D

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Détection et isolation de défauts dans les
procédés industrielsContrôle Statistique des
ProcédésStatistical Process Control (SPC)
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Définition

• Outils statistiques pour analyser la nature des
  variations au sein dun procédé
• 2 types de variations
• dues à causes communes ( common-cause
  variations ) variations habituelles
   normales  du procédé (bruits de mesure,
  variabilité matières premières ou tolérances
  composants, )
• Variations dues à des causes spéciales
  ( special-cause variations ) dues à
  dysfonctionnement du procédé, non prévisibles
• CSP vise à détecter apparition variations dues à
  causes spéciales

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Graphiques de contrôle

• Permettent de suivre lévolution dune grandeur
  et de détecter changements de moyenne (ou
  variance) significatifs caractérisant une
  variation de cause spéciale
• Plusieurs types
• Shewart
• EWMA
• CUSUM

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Graphique type Shewart (1)

• Hypothèse
• Echantillons successifs indépendants (au sens
  probabiliste)
• Détection causes spéciales induisant changement
  de moyenne

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Graphique type Shewart (2)

• Shewart ? c3
• Justifications
• Densité de probabilité Gaussienne pour
• Pour toute densité de probabilité
• (inégalité de Chebychev borne très
  conservative)
• - Expérience

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Performance LME ARL (1)

• Définition Longueur moyenne dexécution LME
• (Average run length ARL)
• LME (ARL) Nombre moyen dobservations jusquà la
  première observation hors contrôle (correspondant
  à linstant dalarme), cette dernière observation
  comprise.
• Calcul
• Considérer suite y(k)
• avec y(k) mutuellement indépendants pour tout k
• Suppose apparition dune cause spéciale
  (changement de moyenne) à linstant inconnu
  

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Performance LME ARL (2)

• Probabilité quune observation tombe entre les
  limites de contrôle après changement

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Performance LME ARL (3)

• Calcul de la LME en fonction de

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Performance LME ARL (4)

• Temps moyen entre fausses alarmes Nombre
  dobservations LME(0)
• Temps moyen de détection dun changement de
  moyenne damplitude Nombre
  dobservations

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Performance LME ARL (5)

• Détection rapide des changements importants
• Peu approprié pour faibles changements (1 à 2
  fois lécart type) car ne prend en compte que
  lobservation au temps présent
• Approche prenant en compte lensemble des
  observations ? EWMA ou CUSUM

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Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (1)

• EWMA Exponentially Weighted Moving Average
• Utilise toutes les données antérieures pondérées
  par un poids exponentiellement décroissant avec
  lancienneté des observations.
• Sapplique à suite dobservations i.i.d.
• (indépendantes identiquement distribuées)
• Statistique EWMA (moyenne glissante pondérée de
  manière exponentielle)

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Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (2)

• Solution de léquation récurrente pour EMWA
• décroissance poids sur observations donnée par
  série géométrique ? autre dénomination moyenne
• glissante géométrique
• Limites du graphique de contrôle variance
  de w(k)
• Equation de Lyapunov algébrique

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Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (3)
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LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne
(1)

• On considère alarme si
• Notation
• Longueur dexécution égale à 1 si y(1) tel que
• sinon exécution continue à partir de

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LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne
(2)

• A partir de ce point, longueur moyenne
  dexécution escomptée

16
LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne
(3)
Source Wieringa 99
17
LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne
(4)
Evolution du LME dans le cas dobservations
indépendantes Wieringa, 99
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Influence dune corrélation entre les
observations (1)

• Modèle de type AR(1)
• Graphique de contrôle type Shewart en utilisant
  écart type de y pour les bornes
• LME(0) supérieure au cas où pas corrélation
• (bénéfique)
• LME( ) supérieure au cas où pas corrélation
• (effet négatif)

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Références

• J.E. Wieringa (1999) Statistical process control
  for serially correlated data, Thèse de doctorat,
  Rijksuniversiteit Groningen
• M. Basseville et I.V. Nikiforov(1993)Detection of
  abrupt changestheory and applications,Prentice-Ha
  ll, Englewood cliffs, N.J.
• http//en.wikipedia.org/wiki/Control_chart
• Weisstein, E.W. "Fredholm Integral Equation of
  the Second Kind." From MathWorld--A Wolfram Web
  Resource. http//mathworld.wolfram.com/FredholmInt
  egralEquationoftheFirstKind.html