Constrained model predictive control : Stability and optimality

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Constrained model predictive control Stability
and optimality

• A survey paper by
• D. Q. Mayne, J. B. Rawlings,
• C. V. Rao and P. O. M. Scokaert
• Automatica, vol. 36, pp. 789-814, 2000
• Nicolas Marchand Laboratoire dAutomatique de
  Grenoble

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Objectifs de larticle

• Stabilité des systèmes dynamiques (linéaires et
  non linéaires) contraints commandés par des
  techniques prédictives
• Vue densemble des travaux
• Sortir la substantifique moelle qui garantit
  la stabilité

• Points mentionnés
• Poursuite
• Retour de sortie
• Contraintes progressives
• Aspects adaptatifs
• Algorithmes doptimisation (survey de Biegler
  1998, Wright 1997, Rao et al. 1998)

• Points non traités
• Systèmes linéaires non contraints, systèmes temps
  variants
• Systèmes non représentés par des équations détat
• Applications (survey de Qin et Badgwell 1997)

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Plan

• Model Predictive Control définitions
• Vue densemble de la littérature
• Naissance de la MPC, Apparition de lhorizon
  fini, Littérature issue de la commande des
  procédés, GPC
• MPC et Stabilité
• Conditions de stabilité de la MPC
• Méthodes directe et indirecte
• Comment ces conditions sont vérifiées dans la
  littérature
• Robustesse
• Conditions de stabilité
• Différentes approches
• Perspectives

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Model Predictive Control définitions
MPC définitions
Horizon N
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Model Predictive Control définitions
MPC définitions
Système
Horizon N
Problème de la commande prédictive
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Vue densemble de la littérature
Vue densemble de la littérature

• Naissance implicite de la MPC
• Bellman (1957),
• Kalman (1960) Optimalité Stabilité,
• Lee and Markus (1967)
• Apparition de lhorizon fini
• Impossibilité pratique de lhorizon infini
  (hormis H2 et H1)
• Kleinmann (1970), Thomas (1975)
• Ajout dun coût infini sur létat final pour les
  systèmes linéaires
• (eq. diff. de Riccati avec contrainte finale)
• Etendu par Kwon et Pearson (1977), Kwon et al.
  (1983)
• Horizon fini contrainte )
  Stabilité

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Vue densemble de la littérature

• La littérature issue de la commande des procédés
• Indépendamment des autres travaux, orienté vers
  lindustrie
• Méthodes linéaires basées sur une réponse
  temporelle du système, prenant en compte les
  contraintes de commande et de sortie
• Sans violation possible des contraintes
  Richalet et al. (1976,1978) avec IDCOM, Cutler et
  Ramaker (1980), Prett et Gillette (1980) avec
  DMC.
• Avec violation temporaires des contraintes
  Garcia et Morshedi (1986) avec QDMC
• Plusieurs niveaux de contraintes Marquis et
  Broustail (1988) avec SMOC
• Implantation très importante (plus de 2000)
• Pas (ou très peu) de considérations théoriques de
  stabilité
• La Generalized Predictive Control (GPC)
• Issue de la commande adaptative (De Keyser et Van
  Cauwenberghe 1979)
• Systèmes linéaires bruités en temps discret non
  contraints avec une formulation déterministe
  proche de la MPC
• Résultats théoriques de stabilité (Mosca et al.
  1990)
• Observabilité Contrainte )
  stabilité

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Vue densemble de la littérature

• MPC et stabilité
• Lyapunov
• Approche de omise dans les années 70 et 80
  maintenant universelle
• Prend en compte le cas non linéaire
• VN comme fonction de Lyapunov
• Variantes de
• Contrainte dégalité sur létat final
• (Keerthi et Gilbet 1988, Chen et Shaw 1982, Mayne
  et Michalska 1990, )
• Coût sur létat final
• (Gauthier et Bornard 1983, Rawlings et Muske 1993
  lien entre horizon fini et infini)
• Ensemble terminal puis
  basculement sur une commande locale
• (Michalska et Mayne 1993, )
• Coût sur létat final et ensemble terminal
• (Sznaier et Damborg 1987, Parisini et Zoppoli
  1995, De Nicholao et al. 1996, )
• Conclusion
• Points clés de la MPC

Coût terminal F, Ensemble terminal Xf, Contrôleur
local ?f
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Conditions de stabilité de la MPC
Conditions de stabilité de la MPC

• 2 méthodes distinctes
• Les deux utilisent le coût optimal
  comme fonction de Lyapunov
• Méthode directe
• Chercher des conditions sur F, Xf et ?f pour que
  
• (Keerthi et Gilbert (1988), Mayne et Michalska
  1990, Rawlings et Muske 1993,)
• Méthode indirecte
• Utilise la monotonicité de VN
• (Chen et Shawn 1982, Bitmead et al. 1990, De
  Nicolao et al 1996, )

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Conditions de stabilité de la MPC

• Conditions suffisantes de stabilité
• temps discret
• temps continu

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Conditions de stabilité de la MPC

• Contrainte dégalité sur létat final
• Coût sur létat final
• Pas de contrainte terminale explicite cependant
  nécessaire pour garantir la stabilité dans les
  cas non linéaire ou linéaire contraint instable
• linéaire non contraint ou linéaire contraint
  stable

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Conditions de stabilité de la MPC

• Ensemble terminal
• Coût sur létat final et ensemble final
• Systèmes linéaires contraints
• Systèmes non linéaires, non contraints (Jadbabaie
  et al. 1999)
• Systèmes non linéaires contraints 2 approches

(Chen et Allgöwer 1998)
(De Nicholao et al. 1996, 1999, Alamir 1995,)
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Conditions de stabilité de la MPC

• Autres approches
• Horizon variable
• (Michalska et Mayne 1993, Michalska 1997)
• basculement sur une commande locale dans Xf, pas
  de conditions A1 à A4 car N variable, conditions
  sur l
• Méthodes contractives
• (Polak et Yang 1993, Morari et De Oliveira
  1998,)
• uF est appliqué en BO sur lhorizon NF, pas de
  résultat de stabilité général

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Conditions de stabilité de la MPC

• Stabilité forcée
• (Snaier et Damborg 1990, Bemporad 1998, )
• Ajout dune contrainte de décroissance dune
  fonction de Lyapunov dans le problème de
  commande. Le problème est alors celui inhérent
  aux fonctions de Lyapunov comment la choisir ?
• Linéarisation
• (De Oliveira et al. 1995, Kurtz et Henson 1997,
  )
• Le problème principal réside dans le fait que X
  et U ne sont plus convexes après transformation
• MPC sous optimale
• (Michalska et Mayne 1993, Mayne 1995, Chisci et
  al. 1996, Scoakert et al. 1999, )
• Problèmes doptimisation non convexe dans le cas
  non linéaire appelant une simplification
  (faisabilité plutôt quoptimalité)

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Conditions de stabilité de la MPC

• Conclusion
• Consensus rapide autour des points clés coût
  terminal, ensemble terminal et contrôleur local
  ( ou explicite).
• Les conditions A1-A4 unifient la plupart des
  travaux existants
• Il apparaît souhaitable de choisir le coût
  terminal F proche de V1 permettant dhériter des
  avantages de lhorizon infini (robustesse).
• Délicat en non linéaire
• Philosophie est toujours la même prendre
  équivalent à un problème

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Robustesse de la MPC
Aspects robustes

• Principalement 3 approches rencontrées
• Robustesse inhérente robustesse de la MPC
  conçue sur le modèle nominal
• Prise en compte de toutes les réalisations
  possibles (problème min-max)
• Ajout dun feedback au problème de commande
  optimale
• Modèle

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• Robustesse inhérente
• (De Nicolao et al. 1996, Magni et Sepulchre 1997)
• Résultats liés à un problème dhorizon infini
  modifié dont découle la robustesse
• Problèmes min/max
• Conditions suffisantes de stabilité
• ces conditions garantissent

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• Commande prédictive Min/Max en BO
• (Michalska et Mayne 1993, Chen et al. 1997, Magni
  et al. 1999,)
• Problème pour garantir linvariance de Xf
• Une possibilité pour contourner la difficulté
  horizon variable
• MPC bouclée
• (Mayne 1995,1997, Kothare et al. 1996, Lee and Yu
  1997, )
• Lensemble des états qui peuvent être ramené à
  lorigine de manière robuste est considérablement
  augmenté
• Complexité prohibitive
• Quelques exemples applicables en linéaire
  contraint (Kothare et al. 1996, Scokaert et Mayne
  1998)

ensemble des séquences de commandes telles que la
trajectoire en BO issue de x vérifient les
contraintes
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• Commande H1
• Systèmes linéaires non contraints
• Tadmor (1992), utilise une contrainte dégalité
• Lall et Glover (1994), utilisent un coût terminal
  quadratique
• Systèmes non linéaires
• Nécessite généralement la résolution dune
  équation dHJI
• Tentatives pour éviter cette résolution par la
  MPC
• (Chen et al. 1997, De Nicholao et al. 1999, Magni
  et al. 1999, )
• Basées sur la commande H1 du linéarisé,
• Approches similaires à MPC bouclée
• Seul changement choix de l
• Difficilement implantable

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• Conclusion
• Le problème de robustesse est maintenant bien
  compris
• Il a mis en évidence certains problèmes inhérents
  à lutilisation des trajectoires en boucle
  ouverte
• Résultats de stabilité
• Aucune applicabilité (en tout cas très faible et
  dans des cas très particuliers)
• La recherche de (?,w) se fait dans un espace de
  dimension infini
• Gallestey et James (1999) dans le cas des
  systèmes affines non contraints arrivent à
  transformer le problème en un problème aux
  limites solvable par des techniques de tir

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Perspectives

• Stabilité
• Résultats de stabilité dans le cadre classique
• Relâchement des conditions suffisantes de
  stabilité
• Robustesse
• Résultats très conceptuels, peu de résultats
  réellement implantables
• Systèmes hybrides
• La MPC reste à adapter aux systèmes hybrides
• Autres points
• Couplage estimation/commande pour les retours de
  sortie
• MPC adaptative