lexamen à la fin
• Un bon feedback pour le cours!

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Ce quon va voir aujourdhui

• Résumé du dernier cours
• Les tuples et les enregistrements
• Une liste est un tuple
• Un tuple est un enregistrement
• Les arbres
• Les arbres binaires ordonnés
• Arbres de recherche
• Introduction à la sémantique

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Résumédu dernier cours
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Techniques de programmation

• Techniques de base
• Utiliser les variables non-liées pour permettre
  les appels récursifs en dernier (exemple
  dAppend)
• Utiliser un accumulateur pour augmenter
  lefficacité dun algorithme (exemple de Reverse)
• Utiliser un type pour définir une fonction
  récursive (exemple de Flatten)
• Diviser pour régner
• Algorithme de Mergesort
• Programmer avec des accumulateurs
• Un accumulateur est un état qui est
  successivement transformé

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Les tuples
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Tuples
X
Xstate(1 a 2)

• Un tuple permet de combiner plusieurs valeurs
• Par exemple 1, a, 2
• La position est significative première,
  deuxième, troisième!
• Un tuple a une étiquette (label)
• Par exemple state

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Opérationssur les tuples
X
Xstate(1 a 2)

• Label X renvoie létiquette du tuple X
• Par exemple state
• Cest un atome
• Width X renvoie la largeur (nombre de champs)
• Par exemple 3
• Cest toujours un entier positif ou zéro

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Accès aux champs(opération .)
X
Xstate(1 a 2)

• Les champs sont numérotés de 1 jusquà Width X
• X.N renvoie le nième champ du tuple
• Par exemple, X.1 renvoie 1
• Par exemple, X.3 renvoie 2
• Dans lexpression X.N, N sappelle le nom du
  champ (feature)

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Construire un arbre
X
m
Z
Y

• Un arbre peut être construit avec des
  tuples declare
• Yl(1 2) Zr(3 4)
• Xm(Y Z)

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Opération dégalité ()

• Tester légalité avec un nombre ou un atome
• Cest simple le nombre ou latome doit être le
  même
• Souvent le pattern matching est plus court
• Testing légalité des arbres
• Cest simple aussi les deux arbres doivent avoir
  les même sous-arbres et les mêmes feuilles
• Attention aux arbres avec des cycles!
• Conseil pour linstant, éviter ce genre darbres

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Résumé des tuples

• Tuple
• Étiquette (label)
• Largeur (width)
• Champ (field)
• Nom de champ (feature)
• On peut construire des arbres
• On peut les utiliser dans le pattern matching
• On peut les comparer avec

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Une liste est un tuple

• Une liste HT est un tuple (H T)
• Ceci permet la simplicité au lieu davoir deux
  concepts (tuples et listes), il ny a quun
  concept (tuple)
• A cause de sa grande utilité, une liste est
  soutenue par un sucre syntaxique
• Cest uniquement pour le confort du programmeur,
  dans le langage noyau il ny a que des tuples

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Les enregistrements(records)
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Enregistrements (records)

• Un enregistrement est une généralisation dun
  tuple
• Les noms des champs peuvent être des atomes
• Les noms des champs peuvent être nimporte quel
  entier
• Pas besoin de commencer avec 1
• Pas besoin dêtre consécutif
• Un enregistrement a aussi une étiquette et un
  largeur

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Enregistrements
X
Xstate(a1 2a b2)
a
b
2

• La position nest plus significative
• Il y a le nom du champ qui est significatif à la
  place
• Laccès aux champs est comme avec les tuples
• X.a1

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Opérationssur les enregistrements

• Il y a les opérations détiquette et de largeur
• Label Xstate
• Width X3
• Il y a le test dégalité
• Xstate(a1 b2 2a)
• Il y a une nouvelle opération larité
• La liste des noms de champs
• Arity X2 a b (en ordre lexicographique)
• Larité marche aussi pour les tuples et les
  listes (!)

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Un tuple est un enregistrement

• Lenregistrement
• X state(1a 2b 3c)
• est équivalent à
• X state(a b c)
• Dans un tuple, tous les champs sont numérotés
  consécutivement à partir de 1
• Quest-ce qui se passe si on fait
• X state(a 2b 3c)
• ou
• X state(2b 3c a)
• Dans un enregistrement, tous les champs sans nom
  sont numérotés consécutivement à partir de 1

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Il ny a que des enregistrements

• Dans le langage noyau il ny a que des
  enregistrements
• Un atome est un enregistrement dont le largeur
  est 0
• Un tuple est un enregistrement dont les noms des
  champs sont des entiers successifs à partir de 1
• Si on ne satisfait pas à cette condition, cest
  un enregistrement
• Une liste est construit avec les tuples nil et
  (X Y)
• Cest la simplicité

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Quelques exemples

• Pour les enregistrements suivants sagit-il dun
  tuple ou une liste?
• Aa(1a 2b 3c)
• Ba(1a 2b 4c)
• Ca(0a 1b 2c)
• Da(1a 2b 3c d)
• Ea(a 2b 3c 4d)
• Fa(2b 3c 4d a)
• Ga(1a 2b 3c food)
• H(1a 2(1b 2nil))
• I(1a 2(1b 3nil))

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Les arbres
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Les arbres

• Apart les listes, les arbres sont les structures
  de données inductives les plus importantes
• Un arbre est une feuille ( leaf ) ou une
  séquence de zéro ou plusieurs arbres
• Une liste a une structure linéaire, mais un arbre
  a une structure bifurcante
• Il y a énormément de différentes sortes darbres.
  Nous allons regarder une seule sorte darbre,
  les arbres binaires ordonnés.

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Arbres binaires ordonnés

• ltbtree Tgt tree(keyT valueltvaluegt ltbtree Tgt
  ltbtree Tgt) leaf
• Binaire chaque noeud qui nest pas une feuille a
  deux sous-arbres
• Ordonné les clés du sous-arbre gauche lt clé du
  noeud lt clés du sous-arbre droite

key3 valuex
key1 valuey
key5 valuez
leaf
leaf
leaf
leaf
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Arbres de recherche

• Arbre de recherche Un arbre qui est utilisé pour
  rechercher des informations, insérer des
  informations, ou enlever des informations
• Définissons trois opérations
• Lookup X T renvoie la valeur qui correspond à
  la clé X
• Insert X V T renvoie un nouvel arbre qui
  contient (X,V)
• Delete X T renvoie un nouvel arbre qui ne
  contient pas X

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Rechercher des informations

• Il y a quatre cas de figure
• X nest pas trouvé
• X est trouvé
• X peut être dans le sous-arbre gauche
• X peut être dans le sous-arbre droite

fun Lookup X T case T of leaf then
notfound tree(keyY valueV T1 T2) andthen
XY then found(V) tree(keyY valueV T1
T2) andthen XltY then Lookup X T1
tree(keyY valueV T1 T2) andthen XgtY
then Lookup X T2 end end
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Insérer des informations

• Il y a quatre cas de figure
• (X,V) est inséré tout de suite
• (X,V) remplace un nœud existant avec la même clé
• (X,V) est inséré dans le sous-arbre gauche
• (X,V) est inséré dans le sous-arbre droite

fun Insert X V T case T of leaf then
tree(keyX valueV leaf leaf) tree(keyY
valueW T1 T2) andthen XY then tree(keyX
valueV T1 T2) tree(keyY valueW T1 T2)
andthen XltY then tree(keyY valueW Insert X V
T1 T2) tree(keyY valueW T1 T2) andthen
XgtY then tree(keyY valueW T1 Insert X V T2)
end end
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Enlever des informations (1)

• Il y a quatre cas de figure
• (X,V) nest pas dans larbre
• (X,V) est enlevé tout de suite
• (X,V) est enlevé du sous-arbre gauche
• (X,V) est enlevé du sous-arbre droite
• Vrai? FAUX!

fun Delete X T case T of leaf then
leaf tree(keyY valueW T1 T2) andthen
XY then leaf tree(keyY valueW T1 T2)
andthen XltY then tree(keyY valueW Delete X
T1 T2) tree(keyY valueW T1 T2) andthen
XgtY then tree(keyY valueW T1 Delete X T2)
end end
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Enlever un élémentdun arbre binaire
X
X
Enlever X dun arbre binaire. Le cas simple est
quand un des sous-arbres est vide. Ce nest pas
toujours le cas!
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Enlever un élémentdun arbre binaire
A
A
X
?
Enlever X dun arbre binaire. Le problème est de
réparer larbre après la disparition de X.
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Enlèvement dun arbre binaire
enlever X
déplacer Y
X
Y
Y
Remplir le trou après lenlèvement de X
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Enlever des informations (2)

• Le problème avec lautre programme est quil
  nenlève pas correctement un nœud non-feuille
• Pour le faire correctement, larbre doit être
  reorganisé
• Un nouvel élément doit remplacer lélément enlevé
• Lélément peut être le plus petit du sous-arbre
  droite ou le plus grand du sous-arbre gauche

fun Delete X T case T of leaf then
leaf tree(keyY valueW T1 T2) andthen
XY then case RemoveSmallest T2 of none then
T1 YpWpTp then tree(keyYp
valueWp T1 Tp) end end end
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Enlever des informations (3)

• Pour enlever une racine Y, il y a deux
  possibilités
• Un sous-arbre est une feuille. On prend lautre.
• Aucun sous-arbre nest une feuille. On enlève un
  élément dun des sous-arbres.

Y
T1
T1
leaf
Y
Yp
T1
T2
T1
Tp
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Enlever des informations (4)

• La fonction RemoveSmallest T enlève le plus
  petit élément de T et renvoie le triplet
  XpVpTp, où (Xp,Vp) est le plus petit élément et
  Tp est larbre restant

fun RemoveSmallest T case T of leaf
then none tree(keyX valueV T1 T2) then
case RemoveSmallest T2 of none
then XVT2 XpVpTp then
XpVptree(keyX valueV T1 Tp) end
end end
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Enlever des informations (5)

• Pourquoi lopération denlèvement est-elle
  compliquée?
• Cest parce que larbre satisfait une condition
  globale, dêtre ordonné
• Lopération denlèvement doit travailler pour
  maintenir cette condition
• Beaucoup dalgorithmes sur des arbres dépendent
  des conditions globales et doivent travailler dur
  pour les maintenir
• Le bon côté de la condition globale est quelle
  donne à larbre une étincelle de magie larbre
  se comporte un peu comme un être vivant
  ( comportement orienté vers des buts )
• Les êtres vivants sont très orientés vers des buts

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Introduction à la sémantique
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Votre programme est-il correct?

• Un programme est correct quand il fait ce quon
  veut quil fasse
• Comment se rassurer de cela?
• Il y a deux points de départ
• La spécification du programme une définition du
  résultat du programme en termes de lentrée
  (typiquement une fonction ou relation
  mathématique)
• La sémantique du langage un modèle précis des
  opérations du langage de programmation
• On doit prouver que la spécification est
  satisfaite par le programme, quand il exécute
  selon la sémantique du langage

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Les trois piliers

• La spécificationce quon veut
• Le programmece quon a
• La sémantique permet de faire le lien entre les
  deux de prouver que ce quon a marche comme on
  veut!

Spécification (formule mathématique)
Sémantique
Programme (langage de programmation)
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Induction mathématique

• Pour les programmes récursifs, la preuve
  utilisera linduction mathématique
• Un programme récursif est basé sur un ensemble
  ordonné, comme les entiers et les listes
• On montre dabord lexactitude du programme pour
  les cas de base
• Ensuite, on montre que si le programme est
  correct pour un cas donné, alors il est correct
  pour le cas suivant
• Pour les entiers, le cas de base est souvent 0 ou
  1, et pour un entier n le cas suivant est n1
• Pour les listes, le cas de base est nil ou une
  liste avec un ou plusieurs éléments, et pour une
  liste T le cas suivant est HT

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Exempleexactitude de la factorielle

• La spécification de Fact N (purement
  mathématique)
• 0! 1
• n! n ((n-1)!) si ngt0
• Le programme (en langage de programmation)
• fun Fact N
• if N0 then 1 else NFact N-1 end
• end
• Où est la sémantique du langage?
• On la verra la semaine prochaine!
• Aujourdhui le raisonnement sera intuitif

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Raisonnement pour la factorielle

• Il faut démontrer que lexécution de Fact N
  donne n! pour tout n
• Cas de base n0
• La spécification montre 0!1
• Lexécution de Fact 0 avec la sémantique montre
  Fact 01
• Cas inductif (n-1) n
• Lexécution de Fact N, selon la sémantique,
  montre que Fact N NFact N-1
• Avec lhypothèse de linduction, on sait que
  Fact N-1(n-1)!
• Si la multiplication est exacte, on sait donc
  Fact NN((n-1)!)
• Selon la définition mathématique de la
  factorielle, on peut déduire Fact Nn!
• Pour finir la preuve, il faut la sémantique du
  langage!

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Machine abstraite

• Comment peut-on définir la sémantique dun
  langage de programmation?
• Une manière simple et puissante est la machine
  abstraite
• Une construction mathématique qui modélise
  lexécution
• Nous allons définir une machine abstraite pour
  notre langage
• Cette machine est assez générale elle peut
  servir pour presque tous les langages de
  programmation
• Plus tard dans le cours, nous verrons par exemple
  comment définir des objets et des classes
• Avec la machine abstraite, on peut répondre à
  beaucoup de questions sur lexécution
• On peut prouver lexactitude des programmes ou
  comprendre lexécution des programmes compliqués
  ou calculer le temps dexécution dun programme

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Concepts de lamachine abstraite

• Mémoire à affectation unique s x110,x2,x320
• Variables et leurs valeurs
• Environnement E X x, Y y
• Lien entre identificateurs et variables en
  mémoire
• Instruction sémantique (ltsgt,E)
• Une instruction avec son environnement
• Pile sémantique ST (lts1gt,E1), , (ltsngt,En)
• Une pile dinstructions sémantiques
• Exécution (ST1,s1) (ST2,s2) (ST3,s3)
• Une séquence détats dexécution (pile mémoire)

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Environnement

• Environnement E
• Correspondance entre identificateurs et variables
• Un ensemble de paires X x
• Identificateur X, variable en mémoire x
• Exemple dun environnement
• EX x, Y y
• E(X)x
• E(Y)y

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Lenvironnementpendant lexécution

• Prenons une instruction(E0) local X Y in
  (E1) X2 Y3 local X in (E2) XYY Br
  owse X end (E3) end
• E0Browse bE1X x1, Y y, Browse
  bE2X x2, Y y, Browse bE3E1

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Résumé
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Résumé

• Les structures de données
• Tuples et enregistrements
• Il na que les enregistrements dans le langage
  noyau
• Les arbres
• Opérations sur les arbres binaires ordonnés
• Limportance et la difficulté de maintenir les
  conditions globales
• Introduction à la sémantique