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On va justifier la distribution F du test global dans la table d'ANOVA. ... Le Th or me de Cochran affirme que sont mutuellement ind pendantes, ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: R


1
Régression linéaire (STT-2400)
  • Section 3
  • Distributions des formes quadratiques
  • Version 12 février 2007

2
Introduction
  • Lobjectif de cette section est de cerner les
    distributions de probabilité de quantités telle
  • De plus, on sera en mesure détablir les
    distributions statistiques des différentes sommes
    de carrés dans la table dANOVA.
  • On va justifier la distribution F du test global
    dans la table dANOVA.

3
Remarque hypothèse de normalité
  • Afin dobtenir les distributions exactes on doit
    présumer
  • Pour un vecteur aléatoire on considère sa norme
  • La loi de la norme est telle que
  • Cest un exemple de distribution khi-carrée
    centrée

4
Distribution des estimateurs des moindres carrés
  • Considérons
  • On a vu que lestimateur des moindres carrés est

5
Régions de confiance
  • Puisque la matrice XX est symétrique, inversible
    et par conséquent définie positive, on peut
    écrire
  • On rappelle que contient les valeurs
    propres de la matrice XX.

6
  • On rappelle
  • Ainsi
  • Ceci implique que

7
Région de confiance quand la variance est connue
  • Considérons lensemble suivant
  • Lensemble précédent est appelé une région de
    confiance de niveau de confiance 1 a.
  • En général il est difficile de représenter les
    régions de confiance graphiquement.
  • Les régions de confiance sont des ellipsoïdes.

8
Définition distribution chi-carrée décentrée
  • Définition Soit un vecteur aléatoire
    où le vecteur constant
  • La loi de est une
    chi-carrée à n degrés de liberté et paramètre de
    décentralité
  • On note

9
Définition distribution F de Fisher décentrée
  • Définition Considérons U et V deux variables
    aléatoires indépendantes
  • La loi de la variable aléatoire
    est dite une loi de Fisher
    décentrée de degrés de liberté (m,n) et paramètre
    de décentralité l.
  • On note

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Propriété 3.10
  • Soit . Soit A une
    matrice symétrique. Considérons la forme
    quadratique
  • Alors nous avons le résultat suivant
  • Dans un tel cas .

11
Propriété 3.11 Indépendance entre deux formes
quadratiques
  • Soit . Soient A1 et A2
    deux matrices symétriques. Considérons les deux
    formes quadratiques suivantes
  • On a alors le résultat suivant

12
Propriété 3.12 Théorème de Cochran
  • Soit . Considérons
    les p formes quadratiques suivantes
  • Le Théorème de Cochran affirme que
    sont mutuellement indépendantes,
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