R

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Régression linéaire (STT-2400)

• Section 3
• Distributions des formes quadratiques
• Version 12 février 2007

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Introduction

• Lobjectif de cette section est de cerner les
  distributions de probabilité de quantités telle
• De plus, on sera en mesure détablir les
  distributions statistiques des différentes sommes
  de carrés dans la table dANOVA.
• On va justifier la distribution F du test global
  dans la table dANOVA.

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Remarque hypothèse de normalité

• Afin dobtenir les distributions exactes on doit
  présumer
• Pour un vecteur aléatoire on considère sa norme
• La loi de la norme est telle que
• Cest un exemple de distribution khi-carrée
  centrée

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Distribution des estimateurs des moindres carrés

• Considérons
• On a vu que lestimateur des moindres carrés est

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Régions de confiance

• Puisque la matrice XX est symétrique, inversible
  et par conséquent définie positive, on peut
  écrire
• On rappelle que contient les valeurs
  propres de la matrice XX.

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• On rappelle
• Ainsi
• Ceci implique que

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Région de confiance quand la variance est connue

• Considérons lensemble suivant
• Lensemble précédent est appelé une région de
  confiance de niveau de confiance 1 a.
• En général il est difficile de représenter les
  régions de confiance graphiquement.
• Les régions de confiance sont des ellipsoïdes.

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Définition distribution chi-carrée décentrée

• Définition Soit un vecteur aléatoire
  où le vecteur constant
• La loi de est une
  chi-carrée à n degrés de liberté et paramètre de
  décentralité
• On note

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Définition distribution F de Fisher décentrée

• Définition Considérons U et V deux variables
  aléatoires indépendantes
• La loi de la variable aléatoire
  est dite une loi de Fisher
  décentrée de degrés de liberté (m,n) et paramètre
  de décentralité l.
• On note

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Propriété 3.10

• Soit . Soit A une
  matrice symétrique. Considérons la forme
  quadratique
• Alors nous avons le résultat suivant
• Dans un tel cas .

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Propriété 3.11 Indépendance entre deux formes
quadratiques

• Soit . Soient A1 et A2
  deux matrices symétriques. Considérons les deux
  formes quadratiques suivantes
• On a alors le résultat suivant

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Propriété 3.12 Théorème de Cochran

• Soit . Considérons
  les p formes quadratiques suivantes
  où
• Le Théorème de Cochran affirme que
  sont mutuellement indépendantes,