Programmes de matrise et de doctorat en dmographie Modles de risque et de dure Cours 8 Sance du 27 m

1
Programmes de maîtrise et de doctorat en
démographieModèles de risque et de duréeCours
8Séance du 27 mars 2009

• Benoît Laplante, professeur

2
Plan

• Aperçu de quelques lois statistiques utilisées
  dans les modèles paramétriques en temps continu
• Modèles à risques proportionnels
• modèle exponentiel, de Weibull, de Gompertz.
• Autres modèles
• log-normal, log-logistique, gamma.
• Approximation de la fonction de risque à
  variation non monotone au moyen de modèles à
  risques proportionnels
• le modèle exponentiel par morceaux.

3
Aperçu de quelques lois statistiques utilisées
dans les modèles paramétriques en temps continu

• Voir fichier Excel.

4
Modèles paramétriques

• Les modèles paramétriques sont des modèles
  linéaires  ordinaires 
• Contrairement au modèle semi-paramétrique de Cox,
  les modèles paramétriques ont les trois éléments
  dun modèle linéaire généralisé
• Une composante déterministe (ou systématique)
• Une composante aléatoire représentée par une loi
  statistique
• Une fonction de liaison (ou de lien)

5
Modèles paramétriques

• Composante aléatoire
• Loi exponentielle, de Weibull, de Gompertz,
  log-normale, etc.
• Composante systématique
• Fonction de liaison

6
La loi exponentielle

• La loi exponentielle représente un processus de
  changement détat dont le risque est constant.
• La loi exponentielle na quun seul paramètre.
• On peut exprimer la loi exponentielle de
  différentes manières, notamment
• de manière à ce que son paramètre représente le
  risque instantané (ou incidence instantanée), que
  lon note ? et
• de manière à ce que son paramètre représente le
  temps moyen passé dans létat dorigine (la
   durée  moyenne), que lon note µ.

7
La loi exponentielle
Dans la loi exponentielle, le temps moyen passé
dans létat dorigine (lespérance de T) est égal
à linverse multiplicatif du risque, qui, par
définition, est constant.
Dans la paramétrisation utilisée par Stata, on a
et
où a est lordonnée à lorigine ( _cons ) de
léquation dans sa version additive.
8
Le modèle exponentiel
9
La loi de Weibull

• La loi de Weibull représente un processus de
  changement détat dont le risque varie de manière
  monotone en fonction du temps
• Soit il augmente en fonction du temps
• Soit il diminue en fonction du temps
• La loi de Weibull a deux paramètres
• On peut exprimer la loi de Weibull de plusieurs
  manières.

10
Le modèle de Weibull
Le risque varie en fonction dune constante
élevée à une puissance qui est le temps lui-même
11
Le modèle de Weibull

• On peut simuler comme suit un tirage selon une
  loi de Weibull de paramètres a et ?, où R
  représente un nombre tiré dune loi uniforme sur
  0,1. T sera la durée, c.-à-d. le temps passé
  dans létat dorigine.

• La procédure de Stata qui estime le modèle de
  Weibull utilise une paramétrisation qui ne permet
  pas de retrouver directement les paramètres quon
  utilise dans la simulation. On retrouve comme
  suit les paramètres a et ? de la simulation, c
  représentant le paramètre  _cons  de Stata.

12
La loi de Gompertz

• Comme la loi de Weibull, la loi de Gompertz
  représente un processus de changement détat dont
  le risque varie de manière monotone en fonction
  du temps
• Soit il augmente en fonction du temps
• Soit il diminue en fonction du temps
• La loi de Gompertz a deux paramètres
• On peut exprimer la loi de Gompertz de plusieurs
  manières

13
Le modèle de Gompertz
Le risque varie en fonction du temps élevé à une
puissance qui est une constante
14
Autres modèles paramétriques

• Certains modèles paramétriques permettent de
  représenter des processus de changement détat où
  le risque varie de manière non monotone, c.-à-d.
  des processus où
• le risque augmente puis diminue ou bien
• le risque diminue puis augmente.
• Parmi ces modèles on trouve
• Le modèle log-normal
• Le modèle log-logistique
• Le modèle Gamma

15
Autres modèles paramétriques

• Ces modèles utilisent les lois statistiques qui
  leur donnent leur nom, comme cest le cas des
  autres modèles que nous avons vus.
• Ils ont lavantage de permettre de représenter
  des risques qui varient de manière non monotone
• Ils ont le désavantage de ne pas être
   proportionnels  au sens où le sont le modèle
  de Cox et les autres modèles que nous avons vus.

16
Choix du modèle

• Paramétrique ou semi-paramétrique
• Le choix se fait selon limportance que lon
  accorde à lestimation du risque lui-même
• Si on ne sintéresse quà leffet des variables
  indépendantes, le modèles semi-paramétrique est
  idéal.
• Si on sintéresse aussi au risque lui-même, il
  est préférable dutiliser un modèle paramétrique.

17
Choix du modèle

• Entre différents modèles paramétriques
• Se fait en tenant compte
• de la connaissance que lon a du processus que
  lon étudie
• de lajustement
• ou des deux.
• Entre deux ou plusieurs modèles gigognes (ou
  emboîtés )
• Les tests fondés sur le khi-deux,
• comme le test de Wald ou
• le test du rapport de vraisemblance, c.-à-d. -2
  ln(L) qui suit une loi du khi-deux.
• Dans les autres cas
• Le  critère dAkaike , - 2 ln(L) - 2k,
• où k est le nombre des paramètres du modèle.

18
Le modèle exponentiel par parties

• Le modèle le plus versatile est le modèle
  exponentiel par parties
• Le modèle exponentiel par parties nest rien
  dautre quun usage intelligent du modèle
  exponentiel
• dans lequel on découpe le temps en intervalles
• de manière à estimer un risque constant dans
  chacun de ces intervalles
• de sorte que le risque se trouve à pouvoir varier
  dun intervalle à lautre.

19
Le modèle exponentiel par parties

• Comme lorsquon utilise la régression logistique
  pour estimer un modèle de risque en temps
  discret, on élimine lordonnée à lorigine et on
  place dans léquation une variable muette pour
  chacun des intervalles
• On obtient ainsi un estimé du risque de base pour
  chacun des intervalles.
• Selon la valeur du coefficient qui est associé à
  chacune, les variables indépendantes augmenteront
  ou diminueront le risque dans la même proportion
  pour chacun des intervalles.

20
Le modèle exponentiel par parties

• Attention!
• Le modèle exponentiel par parties nest pas un
  modèle en temps discret, mais bien un modèle en
  temps continu.
• On peut changer détat à tout instant.
• Les intervalles ne servent quà modéliser la
  variation du risque en fonction du temps.