I' Les Oprateurs vectoriels

1
I. Les Opérateurs vectoriels
Cours téléchargeable http//www.ema.fr/CMGD/MMS/Co
urs/optapp/optapp.html

• Pierre Slangen, ELMG-OPT, 2008

Ecole des Mines d'Alès, CMGD, Instrumentation,
Laser, Optique Appliquée 6, Avenue de
Clavières, 30319 ALES CEDEX Pierre.Slangen_at_ema.fr
http//www.ema.fr/CMGD/ILOA/ILOA.html
2
I. Les opérateurs vectoriels

• A. Notion de champ
• 1. Grandeur locale
• Chaque particule de l'univers est soumise à
  l'influence combinée de toutes les autres, qui se
  manifeste par des forces d'origine
• - gravitationnelle (mécanique)
• - nucléaires forte et faible
• - électromagnétique.
• Soit K, une grandeur que l'on puisse mesurer en
  tout point n de l'espace, alors K est une
  grandeur locale,
• exemple

3

• 2. Champs scalaire et vectoriel
• Si K est une grandeur locale, tous les ,
  c'est-à-dire les propriétés locales de l'espace
  aux points M sont appelés champ.
• Exemples champ scalaire U le
  potentiel. champ vectoriel
• 3. Lignes et tubes de champ
• a. Ligne
• Courbe tangente au champ en tout point M
• b. Tube
• Ensemble des lignes de champ qui s'appuie sur un
  contour fermé.

4
Commentaire Nous utiliserons principalement les
opérateurs vectoriels pour leur sens physique, et
leur descriptif des entités concernées en
électromagnétisme champs scalaires et
champsvectoriels
Nabla peut être interprété comme une entité
vectorielle qui permet deffectuer des opérations
variationnelles, donc détudier les variations
des champs physiques
5
Circulation du champ vectoriel
6
(No Transcript)
7
(No Transcript)
8
Exemple les lignes du champ électrique ou
magnétique
9
grad montre la variation d'un champ scalaire dans
l'espace. grad est dirigé suivant les valeurs
croissantes.
10
(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Théorème de Stokes
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Théorème de Green -Ostrogradsky
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Electromagnétisme
Cours téléchargeable http//www.ema.fr/CMGD/MMS/Co
urs/optapp/optapp.html

• Pierre Slangen, ELMG-OPT, 2008

Ecole des Mines d'Alès, CMGD, Instrumentation,
Laser, Optique Appliquée 6, Avenue de
Clavières, 30319 ALES CEDEX Pierre.Slangen_at_ema.fr
http//www.ema.fr/CMGD/ILOA/ILOA.html
23

• Lintelligence artificielle nest rien comparée
  à la stupidité naturelle

Thomas Edison
24
Préambule

• Dans la vie courante, les phénomènes
  électromagnétiques sont omniprésents. On les
  rencontre partout, surtout avec lémergence des
  nouveaux moyens de télécommunications et les
  ordinateurs à fréquence élevée. A cause de ces
  cadences, les faibles champs électromagnétiques
  dantan risquent de se transformer en phénomènes
  perturbatoires importantsOn voit alors poindre à
  lhorizon les notions importantes de
  Compatibilité ElectroMagnétique (CEM).
• Ces "notes provisoires", revues et corrigées au
  fil des années, présentent les notions
  d'électrostatique, d'électrocinétique, de
  magnétostatique et d'induction électromagnétique
  en amenant l'expression des équations de Maxwell.
  Elles sont le recueil dune synthèse des
  équations nécessaires aux bases théoriques dont
  les ouvrages de référence sont repris en annexe.
• Une démarche historique et à tendance
  expérimentale est proposée en cours. Elle aborde
  notamment les phénomènes par le vécu et utilise
  la mathématique sous - jacente dans sa
  signification physique. Ce choix pédagogique
  permet de mettre en valeur les méandres de la
  démarche scientifique.
• Cet aspect reflète la puissance du raisonnement
  scientifique, qui, par l'observation ou par la
  déduction, permet l'établissement de lois
  capables de prédire ou d'interpréter des
  phénomènes complexes et généralisés.
• Grâce aux quatre équations de Maxwell, il est
  possible d'interpréter tout système où le champ
  électromagnétique est présent, ainsi que la
  propagation d'une onde électromagnétique. Ceci
  permet de franchir le pas entre l'électricité et
  les ondes électromagnétiques, qu'elles soient
  lumineuses, hertziennes ou issues de tout autre
  partie du spectre.
• Ces notions seront notamment transférables en
  optique, en électronique, voire même en
  géophysique
• Cette version électronique en format natif de
  présentation est en libre reproduction et
  utilisation, si elle vous a plu,citez au moins
  lauteur si vous vous en inspirez fortement.

Pierre.Slangen_at_ema.fr
25
II. ELECTROSTATIQUE

• Introduction à l'électricité
• Electricité gt lumière, moteurs, ordinateur,
  courant électrique.
• Les forces électriques jouent un rôle très
  important dans la nature
• cohésion des atomes, des molécules, des
  liquides et des solides.
• elles président aux transformations
  métaboliques de l'organisme.
• Premières notions Antiquité (ambre
  "elektros").
• Etude en profondeur 19ème siècle.

26

• 1. Création
• Electricité statique gt frottement peau de chat
  () sur ambre (-), siège de voiture en nylon et
  métal carrosserie.
• Objet électrisé par frottement distinction de la
  charge positive et de la charge négative par
  Benjamin Franklin (18eme siecle).
• 2. Conservation
• La charge se divise entre les 2 objets (verres ,
  soie -).
• La quantité nette de charge électrique produite
  au cours de n'importe qu'elle transformation est
  nulle.

27

• 3. Modes d'électrisation
• - par contact - par influence - par émission
  thermoionique - par émission photoélectrique -
  par effet piézoélectrique.
• 4. Série triboélectrique
• Série de substances classées telles que celle qui
  précède l'autre se charge et l'autre -.
• peau de lapin/verre/mica/laine/peau de
  chat/soie/ambre/résine/soufre/ébonite/bois/cellulo
  ïd -

28
Interaction électrostatique

• Loi de Coulomb
• Les charges électriques exercent une force les
  unes sur les autres. Cette force a été étudiée
  par Coulomb (1780) (balance de torsion).

29

• Force s'exerçant sur i attribuable à j donnée par
  la loi de Coulomb
• avec e0 permittivité absolue (vide)
  8.85.10-12 C2 / N m2
• Force de Coulomb
• direction droite M1M2
• sens charges identiques se repoussent, charges
  opposées s'attirent,
• intensité inversement proportionnelle au carré
  de la distance r,
• point d'application M1 et M2
• Le CoulombCharge ponctuelle, qui, placée dans le
  vide, à 1 m d'une charge identique, exercerait
  sur l'autre charge une force d'intensité de
  9.109N.

30
Théorème de superposition

• Soit un ensemble de charges qi, la force de
  Coulomb exercée par l'ensemble sur une charge q
  est donnée par

31
Champ électrique

• Le concept d'action à distance peut être mieux
  saisi en introduisant, tout comme en gravitation
  (Newton), la notion de champ électrique
  (Faraday).
• Chaque charge électrique crée un champ électrique
  qui se propage dans tout l'espace.
• Une autre charge, placée à proximité (cf.
  distance d'interaction) de la première, ressent
  les effets d'une force
• a. Détermination du champ électrique
• En tout point de l'espace, on place une charge
  d'essai q positive ( 1 C), au voisinage d'une
  charge (ici Q gt0).
• Dans chaque cas a, b, c, la force est radiale et
  son intensité est inversement proportionnelle au
  carré de la distance (Coulomb).
• Le champ électrique, en tout point de l'espace,
  correspond à la force agissant sur la charge
  d'essai, divisée par la valeur de la charge
  d'essai q.
• Le champ électrique s'exprime en N/C.

32
Calcul du champ électrique
Généralement, pour des cas simples,
i. Charge unique

On calcule la circulation de E le long de la
courbe AB
33
ii. Système de charges

.
Si on considère la charge répartie de façon
continue, on la divise en charges infinitésimales
dq et
34
iii. Propriété de la circulation
La circulation d'un champ électrostatique autour
d'un contour fermé est nulle CAA 0
Par le théorème de Stokes
Donc, sur un contour fermé rot E 0,donc E
dérive d'un potentiel E - grad V
35
Lignes du champ électrique
36
Théorème de Gauss

• Rem. - à l'intérieur d'un conducteur en
  équilibre (charges au repos), le champ
  électrique est nul. - dans un conducteur, la
  charge se répartit sur la surface externe. - le
  champ électrique est toujours perpendiculaire à
  la surface d'un conducteur.

Le théorème de Gauss Rappel Le flux du champ E
à travers une surface Sorientée par ndS est
donné par
37
(No Transcript)
38
Si E n'est pas uniforme, on divise la surface en
éléments de surface de E uniforme et on somme la
contribution de tous les éléments
Si on analyse le flux à travers une surface
fermée, on oriente toujours dS vers l'extérieur
Le flux entrant est donc négatif et le flux
sortant est positif.
Énoncé du théorème de Gauss Le flux du champ
électrique à l'intérieur d'une surface fermée est
proportionnel à la somme des charges électriques
intérieures à cette surface.
avec
où
39
4. Propriétés du champ électrique
a. Forme locale du théorème de Gauss
On suppose la densité de charges uniforme et soit
r la densité de charge volumique
b. Équation de Poisson
c. Équation de Laplace
Si r 0
40
5. Potentiel électrique, énergie

• a. Potentiel
• Le champ électrique a été décrit comme une force
  s'exerçant par unité de charge. Donc on peut
  définir le potentiel électrique comme l'énergie
  potentielle par unité de charge. Si une charge
  ponctuelle q possède une énergie potentielle
  électrique Ua en un point a quelconque

En physique, seules les différences de potentiel
sont mesurables. Pour déplacer une charge de a
vers b, son énergie potentielle diminue et son
énergie cinétique augmente. La différence de
potentiel Vba entre a et b est égale à la valeur
négative du travail WEab accompli par le champ
électrique pour déplacer la particule électrisée
de a en b .
Unité le potentiel s'exprime en
Rem. Le potentiel en un point dépend de la
position choisie pour le potentiel nul. Souvent
Concrètement, on considère
.
41
b. Énergie potentielle Puisque le potentiel se
définit comme l'énergie potentielle par unité de
charge,la variation de cette énergie pour
déplacer, de a en b , une charge q vaut
Analogie Pierre qui chute d'une falaise Ep
dépend de la hauteur et de la masse (et de
g). Charge Ep dépend de la charge et du
potentiel
On peut définir, à partir de cette formule,
l'électron - volt eV, comme l'énergie acquise
par un électron suite à son déplacement dans une
différence de potentiel de 1V.Cette unité
d'énergie (très petite) est très utilisée en
physique des particuleset en chimie.
42
Densité d'énergie électrostatique

• Pour une surface dont la densité de charge r est
  continue, la densité d'énergie électrostatique
  est donnée par dEp 1/2 r(M) V(M) dt. Pour
  avoir l'énergie totale du système, il faut sommer
  sur la distribution, en tenant compte de la
  symétrie.

Par le théorème de Gauss (forme locale) et en
tenant compte des propriétés de ladivergence
(div (VE) V div E E.gradV)), on obtient
l'expression de la densité d'énergie
électrostatique
43
Rapport entre le potentiel et le champ électrique

• E - gradV

V/m N/C
Système de charges Pour un système de charges
discrètes qi, à distance ri du point de calcul
où k' est à déterminer par conditions aux
limites Si, par convention, V(8) 0, on a k' 0.
Distribution de charges r(M) quelconque
En toute généralité, on peut avoir une
distributionvolumique r(M) dt, surfacique s(S)
dS ou linéique l(l) dl. On exprimera les éléments
d'intégration dans le système de coordonnéesle
plus approprié à la géométrie du système.
44
Capacité d'un conducteur électrostatique

• Capacité d'un conducteur électrostatique
• On définit la capacité C d'un condensateur seul
  dans l'espace (sans interaction) par le rapport
  Q/VS où Q est la charge totale portée par la
  surface du conducteur et VS le potentiel de la
  surface.
• C s'exprime en farad F
• Le farad est une unité énorme, on utilise plutôt
  ses divisions telles que µF, nF et pF.
• Un condensateur est un appareil servant à
  emmagasiner les charges électriques. Il est
  constitué de deux corps conducteurs placés à
  proximité l'un de l'autre, non en contact..
• La capacité dépend de la taille, de la forme et
  de la position relative des deux conducteurs qui
  le constituent et aussi de la substance qui les
  sépare.
• La capacité peut être déterminée en mesurant la
  charge du conducteur soumis à une différence de
  potentiel VS.

45

• Ex. Condensateur à armatures parallèles planes
  d'aire A, séparées d'une distance d
• Soit d ltlt vA et E uniforme entre les armatures
• E s / e0 par Gauss et s Q / A, donc E Q / e0
  A.
• Avec C Q / V et , dl sens
  (a -gt b),
• on trouve et la capacité C
  est donnée par

E
- - - - -

Rem. Ce résultat est intuitivement logique car
si la surface augmente, la répulsion entre les
charges d'une armature diminue et la quantité de
charge portable par l'armature augmente. Si d
augmente, l'attraction des plaques diminue et la
quantité de charge diminue.
Surface A
b
a
d
Association en série 1/C S1/Ci
Association en parallèle C SCi
46
Capacité et Capacité mutuelle

• La plaque 1 est portée à V1 Q1a C11.V1 et,
  par influence, Q2a C21.V1
• Seule la plaque 2 est portée à V2 Q2b C22.V2
  etQ1b C12.V2
• Les 2 plaques sont soumises à V1 et V2 alors
• Q2 C21.V1 C22.V2 et Q1 C11.V1 C12.V2
• C12 C21 sont les capacités mutuelles et C11 et
  C22 sont les capacités. Elles ne dépendent que de
  la géométrie des conducteurs

47
Blindage électrostatique

• Le conducteur interne est porté à un potentiel V1
  et acquiert donc une charge Q
• Par influence, la partie interne du conducteur
  externe se charge à Q et sa partie externe à Q
  pour conserver sa neutralité charge totale 0
  C
• Si on relie le conducteur externe à la terre,
  cette charge externe disparaît et le conducteur
  est isolé. Le conducteur externe possède
  désormais une charge -Q, fournie par la terre.

0 C
Q
Q
Q
0 V
V1
-Q
V1
-Q
48
Énergie électrostatique stockée par les
condensateurs
Dans un système électrique, un condensateur joue
un rôle analogue au ressort dans un système
mécanique. Pour augmenter l'énergie stockée, il
faut vaincre la force de répulsion des charges
déjà présentes sur l'armature par une force
extérieure, comme quand on veut comprimer plus
fort le ressort.
Pour modifier la charge d'une armature, il faut
transférer, par exemple, une charge dq gt 0
de l'armature au potentiel le plus bas vers
l'armature au potentiel le plus élevé. Si la
différence de potentiel entre les armatures vaut
V, le travail requis pour déplacer dq dans V est
dW dq V et à tout instant on a V q / C, donc
Comme
pour le condensateur plan
49
Polarisation électrique de la matière

• Les atomes n'ont pas de moment dipolaire
  électrique en raison de leur symétrie sphérique
  mais, placés dans un champ électrique, ils
  deviennent polarisés. Beaucoup de molécules
  possèdent un moment dipolaire permanent (ex
  H2O). Placées dans un champ électrique, elles
  tendent à s'orienter parallèlement au champ
  appliqué à cause du couple auquel elles sont
  soumises.
• Un morceau de matière, placé dans un champ
  électrique extérieur, devient donc polarisé
  électriquement, soit par polarisation induite,
  soit par orientation des dipôles permanents.

Etat naturel
Moment dipolaire induit
ATOMES
Orientation des Moments dipolaires
MOLECULES
50
Les diélectriques

• Un diélectrique est un milieu qui peut être
  polarisé par un champ électrique.

La capacité augmente d'un facteur k C k Co, où
k est la constante diélectrique du milieu ou
encore la permittivité relative er k.
Rem.On a k e0 e qui est la permittivité de la
substance. La densité d'énergie emmagasinée à
l'intérieur d'un diélectrique devient e
E2/2. La rigidité électrique (champ disruptif)
est la valeur maximum du champ électrique que
peut supporter le diélectrique sans claquage
Air 3.106 V/m, Mica 60. 106 V/m.
51

• Champ électrique à l'intérieur du diélectrique
• Le champ électrique à l'intérieur d'un
  diélectrique est égal à la somme vectorielle de
  E0 (créé par les charges libres des plaques
  conductrices)de Eind (via la charge que le
  diélectrique a acquise par induction).

Eint E0 Eind Eind est parfois appelé champ
de dépolarisation et on a

52
Si on considère deux plaques planes parallèles,
de densité surfacique de charge s, on a E0 s /
e0.Par analogie, on définit Eind sind / e0
avec Qind sind A, la charge induite sur une
surface A.Qind est la charge liée car elle se
trouve sur un matériau isolant et ne peut donc
se mouvoir librement. Comme
on a
et aussi
Comme généralement k gt1, Qind lt Q la charge
induite est inférieure à la charge libre.
53
Thm de Gauss et diélectriques
Dans la surface de Gauss, la charge réelle totale
est donnée par Q - Qind,et le théorème de Gauss
devient
Et comme Q - Qind Q / k
Rem. Q représente la charge libre, la charge
liée est incluse dans e.Pour rappel e0
8.85.10-12 F/m, et e e0 er.

54
Vecteur Polarisation
La polarisation macroscopique P est définie comme
le moment dipolaire électrique du milieu par
unité de volume. Pour un condensateur plan
Pour des cas plus complexes, sind équivaut à la
composante de P perpendiculaire la surface du
diélectrique et on a
.
En général, P est proportionnel à E P ce e0
E où ce est la susceptibilité électrique de la
substance.C'est un nombre sans dimension,
positif pour la plupart des substances. GE p L
E
55
Déplacement électrique
Sachant que
, on a
et que
ou encore
Si on définit le vecteur déplacement électrique,
D, par D eo E Ple théorème de Gauss devient
.
On remarque que le déplacement électrique n'est
lié qu'aux charges libres.
56
Résumé

• E est attribuable à toutes les charges (libres
  ou liées),
• P est attribuable seulement aux charges liées,
• D est attribuable seulement aux charges libres.
• Sachant que
• P ce e0 E,
• on a
• D eo E P
• et donc
• D eo E ce eo E (1 ce) eo E e E.
• e , la permittivité électrique du milieu
  s'exprime en F/m
• e e0 er avec er (1 ce) k.
• Certains matériaux ferroélectriques ont er très
  élevé. C'est notamment le cas pour BaTiO3, et le
  sel de Rochelle NaK(C4H4O6).4 H2O.

57
III. ELECTROCINÉTIQUE

• D'après la théorie atomique, le courant (quantité
  de charge qui défile par unité de temps) circule
  dans des fils métalliques grâce aux déplacements
  des électrons, et dans les solutions grâce aux
  migrations des ions.
• Les charges électriques se déplacent alors un
  courant électrique I circule dans le conducteur
  de section S
• I ?S j.dS, où j est la densité de courant ou
  courant électrique par unité de surface j
  dI/dS.n
• Le conducteur nest plus à léquilibre, le
  potentiel V nest plus constant
• On suppose le champ électrique uniforme dans tout
  le conducteur, cest à dire identique en tout
  point à un instant donné, pas forcément constant.
• vD est la vitesse de dérive des électrons

Il n'y a pas de contradiction avec E 0 à
l'intérieur d'un conducteur car, dans ce cas, il
n'est plus en équilibre électrostatique.
58
Relation de continuité
Soit r (M, t) la densité de charge à l'intérieur
de la surface. On a
.Et en t dt
donc
Et enfin
Le courant I qui sort de la surface S doit être
égal au déficit de charge par unité de temps
Et par le théorème de la divergence

On retrouve la condition des régimes permanents
div j 0 lorsque ?r / ?t 0.
59
Relation de continuité

• La relation traduit la continuité de la charge
  si des charges traversent une surface pendant
  une durée dt, le volume enfermé dans cette
  surface sappauvrit en charges
• Elle généralise la vitesse de déplacement en
  fonction de la densité de courant
• div(j) dj/dx - d?/dt donc dj - d?. dx/dt
• Or dx/dt vD donc j ?dj -? vD. d? - ?. vD
• La relation de continuité sécrit ici
• j - ?. vD ,
• où ? n.e densité volumique de charge,
• n étant nombre de charges par unité de volume

j - n e vD ,
Pour les électrons
60
Loi d'Ohm ...

• Rappels
• Loi de Pouillet R r l / S où r est la
  résistivité en W.m l est la longueur en
  m S est la section m2 du conducteur.
• Comportement thermique r r0 (1 a DT), a gt
  0sauf semiconducteurs tels que Ge, Si, ...
• L'inverse de la résistivité r est la
  conductivité sc Siemens W-1. m-1.

61
Exemples

• Matériau Résistivité W.m
• Conducteurs Ag 1.59.10-8 Cu 1.68.10-8
  Al 2.65.10-8 W 5.6.10-8
  Fe 9.71.10-8 FeNiCo 10-6 Eau de
  mer 0.5
• Semiconducteurs Carbone (3 -gt 60 ) 10-5
  Ge (1 -gt 500 ) 10-3 Si 0.1 -gt 60
• Isolants Verre 109 -gt 1012 Caoutchouc 103
  -gt 1015 Sel pur 1013

62
Loi d'Ohm

• Comme R r L / S pour un fil de longueur L
• et que I j S en tenant compte des sens de I et
  E, V E L si le champ E est uniforme dans le
  fil, E L V R I,
• r (L / S) j S j r L.
• Donc j (1 / r) E sc E.
• j sc E (1 / r) E.

On peut dire que jnqvD E / ? (résistivité) v
E / n q ? et vD µ. E si mobilité µ telle que
scqnµ
63
IV. MAGNÉTOSTATIQUE
C'est au 19ème siècle que les scientifiques ont
découvert la relation entre le magnétisme et
l'électricité (Oersted 1820), même si les aimants
naturels étaient connus depuis longtemps.
Pôles magnétiques et lignes de champ Les aimants
permanents existent à l'état naturel notamment en
Asie Mineure (Magnésie). Les aimants couramment
utilisés sont des alliages de FeNiCo.L'aimantatio
n peut être permanente ou induite, ou même créée
par circulation d'un courant électrique (cf.
infra). Expérimentalement, les faits suivants
sont qualitativement établis -Un aimant possède
deux pôles, Nord et Sud, où l'activité magnétique
paraît être concentrée. -Les pôles opposés
s'attirent, les pôles identiques se
repoussent. -Si un pôle magnétique est repoussé
par le pôle d'une extrémité d'un aimant, alors il
sera attiré par le pôle de l'autre
extrémité. -Si deux pôles d'aimants différents
sont chacun attirés ou repoussés par le pôle d'un
troisième aimant, ils se repoussent entre
eux. -Un troisième type de pôle magnétique
n'existe pas. -Des objets constitués de certains
métaux (ex Fe) sont attirés par n'importe quel
pôle magnétique. Un objet qui présente des
propriétés magnétiques seulement lorsqu'il est
soumis à un objet magnétique est dit
amagnétique. Son comportement magnétique en la
présence d'un aimant est appelé magnétisme
induit.
64
La force magnétique et le champ magnétique

• Par abus de langage, nous appellerons B le champ
  magnétique, bien que l'appellation officielle
  soit l'induction magnétique.B est un vecteur et
  s'exprime en Tesla T.

Ordre de grandeur du champ magnétique
Espace interstellaire lt10-9 Champ magnétique
surface terrestre 5.10-5 Surface des
étoiles 10-2 à 5 Aimants permanents 10-2 à
1 Électroaimant à noyau de fer gt3 Aimant
supraconducteur gt20 Bobine pulsée (10-3 s) 10
à 50 Bobine implosive (10-6 s, utilisation
unique) 30 à 100
On constate que B peut s'exprimer en N.s/C.m.Une
unité utilisée en géophysique terrestre est le
gauss et on a 1 G 10-4 T.
65
Effet du champ magnétique sur une charge
électrique
Dès 1600, Gilbert montra qu'un compas magnétique
n'interagissait pas avec un barreau chargé.Les
relations entre l'électricité et le magnétisme
sont plus subtiles...

• En fait, une charge électrique ne subit une force
  de la part du champ magnétique que si elle est en
  mouvement. C'est la force magnétique et le
  mouvement est essentiel. Dans une région de
  l'espace où aucun champ électrique n'existe,
• une charge au repos soumise à un champ magnétique
  reste au repos.
• Une charge positive q, se déplaçant à vitesse v
  dans un champ magnétique B, subit une force F
  d'amplitude q v B. Expérimentalement, on constate
  que F est toujours perpendiculaire à v et à B et
  donc F q v L B (principe du cyclotron).
• F q v B définit l'amplitude du champ B en
  termes de quantités mesurables F, q et v.
• La similarité avec la définition du champ
  électrique est évidente
• E F / q et B F / q v

En toute généralité, la force appliquée à une
charge se trouvant dans un champ
électromagnétique est décrite par la force de
Lorentz F q E q v L B
66
Force de Laplace
67
Force de Laplace

• Si on se place d'un point de vue microscopique et
  que l'on considère un courant qui circule dans un
  conducteur et donc qu'il existe une densité de
  courant j , il est possible d'exprimer la force
  de Lorentz sous une autre forme (On choisit E
  0)

on a I A v n e. Si dq désigne la charge
contenue dans un volume A.dl, v dq A e n v dl
I dl.
dF I dl L B où dl est orienté dans le sens
de I (règle de la main droite pour F). La force
de Laplace donne la force exercée par un champ
magnétique sur un conducteur parcouru par un
courant
Moment dipolaire magnétique mB On a mB N I A
n avec n, la normale à la spire et donc G mBL
B
Energie dorientation du dipôle UM - mB B.
68
Théorème dAmpère

• Ampère a énoncé son théorème peu après les
  expériences d'Oersted.
• a. Forme générale
• Si on considère un contour fermé quelconque, on
  peut définir la circulation de B sur ce contour
  dC B dl.
• Le théorème d'Ampère consiste à sommer les dC et
  d'égaler à µ0 I, où I est le courant net entouré
  par le contour fermé.

Exemple Pour le fil, B est constant pour un
cercle donné de rayon R B 2pR µ0 I et B µ0
I/2pR
I
Rem. Il faut procéder à la somme algébrique des
courants Ii, qui équivaut au courant net I, et
on a donc
CA
B
dl
69
Théorème dAmpère

• b. Forme locale

On a
et donc
Par le théorème de la circulation, on a
et donc
dont on déduit

70
Loi de Biot et Savart

• Le champ magnétique en un point M distant de r
  dune distribution de courant j ou dun courant I

Le champ magnétique en P est obtenu en intégrant
sur tous les éléments de courant
Rem. Par rapport au théorème d'Ampère, I dl ne
dépend que d'un seul élément de courant !
71
Aimantation de la matière

• Le fer et quelques autres éléments entrent dans
  la composition d'aimants puissants. Au
  microscope, on constate l'existence de petits
  domaines de la taille du millimètre, qui se
  comportent comme des microaimants. On les met en
  évidence en polissant un échantillon de fer puis
  en le saupoudrant de fine limaille. Dans un
  morceau de fer non aimanté, les microaimants sont
  orientés au hasard et le magnétisme macroscopique
  est nul. Dans le cas d'un aimant, les
  microaimants ont tendance à s'aligner dans la
  même direction.
• Ainsi, on peut aimanter un morceau de fer en le
  plongeant dans un champ magnétique intense et
  uniforme, afin d'orienter préférentiellement ses
  microaimants.
• On peut désaimanter un aimant en cassant
  l'alignement des microaimants. Ceci peut être
  réalisé en le frappant contre une surface dure,
  ce qui a pour effet d'augmenter l'agitation
  thermique des atomes et donc de désaligner les
  microaimants.Une variation de température
  provoque le même effet. Ainsi au-delà d'une
  température critique, la température de Curie TC,
  il est impossible de fabriquer un aimant (TCFe
  1 043 K, TCCo 1403 K, TCNi 630 K, TCGd 290
  K). Au dessus de TC, les matériaux ne sont plus
  ferromagnétiques, ils sont paramagnétiques ou
  diamagnétiques.

72
Magnétisme dans la matière

• On considère un solénoïde parcouru par un courant
  Iet renfermant un matériau différent de lair
• Linduction magnétique B vient de B0, due au
  courant I de la bobine et à BM, champ induit par
  le matériau
• B B0 BM
• On définit la perméabilité magnétique relative µr
  B/B0
• Ferromagnétiques µr gtgtgt 1
• Paramagnétiques µr 1
• Diamagnétiques µr lt 1

La perméabilité magnétique de la substance qui
vaut µ µ0 µr.
73
Généralisation Thm Ampère

• Si on considère une bobine de spires qui renferme
  une substance quelconque, le champ total est
  donné par
• B B0 BM et donc B0 B - BM

Substance quelconque
I
IM est le courant "qui parcourt les atomes de la
substance de perméabilité µr" et est appelé
courant magnétisant
74
Intensité daimantationMagnétisation

• En théorie, la différence entre paramagnétisme et
  diamagnétisme s'explique par la présence, ou
  l'absence, d'un moment magnétique permanent.
  Ainsi lorsqu'on applique un champ magnétique, les
  dipôles magnétiques s'alignent et le renforcent.
  Cependant l'agitation thermique des molécules
  diminue cet alignement.

Le vecteur d'intensité d'aimantation est défini
comme le moment dipolaire magnétique par unité
de volume
M mB / V
Expérimentalement, M est proportionnel au champ
magnétique extérieur et inversement proportionnel
à la température de Curie TC. Au dessus de TC,
les substances sont généralement paramagnétiques,
tandis que le diamagnétisme est propre à la
matière en général. Pour les substances
diamagnétiques, il y a induction d'un moment
dipolaire, mais orienté à l'opposé du champ
inducteur. Ainsi l'intensité résultante du champ
total est légèrement inférieure à celle du champ
externe. On a BM µ0 M
75
Excitation magnétiqueChamp magnétique
H B0 / µ0 et on a donc B µ0 (H M)
Susceptibilité magnétique cm
cm M / H (magnétisation/excitation) et donc
cm µr - 1
B m0 (1 cm) H et on déduit µ (1 cm) m0
76
Thm Ampère écriture simplifiée
Résumé
77
Champs permanents
FLUX
CIRCULATION
Champ électrique
Champ magnétique
78
Flux du champ magnétique
Le tube dT a une section constante et B a même
norme en tout point d'une ligne de champ le tube
transporte un flux constant. Si S est une surface
fermée, dT coupe S en un nombre pair d'éléments
dSi. Le flux qui est intercepté par les dSi est
la somme d'un nombre pair de termes de signes
alternés et de même module.
On a donc bien
79
Contenu physique des équations de Maxwell (Rég
perman)

• Équation de conservation du flux magnétique
• div B 0 (1) Le flux magnétique est
  conservatif
• Équation de Maxwell - Ampère de la
  magnétostatique
• rot B µ0 j (2) La circulation du champ
  magnétostatique n'est pas conservative en
  présence de courant
• Équation de Maxwell - Faraday
• rot E 0 (3) La circulation du champ
  électrique permanent est conservative
• Équation de Maxwell - Gauss
• div E r / e0 (4) Le flux du champ électrique
  n'est pas conservatif en présence de charges
• Rem. - le champ E diverge à partir de sa source
  r et le champ B tourbillonne autour de sa source
  j. - les lignes de E sont issues des charges
  positives et aboutissent aux charges M négatives
  (4) et ce ne sont pas des courbes fermées
  (3). - les lignes de B ne divergent pas à
  partir de points sources qui joueraient un rôle
  analogue de charge magnétique (1) et ce sont des
  courbes fermées qui tournent autour des courants
  qui sont la source du champ (2).

On constate ceci pour les deux systèmes
classiques de production d'un champ magnétique
que sont les bobines de Helmholtz et un
solénoïde. Les bobines de Helmholtz sont souvent
utilisées pour générer un champ magnétique
uniforme dans une région de l'espace
80
Potentiel - Vecteur

• Introduction
• L'introduction d'un champ vectoriel A, potentiel
  - vecteur, jouera pour le champ B, un rôle
  analogue à celui du champ scalaire V vis-à-vis du
  champ électrique E.
• Cette notion de potentiel - vecteur est essentiel
  pour l'étude des champs non permanents.
• L'introduction de A provient de la conservation
  du flux magnétique en toute situation
• div B 0.
• En effet, il existe dès lors au moins un champ
  vectoriel tel que, puisque div rot X 0
• B rot A.
• On constate ainsi que A s'exprime en T.m.

81
Flux magnétique en fonction de

• L'expression du flux magnétique à travers une
  surface S s'appuyant sur un contour C est donné
  par

Par Stokes, on obtient
ce qui montre bien le caractère conservatif car f
dépend de C et pas du choix de S.
Indétermination de
Le potentiel - vecteur A n'est pas univoque car
il est défini à un gradient de champ scalaire
près comme rot grad Z 0. Ainsi, si B rot A0
et que A A0 grad j, on a encore rot A B
Condition de jauge Afin de simplifier les
calculs ultérieurs, on peut imposer en plus que
div A 0. On peut démontrer qu'il est possible
de trouver un tel potentiel - vecteur qui doit
satisfaire aux deux relations combinées telles
que div A 0 div A0 div (grad j) Dj
div A0 0 ( équation de Poisson)
82
Eq Poisson de la magnétostatique

• Comme rot B µ0 j, on a rot rot A grad (div A)
  - D A, où D est le laplacien vectoriel. En tenant
  compte de la condition de jauge, on obtient
  l'équation de Poisson de la magnétostatique
  D A µ0 j 0

Expression générale du potentiel - vecteur
On peut déterminer le potentiel - vecteur A(M) et
le champ magnétostatique B(M) d'une distribution
de courant j(S) connue. De l'équation de Poisson
de la magnétostatique, chaque coordonnée Axi et
jxi doivent respecter D Axi µ0 jxi 0
dont la solution est du type
où r est la distance au point d'observation
83
Eq. Biot Savart locale
où rot est considéré au point M d'observation
(repère local)

• Sachant que B rot A, on a

et l'intégrale est évaluée dans le repère de la
source (indép. M)
Par les propriétés de l'opérateur rot (f X) f
rot X (grad f) L X. Et on a dès lors
où rot j 0 car j est indépendant du repère de M.
loi de Biot et Savart locale
grad(1/r) -r / r3
Distributions de courant superficielles ou
linéiqueson substitue i dS ou I dl à j dt. Pour
le fil, on retrouve bien
telle qu'énoncé par Laplace.
84
(No Transcript)
85
V. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE

• Dans les chapitres précédents, nous avons vu
  qu'un champ magnétique prend naissance lorsqu'un
  courant électrique permanent circule et qu'un
  champ magnétique exerce une force sur un courant
  électrique ou sur une charge en mouvement.
• En 1831, Faraday et Henry découvrirent que si le
  flux magnétique variait dans le temps, cela
  induisait une force électromotrice (f.e.m.) dans
  un circuit

• L'apparition d'une f.e.m. induite dépend d'un
  mouvement
• ou d'une variation de courant, que ce soit de la
  part de la bobine ou de l'aimant, et dans tous
  les cas, la f.e.m. e "s'oppose à la variation de
  flux qui lui a donné naissance"e - ?f / ?t.

86
A. Neumann et Lorentz

• Deux cas sont identifiés comme suit
• Cas de Neumann conducteur immobile dans un
  champ magnétique variable.
• Cas de Lorentz conducteur mobile dans un champ
  magnétique permanent.

Expérimentalement, on a
où le passage de la dérivée sous l'intégrale est
permis si la boucle et sa surface ne se déforment
pas au cours du temps.
Comme e est une f.e.m., on a
On constate que dans le cas des champs variables,
la circulation du champ électrique n'est plus
conservée, contrairement au cas des champs
permanents discuté précédemment. L'équation de
Maxwell - Faraday ainsi réécrite montre la
dépendance qui lie le champ électrique et le
champ magnétique dans le cas général d'un champ
électromagnétique variable.
87
B. Transformation de la loi d'Ohm Changement de
référentiel galiléen

• Comme on peut passer du cas de Neumann au cas de
  Lorentz par un simple changement de référentiel,
  il est intéressant de montrer comment se
  transforme la loi d'Ohm.
• Soit un conducteur métallique de conductivité sc
  qui se déplace en M.R.U. à vitesse vR dans le
  référentiel du laboratoire R et soit R' le
  référentiel du conducteur.
• Dans R', la loi d'Ohm devient j' sc E' (pour
  un conducteur isotrope),où j' est la densité de
  courant en un point du conducteur à l'instant t'.
• On veut savoir ce que devient la loi d'Ohm dans
  le référentiel R, il faut donc calculer
  l'expression de j en fonction de sc, E, B, et vR.

On peut montrer que pour des cas non -
relativistes, on a
r r invariance de la charge volumique vi
vi ' vR j j' r' vR j' puisque r'
0 E' E vR L B B' B - 1/c2 vR L B et on
trouve j j' sc E' sc E (M, t) vR L B
(M, t)
On peut généraliser au cas d'un conducteur en
mouvement quelconque et susceptible de se déformer
j (M, t) sc E (M, t) v (M, t) L B(M, t)
88
C. Régimes non permanentsE (M, t) et B(M, t)

• Si on considère l'équation de Maxwell - Ampère,
  où rot B µ0 j, et que l'on prend la
  divergence, on a encore div j 0 ce qui, à
  présent, est en contradiction avec l'équation de
  continuité de la charge pour les régimes non
  permanents où ?r / ?t ? 0.
• Pour y remédier, Maxwell introduisit un terme
  supplémentaire àrot B µ0 j et il
  écrivit rot B µ0 (j jD) où jD est
  appelé densité de courant de déplacement.Cette
  expression est toutefois un peu ambiguë car jD ne
  représente ni un courant ni un déplacement de
  quoi que ce soit.
• Son sens physique permet d'expliquer qu'un champ
  électrique dépendant du temps est, au même titre
  qu'un courant, une source de champ magnétique. Ce
  terme est analogue au terme - ?B / ?t dans
  l'équation de Maxwell - Faraday

89
1.Théorème d'Ampère

• Si on prend div rot B 0 div µ0 (j jD)
• on a µ0 div j µ0 div jD 0.
• La continuité de la charge donne - (?r / ?t)
  div jD .
• Si on tient compte de l'équation de Maxwell
  Gauss
• div E r / e0, où on dérive chaque membre
  par rapport au temps e0 div (?E / ?t) ?r
  / ?t.Et jD doit vérifier div jD - e0 (?E /
  ?t) 0,
• dont la solution particulière la plus simple
  choisie par Maxwell donne

jD e0 (?E / ?t)
90
Théorème d'Ampère RNP

• Dès lors, on a rot B µ0 (j jD) µ0 j m0
  e0 (?E / ?t),
• et le théorème d'Ampère se généralise aux
  régimes non permanents par

et en remplaçant jD par sa valeur
91
Résumé
Electricité
Magnétisme
92
2. Équation de Maxwell - Faraday

• Il existe donc, en régime non permanent, un
  couplage entre E (M, t) et B (M, t). Comme nous
  l'avons vu, on ne peut plus écrire rot E 0 car
  le champ électrique dépend du temps et est relié
  à la variation temporelle du champ magnétique
  par

rot E - ?B/ ?t.
Dès lors, on peut également généraliser
l'expression de E (M, t) en tenant compte du fait
que B dérive d'un potentiel - vecteur A et écrire
93
D. Tension induite aux bornes d'un circuit
filiforme

• Soit dl un élément de circuit, en un point M, qui
  se déplace dans le référentiel R où il règne un
  champ électromagnétique (E, B).
• La densité de courant observée en M à l'instant t
  est j sc E v L B
• et on a E - grad V - ?A / ?t et B rot A.
• En remplaçant E, on obtient j sc - grad V -
  ?A / ?t v L B.
• En calculant la circulation de la densité de
  courant le long d'une partie de circuit AB on a

94
1. Expression générale

• On définit le champ électromoteur Em (M, t) par

La force électromotrice induite, eAB, est définie
à chaque instant par la circulation de Em sur AB
On obtient dès lors
ou encore
pour tout t.
95
2. Approximation des régimes quasi permanents
(A.R.Q.P.)

• Dans ce cas, div j 0 (j est à flux
  conservatif), et i, le courant, est indépendant
  du point M d'observation (i j S). Donc,

Et, sachant que la résistivité r 1/sc, on a
Ceci est l'expression de la loi de Pouillet et
donne la résistance RAB d'une portion de circuit
AB.
Dès lors, en A.R.Q.P. V(A) - V(B) RAB i eAB
96
E. Calcul de la f.e.m. d'induction

• 1. Cas de Neumann Conducteur immobile dans un
  champ magnétique variable v 0 et ?A / ?t ?
  0.

Il faut connaître le potentiel - vecteur A (M, t)
(Choix simplifié A.R.Q.P.).
Pour tout le circuit, on a
où on peut permuter intégrale et dérivée car
l'intégrale est indépendante du temps (circuit
fixe). Comme rot A B, on a
où f(t) est le flux magnétique
L'expression de la force électromotrice dans le
cas de Neumann devient
eAB -?f(t) / ?t
qui est la formule de Faraday où eAB s'exprime en
V et f en Wb.
97
E. Calcul de la f.e.m. d'induction

• 2. Cas de Lorentz
• Conducteur mobile dans un champ magnétique
  permanent v ? 0 et ?A / ?t 0.

Pour tout le circuit, on a
Comme entre t et t dt, le circuit se déplace de
dr avec v dr / dt, on peut écrire que
Si on définit le flux coupé de d2jc sur A-B
sachant que d2jc df pour un champ magnétique
permanent
eAB -?f(t) / ?t
98
(No Transcript)
99
Flux coupé par le conducteur
100
(No Transcript)
101
Exemple 1 Electro Aimant
102
(No Transcript)
103

• Cet exemple montre la différence importante entre
  les champs électriques attribuables aux champs
  magnétiques variables et ceux générés par des
  charges électriques au repos (électrostatique).
• Dans le cas électrostatique, les lignes du champ
  électrique partent des charges ou y aboutissent.
  Par contre, sous l'effet d'un champ magnétique
  variable, elles sont continues et forment des
  boucles fermées.
• Cas électrostatique et donc rot E 0 La
  force électrostatique est conservative Travail
  indépendant du parcours entre deux points.
• Induction magnétique et donc rot E -?B/?t ?
  0 Les force attribuables à des champs
  magnétiques variables ne sont pas conservatives.
  Les champs électriques produits sont non
  conservatifs et tourbillonnent.

104
Exemple 2 Condensateur
105
Exemple 2 Condensateur

• Dans le condensateur, j 0, le courant de
  conduction est nul, et on peut aussi assimiler le
  champ B a une constante. L'expression se réduit à

On a ainsi B 2p r µ0 e0 p r2 ?E/?t et donc
pour r R.
De la même manière que précédemment, on peut
calculer la valeur de B à l'extérieur du
condensateur. On peut calculer la valeur de B
pour r R 10 cm et ?E/?t 1010 V/(m s) et on
a B 5.56.10-9 T.
Cet exemple montre que le théorème d'Ampère
généralisé permet de prévoir des champs
magnétiques extrêmement faibles. Cette faible
contribution est essentiellement due au produit
m0e0, dont l'intérêt majeur se révèle lors de
l'étude de la propagation des ondes
électromagnétiques.
106
F. Inductance

• On se place en A.R.Q.P., la loi de Biot et Savart
  reste applicable et le théorème d'Ampère non
  généralisé aux courants de déplacement aussi.
• 1. Inductance propre - Auto-inductance
• a. Champ propre - Flux propre
• Le champ magnétique propre d'un circuit est le
  champ dont le circuit est la source.Le flux
  propre est le flux du champ propre, donc le flux
  envoyé par le circuit à travers lui-même.
• b. UnitéSi on considère un circuit C orienté par
  le courant i(t) qui le parcourt et soit S une
  surface qui s'appuie sur C dS est orienté
  suivant le tire - bouchon (cas classique).
• Si B est le champ propre de C, on a

107
En calculant B par Biot et Savart
B est proportionnel à i et donc f aussi f L
i.La constante de proportionnalité est
l'inductance propre ou auto-inductance, elle
s'exprime en Henry H V s / A ? s. c.
Expression Comme f L i, on a L f / i et donc
avec
restreint à
pour un circuit filiforme.
108
Relation Flux B Circulation A
Circulation de A
Flux de B
109
2. Inductance mutuelle de deux circuits
filiformes parcourus par des courants

• Soient S1 et S2 les surfaces orientées qui
  s'appuient sur C1 et C2, B1 et B2, les champs
  créés par I1 et I2 , A1 et A2 les potentiels -
  vecteurs respectifs, On a

, flux magnétique envoyé par C2 à C1
, flux magnétique envoyé par C1 à C2
, les flux propres
et
f1 f11 f12 est le flux total de C1 f2
f21 f22 est le flux total de C2
110
Inductance mutuelle
où r12 est la distance entre M1 (de C1) et M2 (de
C2).
On a
et
On pose f12 M12 i2 et on trouve l'expression
Relation de Neumann (idem en intervertissant les
circuits)
L'inductance mutuelle ne dépend que de la forme
des circuits et de leur disposition relative dans
l'espace. Son signe dépend de l'orientation des
circuits (dli) qui devra toujours être précisée.
L'auto-induction, quant à elle, est toujours
positive.
111
Flux magnétique total

• Comme on a défini l'induction mutuelle, on peut
  exprimer le flux total par la relation

f1 L1 i1 M i2f2 M i1 L2 i2
Et sous sa forme matricielle par
112
3. Énergie magnétique

• a. Champs permanents E et B découplés
• Si on a une distribution de courants D de densité
  j (M),la densité d'énergie magnétique vaut dEB
  B2 / 2 µ0.
• Si A est le potentiel - vecteur, et comme
• div (A L B) B . rot A - A . rot B et que
  rot A B, on a div (A L B) B2 - A . rot B.
• Comme rot B µ0 j, et que div (A L B) gt 7 quand
  r gt 7.
• On a

• b. Système de deux circuits filiformes

113
G. Propagation du champ électromagnétique

• La propagation est une conséquence du couplage
  déjà mentionné entre les champs E et B (cas non
  permanent).Si on crée une variation de champ
  électrique dans le temps,?E / ?t, en une région
  de l'espace, le terme e0 ?E / ?t crée dans le
  voisinage de cette région un champ magnétique
  variable.
• Ce champ magnétique variable crée à nouveau un
  champ électrique (Maxwell - Faraday) par rot E
  - ?B /?t,et ce champ électrique variable
  engendre à son tour un champ magnétique ...
• Ainsi une perturbation du champ électromagnétique
  peut se propager de proche en proche.

114
Equations de propagation

• a. Champ électrique
• On prend le rotationnel de l'équation de
  MaxwellFaraday (rot E - ?B /?t) et on
  a rot rot E - ? (rot B) /?t grad div E - D E
  
• En tenant compte de Maxwell - Gauss (div E r /
  e0) et de Maxwell - Ampère ( rot B µ0 (j e0
  ?E / ?t) ), on trouve

• D E - µ0 e0 ?2E / ?t2 1/e0 grad r µ0 ?j /
  ?t

115
Equations de propagation

• a. Champ magnétique
• On prend le rotationnel de l'équation de
  MaxwellAmpère (rot B µ0 j µ0 e0 (?E / ?t))
  On a rot rot B µ0 rot j µ0 e0 rot (?E /
  ?t) grad div B - D B En tenant compte de
  Maxwell - Faraday (rot E - ?B/ ?t)et de la
  conservation du flux , (div B 0)on trouve

• D B - µ0 e0 ?2B / ?t2 - µ0 rot j

116
Equations de Maxwell
Maxwell remarqua que ces équations sont
similaires à celle de la propagation d'une onde
progressive f (t-x/v) par exemple f A cos (x -
vt), en posant
117
Solutions
118
Equations de Maxwell
Le champ électromagnétique se propage avec une
célérité v c 3.108 m/s dans le
vide. Cette analogie avec une onde permit
d'ailleurs d'affirmer la nature électromagnétique
de la lumière. La lumière est une onde
transversale ... Si l'onde électromagnétique est
polarisée de telle façon que Ey soit la seule
composante de E, il n'existe également qu'une
seule polarisation de B, qui est
Bz. Mais attention Bz Ey / c. Par contre, Bz et
Ey sont en phase. Les ondes électromagnétiques
engendrées par des moyens électriques furent
obtenues par Hertz en 1887,... soit plus de
vingt ans après que leur existence ait été prévue
par Maxwell ...
119
Energie portée
Vecteur de Poynting
y
E
S
x
B
(Représentation hors échelle)
z
120
Sachant que
Maxwell dit
et pas la peine d'en rajouter...
121
Ouvrages de références

• Electromagnétisme, vol. 1 et 2, H. Gié, J. - P.
  Sarmant, Collection des Sciences Physiques,
  Technique et Documentation - Lavoisier (4ème
  tirage), Paris, France (1993).
• Electricité et Magnétisme, Physique 2, R.
  Resnick, D. Hallyday, Ed. du Renouveau
  Pédagogique Inc., Montréal, Québec, Canada
  (1979).
• Physique Générale 2, Electricité et Magnétisme,
  D. C. Giancoli, De Boeck Université, Bruxelles,
  Belgique (1993).
• Physics Foundations and Applications, R. M.
  Eisberg, L. S. Lerner, International Student
  Edition, Mc Graw Hill Ed., Kogagusha, Japan
  (1981).