III Probabilits

1
III Probabilités

• Mots clés épreuve, événement, probabilité,
  probabilité
• conditionnelle, théorème de Bayes, événements
  indépendants
• Savoir estimer les probabilités de quelques cas
  simples
• Connaître les principaux pièges posés par les
  statistiques

2
Induction - Déduction
3
La démarche statistique est inductive
Induction
Population
On parle aussi d'inférence statistique
Échantillon
4
Le problème de l'induction

• La population présente une grande variabilité.
• Cela va empêcher de conclure avec certitude sur
  la population à partir des données acquises sur
  un échantillon.
• Mais on a tout de même acquis de l'information!

5
Le problème de l'induction
Exemple On veut vérifier que la pose d'un
engrais a un effet sur la taille des plantes
traitées
Exemple 1
Exemple 2
Faible variabilité gt peu d'ambiguïté
Forte variabilité gt on a besoin de statistiques
poussées conclure
6
L'apport des probabilités

• Variabilité ? Incertitude
• Données sur l'échantillon? Information
• La théorie des probabilités
• permet de valoriser l'information
• tout en prenant en compte l'incertitude
• Comparez
• Cette voiture peut encore rouler un bon nombre
  de kilomètres 
•  Je vends une bonne centaine de voitures de ce
  type chaque année, et je peux dire que vous avez
  95 de chances de rouler entre 20.000 et 40.000
  km sans panne majeure. 

7
Probabilités

• Notions
• Lois de probabilité
• Probabilités conditionnelles
• Paradoxes

8
III 1) Qu'est ce qu'une probabilité ?

• Mots clés Épreuve, événement, probabilité

9
Cadre de la notion de probabilité

• Lorsqu'on parle d'une probabilité
• on doit impérativement indiquer
• de quelle épreuve aléatoire on traite
• à quel événement se rapporte cette probabilité

10
Épreuve

• Épreuve
• Expérience reproductible,
• mais dont le résultat n'est pas prévisible,
• et pour laquelle on peut définir
• l'ensemble des résultats possibles.

11
Épreuve
Vérification si une côte a été polluée par une
marée noire
? Non reproductible
Détermination du groupe sanguin d'un individu
pris au hasard
?
Sondage qu'avez vous fait entre 20h et 21h
hier soir ?
? Ensemble des résultats possibles non connus
12
Événement

• Événement
• sous-ensemble des résultats possibles de
  l'épreuve.
• Événement élémentaire
• événement composé d'un seul résultat.
• Univers des événements
• ensemble de tous les résultats possibles de
  l'épreuve

13
Événement
Événements
4 événements possibles A,B,AB,O
Détermination du groupe sanguin d'un individu
pris au hasard
Détermination du groupe sanguin de deux
individus pris au hasard
16 événements élémentaires (A,A),(A,B),(A,AB),..
.,(B,A),... mais aussi le premier individu est
du groupe A  composé de 4 éléments
14
Il y a de l'ordre dans le hasard !
15
Loi empirique des grands nombres
Si on répète l'épreuve un grand nombre de fois
n en comptabilisant le nombre d'occurrences de
l'événement A, nA le rapport nA/n tend vers une
valeur comprise entre 0 et 1. Cette valeur est
la probabilité associée à l'événement A
16
Définition fréquentiste de la probabilité
Événement A associé à l' épreuve E limite du
rapport du nombre d'occurrences de l'événement A
sur le nombre d'épreuves E effectuées
17
La probabilité est bornée
0nAn ? 0p(A)1 Événement certain événement
dont la probabilité vaut 1 Événement impossible
événement dont la probabilité vaut 0 Exemples
p(U)1 p(Ø)0
18
Probabilité a priori
Avant même l'exécution de l'épreuve, il existait
une probabilité que l'événement se
réalise. C'est la probabilité a
priori. L'existence de cette limite en est une
démonstration expérimentale.
19
Probabilité a priori
Sous certaines hypothèses (souvent
d'équiprobabilité) on peut déterminer a priori
les probabilités d'occurrence d'un
événement. Exemple lancer de dé, jeu du  pile
ou face  On emploie alors souvent les
mathématiques combinatoires (combinaisons,
arrangements,...) C'est ce que vous avez fait en
terminale !
20
Paradoxe des camions prospecteurs

• Un forage pétrolier coûtant cher, on se livre au
  préalable à des campagnes de prospection estimant
  une probabilité de trouver du pétrole ou non en
  forant à un endroit donné.
• Cette probabilité conduira en fonction de sa
  valeur, des coûts, et des réserves estimées
• (en probabilité elles aussi) à la décision de
  forer ou non.
• Un premier camion prospection, en début de
  campagne de mesure
• Probabilité de présence de pétrole 57
• Un deuxième camion prospection, en fin de
  campagne de mesure
• Probabilité de présence de pétrole 24
• Le foreur
•  Il n'y a pas de pétrole 
• Probabilité de présence de pétrole 0
• Quelle est la vraie probabilité ?

21
Attention au terme  probabilité 

• Ce paradoxe se résout en remarquant
• que la notion d'épreuve ne s'applique pas ici.
• Il n'y a pas de hasard.
• La probabilité  décrite ici
• est simplement due à
• un manque de connaissance.
• Pour manier ce concept,
• on utilise la théorie des possibilités
• (L. Zadeh, 1978),
• qui a un formalisme similaire.

22
III 2) Probabilité de combinaisons d'événements

• Mots clés Union, Intersection,Complémentaire,
  
• Loi des probabilités totales

23
Combinaison d'événements

• On peut combiner les événements
• Union
• Intersection
• Complémentaire

24
Union d'événements

• Union des événements A et B
• A?B
• Événement réalisé lorsque
• A ou B
• est réalisé.
• Exemple L'individu est de groupe sanguin A ou B

Diagramme de Venn
25
Intersection d'événements

• Intersection des événements A et B
• AnB
• Événement réalisé lorsque
• A et B sont réalisés simultanément
• Exemple Le groupe sanguin de cet individu est O
  
• Le groupe sanguin de cet individu est O ou A
• n
• Le groupe sanguin de cet individu est O ou B

Diagramme de Venn
26
Événements incompatibles

• Événements incompatibles
• La réalisation de l'un entraîne la
  non-réalisation de l'autre.
• Leur intersection est nulle
• AnBØ
• (similaire à 2 ensembles disjoints)
• Exemple Le groupe sanguin de cet individu est
  A
• et Le groupe sanguin de cet individu est B

Diagramme de Venn
27
Événement contraire

• Événement contraire de A
• Ã
• Événement tel que
• 1) son union avec A donne l'univers des
  événements
• 2) Il est incompatible avec A
• Exemple AL'individu est de groupe sanguin A
• Ã L'individu n'est pas de groupe sanguin A

Diagramme de Venn
Ã
A
28
Lois de Morgan
29
Exemple
On tire au hasard un individu dans une
population Statistiques des décès en France en
2000 (INSEE) En statistiques
descriptives, on avait appelé ce tableau tableau
de contingence
30
Table de contingence

• Dans le cas du tirage aléatoire,
• il se récrit en terme de probabilités

31
Table de contingence
Nombre de personnes mortes en France en 2000 qui
sont des femmes ou des malades du cancer du
poumon Statistiques des décès en France en 2000
(INSEE)
32
Probabilité d'une union d'événements
On peut remarquer que dans ce cas
33
Loi des probabilités totales
34
Loi des probabilités totales

• Si deux événements A et B sont incompatibles

Notamment
35
III 3) Probabilités conditionnelles
Mots clés Loi des probabilités composées,
probabilité conditionnelle, événements
indépendants, théorème de Bayes.
36
Probabilité conditionnelle
Si on applique des restrictions à l'épreuve,
(typiquement en supposant qu'un événement B est
déjà réalisé) la probabilité de réalisation de
l'événement A pour la nouvelle épreuve est
modifiée. La nouvelle probabilité est appelée
probabilité conditionnelle de l'événement A
sachant B. On note p(A/B)
37
Probabilité conditionnelle
Exemple On tire au hasard un individu dans une
population Statistiques des décès en France en
2000 (INSEE) Quelle est la probabilité
que cet individu - soit une femme décédée des
suites d'un cancer du poumon ? - soit décédée des
suites d'un cancer du poumon sachant que c'est
une femme ?
38
Probabilité conditionnelle
Quelle est la probabilité que cet individu
soit une femme décédée des suites d'un cancer du
poumon ? Le tirage est équiprobable. On
l'effectue sur l'ensemble des personnes décédées
439522287254415272040530850 On compare à
l'ensemble des personnes décédées qui

4395/5308501000.8
sont des femmes et ont mortes d'un cancer du
poumon
? Ce n'est pas une probabilité conditionnelle
C'est p(cancernfemme)
39
Probabilité conditionnelle
Quelle est la probabilité que cet individu soit
décédée des suites d'un cancer du poumon sachant
que c'est une femme ? 1) On a restreint
l'épreuve à la population de femmes décédées
4395254415 258810 2) On regarde la proportion
de cancers des poumons dans cette
population 4395/2588101001.7
?C'est une probabilité conditionnelle
C'est p(cancer/femme)
40
Probabilité conditionnelle
On peut remarquer que dans ce cas
41
Loi des probabilités composées
42
Théorème de Bayes
Loi des probabilités composées
Loi des probabilités totales
Théorème de Bayes
43
Théorème de Bayes
Ce théorème est le fondement de l'inférence
bayésienne. Ce terme un peu compliqué recouvre
grossièrement le champ du diagnostic. (diagnostic
médical, pannes, filtres anti-spam)
44
Théorème de Bayes
Exemple Test médicaux On vous fait passer un
test de dépistage d'un virus touchant 1 de la
population. Il est positif ! Des essais en
laboratoire effectués sur des malades atteints du
virus ont montré que le test était positif dans
80 des cas. Par contre, il se révélait négatif
dans 90 des cas lors des tests sur des individus
sains. Quelle était la  probabilité  d'être
atteint avant le test ? Quelle est la
 probabilité  d'être atteint après le test ?
45
Événements indépendants
Jeu de  pile ou face  J'ai lancé 10 fois la
pièce et j'ai eu 10 fois  pile  Quelle est la
probabilité de tirer  face  au prochain coup?
½ Que j'ai tiré  pile  ou  face  au coup
précédent ne change rien (processus markovien)
46
Événements indépendants
A est indépendant de B si
47
Loi des probabilités composées (2)
Si A et B sont deux événements indépendants, la
loi des probabilités composées devient
48
Événements indépendants
La probabilité d'une personne de mourir du
cancer des poumons est-il indépendant de son
sexe ?
Non p(cancer/femme) 1.7 p(cancer/homme) 7.5
Attention, la non-indépendance est le signe
d'une corrélation, et non d'une causalité
49
Événements indépendants ?
Attention aux tirages aléatoires dans des
populations 2 tirages aléatoires successifs
dans une population ne sont pas
indépendants. C'est surtout visible si la
population est de petite taille Exemple On
prend un individu au hasard dans un groupe. C'est
un homme. Quelle est la probabilité que le
prochain individu tiré au hasard soit une femme
? Groupe A 6 hommes, 4 femmes Groupe B
6000 hommes, 4000 femmes
50
III 4) Les pièges des probabilités

• Mots clés Loi des probabilités totales, Loi
  des probabilités
• composées, probabilité conditionnelle, théorème
  de Bayes.

51
Les pièges des probabilités

• Les probabilités vous réservent beaucoup de
  surprises !
• On ne connaît pas bien les ordres de grandeur
• On ne précise pas toujours les épreuves
  associées
• C'est source de confusion
• (Probabilités conditionnelles)
• On n'insiste pas assez sur l'aspect répétitif de
  ces expériences.
• L'événement dont on parle n'est pas pertinent
• Des événements que l'on croit indépendants ne le
  sont pas
• Ces carences sont souvent utilisées
• lors de la manipulation d'opinion.

52
Ordre de grandeur mal connu

• Paradoxe de l'anniversaire
•  Incroyable. Lors de ma soirée d'anniversaire,
• il y avait deux personnes ayant la même date de
  naissance 

La probabilité pour que ceci arrive est de plus
de 50 (démontrez le en calculant la
probabilité). Ce n'est pas incroyable
53
Confusion des épreuves

• Paradoxe des enfants
• Une famille chez qui on se rend en visite a deux
  enfants, mais on ne sait pas de quel(s) sexe(s).
  On sonne à la porte. Un garçon vient ouvrir.
  Quelle est la probabilité que l'autre soit un
  garçon aussi ?

1/3 Avant que l'enfant ne vienne ouvrir, il y
avait 4 possibilités (fille, fille),(garçon,fille)
,(fille,garçon),(garçon,garçon) Seule la
première possibilité a été éliminée, d'où
1/3 Vous avez pensé ½ ? Attention à une mauvaise
lecture de l'énoncé.L'enfant est le premier à
ouvrir la porte, et non le premier à naître (il
ne resterait alors que (garçon,fille) et
(garçon,garçon), d'où le 1/2)
54
Pertinence de l'événement

• Paradoxe de la voyante
•  L'astrologie a raison. La rubrique astrologie
  de mon journal a prédit hier une mauvaise chance
  à tous les gens de signe balance. Or justement
  mon petit frère -balance- a été blessé en
  voiture. 

1) La  prédiction  est très vague
2) Il y a eu en 2003, 111 135 blessés de la
route. Soit en moyenne, 304.5 blessés par jour.
Supposant que 1/12 des blessés sont balances,
ça fait une moyenne 25.3 personnes de signe
balance blessées sur la route ce jour-là. La
prédiction  des balances seront accidentées sur
les routes aujourd'hui  sera donc certainement
réalisée.
55
Aspect répétitif de l'épreuve

• Paradoxe de la pilule contraceptive
•  Je suis tombée enceinte alors que le taux de
  réussite de ma pilule contraceptive est de 99.9.
  Ce n'est vraiment pas de chance 

Ce taux de réussite impressionnant est en fait
calculé par rapport. En une année, avec une
moyenne de 2 rapports par semaine, quelle est la
probabilité d'échec de la contraception ?
1-0.999(522) 10
56
IV Fonction d'une variable aléatoire

• Mots clés Variable aléatoire, distribution de
  probabilité,
• fonction de répartition, fonction de densité de
  probabilité.

57
Échantillon résultat d'une épreuve
Échantillon valeurs xi de la variable
x Population valeurs Xi correspondantes
? L'échantillon étant tiré aléatoirement parmi
la population, la valeur X n'est connu qu'avec
une certaine probabilité X devient alors une
variable aléatoire.
58
Distribution de probabilité
L'échantillon a été tiré de manière
aléatoire parmi la population. On a donc
effectué une épreuve. La distribution de
fréquence relative associée à X va donc tendre
vers une distribution de probabilité P(X) lorsque
le nombre de réalisation de l'épreuve (de tirages
d'échantillons) tend vers l'infini.
59
Exemple

• Dans un sac, se trouve du blé,
• dont la moitié des grains sont abîmés
• Je veux estimer la qualité de la production
• Je prends 3 grains dans le sac
• Quelle est l'épreuve ?
• Quels sont les événements possibles ?
• Quelles sont leurs probabilités?
• Donner la distribution de probabilités sous
• forme d'un tableau.

60
Fonction de répartition
Fonction de répartition (d'une variable
aléatoire) (souvent notée F) Fonction des
probabilités cumulées F(x0) p(xx0)
61
Solution graphique du problème du sac
62
Cas des variables continues
Rappel de la définition de la distribution de
probabilité  La distribution de fréquence
relative associée à X va donc tendre vers une
distribution de probabilité P(X) lorsque le
nombre de réalisation de l'épreuve (de tirages
d'échantillons) tend vers l'infini.  Dans le
cas d'une variable continue, la notion de
fréquence n'a de sens que pour un intervalle
63
Cas des variables continues
On ne peut donc définir une probabilité P(x,dx),
que pour l'intervalle x,xdx Or, Cette
fonction limite est appelée fonction de densité
de probabilité p(x)
64
Cas des variables continues
65
Caractérisation d'une distribution

• On a donc défini une fonction,
• x ? P(x)
• dont on aimerait préciser
• la valeur centrale
• la dispersion autour de cette position
• L'asymétrie, l'aplatissement,...

66
Espérance d'une distribution
Espérance d'une distribution Moyenne de cette
distribution Le terme vient de la théorie des
jeux, pour désigner l'espérance des gains. Les
jeux de hasard sont toujours conçus pour avoir
une espérance négative
Discret
Continu
On notera aussi ? la moyenne d'une distribution
67
Variance d'une distribution
Moment d'ordre k d'une distribution
E(xk) Variance d'une distribution Moment
centré d'ordre 2
Discret
Continu
On notera aussi ?2 la variance d'une distribution
68
IV 1) Quelques distributions de variables
aléatoires discrètes

• Mots clés Loi binomiale, Loi de Poisson

69
Quelques distributions discrètes

• Les plus importantes sont
• La distribution binomiale
• La distribution hypergéométrique
• La distribution de Poisson
• Il y a en plein d'autres
• (distribution binomiale négative, distribution
  géométrique,
• distributions multinômiales,...)

70
Retour sur le problème du sac
Nous pouvons compliquer le problème du sac - en
prenant un nombre n quelconque de grains - en
ayant un rapport pgrains abîmés/grains
sains différent de ½ Quelle est la probabilité
d'avoir x grains abîmés ?
71
Retour sur le problème du sac
Quelle est la probabilité d'avoir x grains abîmés
? a) Pour tirer dans l'ordre x fois un grain
abîmé (n-x) fois un grain sain Chaque tirage
est indépendant, ça nous donne donc px (1-p)n-x
72
Retour sur le problème du sac
b) px (1-p)n-x a été calculé pour (a,a,...,a,s,s,.
..,s) Pour (a,s,a,...,a,s,s,...,s), c'est p
(1-p) px-1 (1-p)n-x-1px (1-p)n-x La probabilité
recherchée sera donc px (1-p)n-x fois le nombre
de combinaisons avec x grains abîmés et (n-x)
grains sains
73
Rappel de probabilités de terminale
Permutation changement de l'ordre Exemple de
permutation 1,2,3?2,1,3 Dans un groupe à n
éléments (un n-uplet), le nombre de permutation
possibles est n! n(n-1)(n-2)...321 On
appelle n! la factorielle de n.
74
Rappel de probabilités de terminale
Arrangement de n éléments pris p à p On
collecte p éléments parmi n valeurs possibles, en
interdisant deux valeurs identiques mais l'ordre
importe. Exemple n3 valeurs possibles
a,b,c p2, groupes de 2 éléments. ab,ac,ba,bc,ca,c
b Le nombre d'arrangements possibles est
75
Rappel de probabilités de terminale
Combinaison de n éléments pris p à p On
collecte p éléments parmi n valeurs possibles, en
interdisant deux valeurs identiques mais l'ordre
n'importe pas. Exemple n3 valeurs possibles
a,b,c p2, groupes de 2 éléments. ab,bc,ca Le
nombre de combinaison possibles est
76
Retour sur le problème du sac
c) La distribution de probabilité recherchée est
px (1-p)n-x fois le nombre de combinaisons avec x
grains abîmés et (n-x) grains sains C'est ce
qu'on appelle une distribution binomiale
77
Distribution binomiale
La distribution binomiale modélise le nombre de
succès lors d'épreuves répétées réalisées dans
une population infinie telles que - seuls deux
événements sont possibles - la probabilité de
chaque épreuve est constante - toutes les
épreuves sont indépendantes
78
Distribution binomiale
x nombre de réussites n nombre d'épreuves p
probabilité de réussite
79
Distribution binomiale
Moyenne
Variance
80
Loi binomiale
La moyenne et la variance augmentent avec le
nombre d'épreuves
Moyenne
Variance
81
Loi binomiale
La dissymétrie augmente si p est proche de 0 ou 1
Moyenne
Variance
82
Loi binomiale

• La loi binomiale est tabulée.
• Vous pouvez
• Utiliser une table (TD)
• Utiliser un logiciel (Excel, Matlab) qui vous
• calcule Bi(x,n,p) et sa fonction de répartition

83
Distribution de Poisson
Elle est utilisée quand il s'agit de compter le
nombre d'occurrences d'un événement rare durant
une période donnée. Exemple compteur Geiger,
queues dans les magasins, nombre de défauts dans
un disque dur.
84
Distribution de Poisson
x nombre d'événements par période ? nombre
d'événements moyen par période
85
Distribution de Poisson
Moyenne
Variance
86
Distribution de Poisson
Moyenne
Variance
87
Distribution hypergéométrique
La loi hypergéométrique modélise le nombre de
succès lors d'épreuves répétées réalisées sans
remise dans une population de taille finie -
que seuls deux événements sont possibles - la
probabilité de chaque épreuve est constante -
toutes les épreuves sont indépendantes
88
Distribution de Poisson
La loi de Poisson est un cas limite de la
distribution binomiale. La distribution
binomiale est bien approximée par la distribution
de Poisson si plt5 et ngt50
89
IV 2) Quelques distributions de variables
aléatoires continues

• Mots clés

90
IV 2) Quelques distributions de variables
aléatoires continues

• Mots clés

91
Quelques distributions continues

• Les plus importantes sont
• La loi normale
• La distribution du ?2 (chi-deux)
• Il y a en plein d'autres
• (exponentielle, Fisher, Gamma, Student,...)

92
Quelques distributions continues
À grand paramètre, les distributions binomiale
et de Poisson tendent vers une belle  courbe en
bosse 
Cette courbe typique s'appelle la distribution
normale
93
Distribution normale
x variable aléatoire ? moyenne ? écart-type
94
Distribution normale
Moyenne
Variance
95
Distribution normale
Moyenne
Variance
96
Distribution normale
Moyenne
Variance
97
Distribution normale
Moyenne
Variance
98
Distribution normale
99
Approximation par la loi normale

• La loi normale approxime bien les 2 fonctions que
  nous avons vues si

Loi binomiale
Loi de Poisson
100
IV 3) Distribution d'une combinaison de
variables aléatoires

• Mots clés Loi du ?2, de Student, de
  Fisher-Snedecor

101
Changement de variable

• Pour une variable aléatoire,
• on associe une distribution de probabilité
• Si on prend une autre variable aléatoire
  dépendante
• de cette variable
• que peut-on dire de sa distribution de
  probabilité ?

102
Standardisation (Rappel de stat. descr.)

• Centrage

Standardisation
Position Amplitude Dispersion
Quartiles Variance
Écart-type
Z est aussi appelée variable centrée réduite
103
Exemple de changement de variable

• Ce changement de variable se transpose au cas
• des variables aléatoires
• X est un variable aléatoire associée à une
• distribution de probabilité
• de moyenne ? et de variance ?2
• On peut définir alors la variable centrée réduite
  associée Z
• La moyenne de la distribution associée à Z est
  nulle
• Sa variance vaut 1

104
Distribution normale standardisée
Moyenne
Variance
105
Combinaisons de variables aléatoires

• Il est tentant d'associer deux variables
  aléatoires
• Exemple du sac
• On prend trois grains.
• À chaque grain tiré, on associe une variable
  aléatoire dans 0,1
• On peut aussi prendre la variable aléatoire
  nombre de grains abîmés 
• qui est la somme de ces trois variables
  aléatoires 
• Attention toutefois à ce que toutes les variables
  
• soient indépendantes

106
Variables indépendantes
Deux variables x et y sont indépendantes
si Alors
107
Application directes aux statistiques

• On se place dans la cadre d'épreuves répétées
• On a donc n variables aléatoires,
• X1, X2,X3,...Xn
• de même loi de probabilité
• de moyenne ? et de variance ?²
• On peut donc définir deux nouvelles variables
• Somme SnX1 X2X3...Xn
• Moyenne

108
Théorème central limite

• On a alors
• Somme
• Moyenne

109
Théorème central limite

• On montre en fait que les distributions de
  probabilités
• associées à la variable
• converge vers une distribution normale centrée
• (?0 et ?1)
• quand n?8

110
Théorème central limite

• On vient de voir une exemple du théorème central
  limite
• avec la loi binomiale

111
Approximation par la loi normale

• Un phénomène est bien approximé
• par la distribution normale si
• il dépend de nombreux facteurs
• que ces facteurs sont indépendants entre eux
• que les effets aléatoires de ces facteurs sont
  cumulatifs
• que les variations de ces facteurs sont faibles

112
Lois dérivées de la loi normale

• Loi du ?2 (chi-deux)
• Loi de Student
• Loi de Fisher-Snedecor

113
Variable du ?2

• Soient X1, X2,X3,...Xn
• n variables normales centrées réduites
• La variable de Pearson ou du ?2
• vaut
• On dit alors qu'elle a n degrés de liberté

La variable de Pearson est souvent utilisée pour
comparer 2 séries de variables
114
Degré de liberté

• Le degré de liberté de ?2
• est le nombre de variables sommées
• diminué du nombre de relations entre ces
  variables
• Exemple
• X1 nombre de grains abîmés
• X2 nombre de grains sains
• P(X1)P(X2) 1
• ?2X12X22 n'a qu'un degré de liberté

115
Loi du ?2

• La densité de probabilité d'une variable ?2
• de ? degrés de liberté
• est connue
• (ses valeurs sont stockées dans des tables)
• On l'appelle loi de ?2 (ou de Pearson) de degré ?
• Elle a une expression relativement complexe
• rarement directement utilisée

116
Loi du ?2
Lorsque ??8, la loi du ?2 converge vers la loi
normale Pourquoi ?
Théorème central limite ?gt30 suffit
117
Loi du ?2

• La loi du ?2 est tabulée.
• Vous pouvez
• Utiliser une table (TD)
• Utiliser un logiciel (Excel, Matlab)

118
Variable de Student

• Soient Z une variable centrée réduite et
• ?2 une variable de Pearson de degrés de liberté ?
  
• La variable
• est une variable aléatoire suivant
• une loi de Student avec ? degrés de liberté

La variable de Student sera utilisée pour
comparer deux moyennes
119
Loi de Student

• La loi de Student avec ? degrés de liberté
• est connue
• (ses valeurs sont stockées dans des tables)
• Elle a une expression relativement complexe
• rarement directement utilisée

120
Loi de Student
Lorsque ??8, la loi de Student converge vers la
loi normale Pourquoi ?
Théorème central limite ?gt30 suffit
121
Loi de Student

• La loi de Student est tabulée.
• Vous pouvez
• Utiliser une table (TD)
• Utiliser un logiciel (Excel, Matlab)

122
Variable de Fisher

• Soient ?12 et ?22 deux variables de Pearson,
• respectivement de degrés de liberté ?1 et ?2
• La variable
• est une variable aléatoire suivant
• une loi de Fisher-Snedecor à ?1 et ?2 degrés de
  liberté

La variable de Fisher sera utilisée pour comparer
deux variances
123
Loi de Fisher-Snedecor

• La loi de Fisher-Snedecor à ?1 et ?2 degrés de
  liberté
• est connue
• (ses valeurs sont stockées dans des tables)
• Elle a une expression complexe
• rarement directement utilisée

124
Loi de Student
Lorsque ??8, la loi de Student converge vers la
loi normale Pourquoi ?
Théorème central limite ?gt30 suffit
125
Loi de Student

• La loi de Student est tabulée.
• Vous pouvez
• Utiliser une table (TD)
• Utiliser un logiciel (Excel, Matlab)

126
Sources de variabilité

• (1) Imprécision
• La mesure est répétée deux fois dans les
• mêmes conditions expérimentales
• Les résultats sont légèrement différents.
• Ce n'est pas une erreur mais la résultante de
  toute une série d'événements incontrôlés

127
Sources de variabilité

• Imprécision ? Inexactitude
• Si la mesure effective diffère de la valeur
  réelle,
• on parle alors d'inexactitude.
• Elle souvent due à une erreur dans le
• protocole expérimental.
• Elle est aussi introduite lorsqu'on étudie un
  échantillon peu représentatif de la population.
• Attention l'inexactitude peut être masquée par
  l'incertitude

128
Sources de variabilité

• (2) Différences individuelles
• Les éléments de l'échantillon sont différents.

129
Sources de variabilité

• (3) Différences factorielles
• Les éléments placés dans un
• environnement différent
• ont des propriétés différentes.
• On cherche souvent à caractériser de telles
  différences.

130
Sources de variabilité

• Variabilité résiduelle
• imprécision variabilité individuelle
• Variabilité totale
• variabilité résiduelle variabilité factorielle

131
Sources de variabilité
Population
Information
Variabilité factorielle
Facteur a
Facteur b
Facteur c
Variabilité individuelle
El1
El3
El2
Bruit
Incertitude
132
Repérer les sources de variabilité

• (1) Imprécision faire la mesure 2 fois, dans
  les mêmes conditions, sur le même élément.
• (2) Variabilité individuelle faire la mesure
  dans les mêmes conditions, sur au moins 2
  éléments.
• (3) Variabilité factorielle faire la mesure
  dans les mêmes conditions, sur au moins 2
  éléments sur 2 niveaux de ce facteur.

133
Réduire les sources de variabilité

• (1) Imprécision Améliorer la
• technique de mesure
• (2) Variabilité individuelle Standardiser
  l'expérience en ne mélangeant pas différentes
  groupes dans l'étude.
• Bien définir la population
• (3) Variabilité factorielle Irréductible.
• La variabilité factorielle est souvent ce que
  l'on veut mettre en évidence.

134
Stratégie de l'estimation
135
Paradoxe des statistiques

• Une étude cherche à préciser si un facteur a un
  effet sur une variable.
• On pourra
• - éventuellement prouver la validité de
  l'hypothèse
• - mais jamais l'infirmer !
• En effet, dans ce dernier cas, on ne pourra pas
  conclure car
• bruit gt signal

136
Test d'hypothèse

• Test d'hypothèse détermination de la
  plausibilité qu'un paramètre d'un modèle prenne
  des valeurs différentes dans des populations
  distinctes, afin de mettre en évidence, ou non,
  un effet d'un facteur expérimental sur une
  population.

137
Hypothèse statistique

• Hypothèse nulle (ou principale)
• H0
• On pose aussi l'hypothèse alternative 
• H1

138
Hypothèse statistique

• Hypothèse nulle (ou principale)
• H0
• On pose aussi l'hypothèse alternative 
• H1

139
Test d'hypothèse

• Test d'hypothèse détermination de la
  plausibilité qu'un paramètre d'un modèle prenne
  des valeurs différentes dans des populations
  distinctes, afin de mettre en évidence, ou non,
  un effet d'un facteur expérimental sur une
  population.

140
Hypothèse statistique

• Hypothèse nulle (ou principale)
• H0
• On pose aussi l'hypothèse alternative 
• H1

141
Hypothèse statistique

• Hypothèse nulle (ou principale)
• H0
• On pose aussi l'hypothèse alternative 
• H1

142
Paramètres de la distribution de probabilité
Pour un échantillon donné, on avait obtenu une
distribution de valeurs. On avait pu définir une
série de paramètres Moyenne Si on répète la
mesure NE fois, on obtient
143
Paramètres de la distribution de probabilité
Pour un échantillon donné, on avait obtenu une
distribution de valeurs. On avait pu définir une
série de paramètres Moyenne Variance