Programmation logique

1
Programmation logique

• Lakhdar Saïs
• CRIL, Université d Artois
• sais_at_cril.univ-artois.fr
• http//www.cril.univ-artois.fr/sais
• Maîtrise d informatique
• 2002/2003

2
Rappel de logique pour prolog

• Logique des propositions
• Logique des prédicats
• Unification

3
Logique des propositions

• Syntaxe
• On définit
• Les propositions a, b, c,
• Les constantes V et F
• Les connecteurs
• ? (conjonction)
• ? (disjonction)
• ? (négation)
• ? (implication)
• ? (équivalence)

4
Construction dune formule

• Une proposition est une formule
• Si a et b sont des formules, alors
• ?a, a ?b, a ? b, a?b et a ? b sont des formules

5
Logique des propositions

• Sémantique
• Les formules sont interprétées dans V,F
• On définit linterprétation associée à chaque
  connecteur grâce aux tables de vérité

6
Tables de vérité desconnecteurs
7
Propriétés des formules

• Une formule est valide si elle est toujours vraie
  (quelque soit linterprétation)
• Une formule est consistante sil existe une
  interprétation dans laquelle elle est vraie. Elle
  est inconsistante dans le cas contraire
• Problème étant donnée une formule, est-elle
  valide ? consistante ?
• Exemple que dire de la formule
• (a ? b) ?(?b ? ?a)

8
Règles de transformation (1)

• a??a (loi du tiers exclu)
• ((a?b) ? a) ? b (modus ponens)
• ((a ? b) ? ?b) ? ?a (modus tollens)
• (a ?b) ? (?b ? ?a) (contraposition)
• ??a ? a (double négation)
• a ? b??a ? b
• a ? b ? (a ? b) ? (b ? a)
• a?a ? a?a ? a (idempotence)

9
Règles de transformation (2)

• Lois de Morgan
• ?(a?b) ? ?a ? ?b
• ?(a?b) ? ?a ? ?b
• Commutativité et associativité de ? et ?
• Distributivité de ? par rapport à ? et de ? par
  rapport à ?

10
Une énigme policière

• Un meurtre a été commis au laboratoire, le corps
  se trouve dans la salle de conférences
• On dispose des informations suivantes
• La secrétaire déclare quelle a vu lingénieur
  dans le couloir qui donne sur la salle de
  conférences
• Le coup de feu a été tiré dans la salle de
  conférences, on la donc entendu de toutes les
  pièces voisines
• Lingénieur affirme navoir rien entendu
• On souhaite démontrer que si la secrétaire dit
  vrai, alors lingénieur ment

11
Formalisation en calcul des propositions

• p la secrétaire dit vrai
• q lingénieur était dans le couloir au moment
  du crime
• r lingénieur était dans une pièce voisine de
  la salle de conférences
• s lingénieur a entendu le coup de feu
• t lingénieur dit vrai

12
Résolution de lénigme

• Les informations de lénoncé se traduisent par
  les implications
• p?q, q ? r, r ? s, t ? ?s
• Il sagit de prouver la validité de la formule
• (p ? q ? q ? r ? r ? s ? t ? ?s) ? (p ? ?t)

13
Démonstration

• (p ? q ? q ? r ? r ? s ? t ? ?s) ? (p ? ?t)
• La formule ne peut être fausse que si
• (p ? ?t) est faux, soit p et t vrais
• la prémisse est vraie, soit toutes les
  implications vraies
• Comme t doit être vrai, s doit être faux, donc r
  faux, donc q faux, donc p faux, et il y a
  contradiction

14
Logique des prédicats

• Syntaxe
• On définit
• Les constantes V et F
• Les connecteurs ?, ?, ?, ?
• Les variables x, y, z,
• Les fonctions f, g, h,
• Les prédicats p, q, r, dont ceux darité 0
  a, b, c,
• Les quantificateurs ",

15
Définitions

• Terme
• Une variable est un terme
• Une constante est un terme
• Si t1, t2, , tn sont des termes, alors
  f(t1,t2,,tn) est un terme
• Atome
• Si t1, t2, , tn sont des termes, alors
  p(t1,t2,,tn) est un atome
  humain(socrate)

X tom mere(tom)
16
Construction dune formule

• V, F sont des formules
• Un atome est une formule
• Si F1 et F2 sont les formules, alors ?F1, F1?F2,
  F1?F2, F1? F2 sont des formules
• Si F est une formule, ? x F et ?x F sont des
  formules
• Remarque la logique des propositions est un cas
  particulier de la logique des prédicats

humain(socrate)
? X. humain(X) ? mortel(X)
17
Exemples de formules valides

• "x?A ? ? x A
• "x A ? ? x ? A

18
Définitions

• Littéral
• Un atome est un littéral (positif)
• La négation dun atome est un littéral (négatif)
• Une clause est une formule qui a la forme dune
  disjonction de littéraux
• Une clause concrète est une clause sans variable
• Une clause de Horn est une clause comportant au
  plus un littéral positif
• On peut toujours transformer une formule en un
  ensemble de clauses

19
Principe de résolution

• Cest une règle dinférence qui sapplique aux
  clauses
• Principe sur des clauses concrètes
• G G1? G2 ? ? Gn
• H ?G1 ? H2 ? ? Hm
• K G2 ? ? Gn ? H2 ? ? Hm
• K est le résolvant de G et H
• G1 et ?G1 sont des littéraux complémentaires

20
Cas particuliers

• P et ?P ? Q se résolvent en Q (modus ponens)
• ?G ? H et ?H ? K se résolvent en ?G ? K
  (enchaînement)
• ?Q et ? P ? Q se résolvent en ?P (modus tollens)

21
Utilisation

• Le principe de résolution est une règle
  dinférence saine, i.e. tout résolvant est une
  conséquence logique des deux clauses parentes
• Pour appliquer le principe de résolution à des
  clauses non concrètes, on définit lunification,
  afin de rechercher des littéraux complémentaires

22
Unification

• Deux termes t1 et t2 sont unifiables sil existe
  une substitution s des variables de t1 et t2
  telle que s(t1) s(t2)
• Exemples
• pere(X,jean) sunifie avec pere(Y,Z) si XY et
  jeanZ
• pere(jean,mere(X)) sunifie avec
  pere(Y,mere(pierre) si jeanY et Xpierre

23
Exemple 1

• Les barbiers rasent tous ceux qui ne se rasent
  pas eux-mêmes
• Aucun barbier ne rase quelquun qui se rase
  lui-même
• Le barbier se rase-t-il lui même ?
• Montrons que si les deux premières assertions
  sont vraies, alors il ne peut y avoir de barbier

24
Formalisation

• barbier(X) ? ?rase(Y,Y) ? rase(X,Y)
• i.e. ? barbier(X)? rase(Y,Y) ? rase(X,Y)(1)
• barbier(X) ? rase(Y,Y) ? ?rase(X,Y)
• i.e. ? barbier(X) ? ? rase(Y,Y) ? ? rase(X,Y)(2)
• barbier(b) (3)
• On veux montrer (1) ?(2) ? ?(3),
• i.e. réfuter (1) ?(2) ?(3)

25
Résolution

• (3) et (1) se résolvent en (4)
• rase(Y,Y) ? rase(b,Y), i.e. rase(b,b)
• (3) et (2) se résolvent en (5)
• ? rase(Y,Y) ? ? rase(b,Y), i.e. ? rase(b,b)
• (4) et (5) se résolvent en la clause vide

26
Résolution Unification Exemple 2
1. sélectionner un littéral
1.) ?X prendre_parapluie(X) ? ?pleut(X) 2.)
pleut(paris) 1.) prendre_parapluie(paris) ?
?pleut(paris) 2.) pleut(paris) 12)
prendre_parapluie(paris)
2. Renommage non nécessaire
3. Pgu ? X / paris
4. appliquer ?
5. résolution
27
Résolution prolog
question
1) connaît_logique(X) ? bon_etudiant(X) ?
enseignant(Y,X) ? logicien(Y) 2)
bon_etudiant(david) 3) logicien(michel) 4)
enseignant (michel,david)

• ? connaît_logique(Z)
• ? bon_etudiant(X) ? enseigant(Y,X) ?
  logicien(Y)
• ? enseignant(Y,david) ? logician(Y)
• ? logicien(michel)
• ?

Z/X
X/david
Réponse Z/david ? connaît_logique(david)
Y/michel

28
Backtracking

• ? connait_logique(Z)
• ? bon_etudiant(X) ? enseignant(Y,X) ?
  logicien(Y)
• ? enseignant(Y,cécile) ? logicien(Y)
• ? enseignant(Y,david) ? logicien(Y)
• ? logicien(michel)
• ?

1) connait_logic(X) ? bon_etudiant(X) ?
enseignant(Y,X) ? logicien(Y) 2)
bon_etudiant(cécile) 3) bon_etudiant(david) 4)
logicien(michel) 5) enseigant(michel,david)
?
Retour arrière !
Pour essayer une autre clause
29
Suite à vos cahiers

• Description de la résolution prolog
• un premier programme prolog