LES PROBABILITS en classe de 3me

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LES PROBABILITÉSen classe de 3ème 
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• Introduction
• Pourquoi laléatoire au collège ?
• Les probabilités deux visions
• Textes officiels
• Expériences aléatoires
• Notions élémentaires de probabilité
• Des exemples dactivités
• Conclusion

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Introduction

• Des représentations du hasard chez des élèves de
  CM2

• Choses imprévisibles qui viennent de
  lextérieur
• On produit du hasard en répondant au pif
•  Choses relatives aux coïncidences 
• Chose où on peut avoir de la chance ou de la
  malchance
• Le hasard nexiste pas

• La réalisation d expériences va permettre de
  corriger les représentations erronées

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• Etymologie

• Hasard vient de larabe az-zahr qui signifie
  jet de dé
• Aléa vient du latin alea qui signifie coup de dé
• Chance vient du latin cadere qui signifie choir,
  tomber

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Pourquoi laléatoire au collège ?

• Pour permettre au citoyen daborder
  lincertitude et le hasard dans une perspective
  rationnelle

• Familiariser plus tôt les élèves avec cette
  branche des mathématiques qui diffère
  fondamentalement des autres.
• Une clé essentielle pour lanalyse et la
  compréhension des phénomènes incertains.

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• Un enjeu de citoyenneté
• - être capable de distinguer le hasard
  calculable du hasard de la contingence
  fortuite.
• - être capable davoir un esprit critique face à
  certaines affirmations des médias.

• Nos voisins européens ont commencé depuis
  longtemps
• à enseigner laléatoire, parfois depuis
  lécole primaire.

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Deux approches différentes

• Une approche sur des considérations de symétrie
   la géométrie du hasard 
• Une approche  fréquentiste 

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La géométrie du hasard
Probabilité dune issue obtenue par des
considérations de symétrie ou de comparaison.
Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats
possibles a une chance sur 2 de se produire. Ils
ont la même probabilité 1/2
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La proportion de boules jaunes dans lurne est
2/5.
On a 2 chances sur 5 dobtenir une boule jaune.
La probabilité dobtenir une boule jaune est 2/5.
La probabilité est le rapport du nombre dissues
favorables au nombre dissues possibles
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Une approche  fréquentiste 

• Exemple du lancer de punaise

• On ne peut approcher la probabilité de  Tête 
  ou celle de  Côté  que par lexpérimentation.

• La fréquence de chacune des issues  Tête  ou
   Côté  tend à se stabiliser pour un grand
  nombre de lancers.

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La loi des grands nombres

• On considère une expérience aléatoire dans
  laquelle le hasard intervient pour déterminer une
  issue.
• Soit A un événement, résultat possible de cette
  expérience, constitué par certaines issues. Par
  exemple  obtenir un nombre pair en jetant un dé.
  
• On répète cette expérience un nombre n de fois
  et on calcule la fréquence Fn des réalisations de
  A

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La loi des grands nombres

• La loi des grands nombres affirme que 
• quand n est très grand, il y a de très
  grandes chances que la fréquence Fn soit proche
  de la probabilité p que A soit réalisé à l'issue
  de l'expérience.

Plus n est grand, plus on a de chances que
l'écart entre Fn et p soit plus petit que
n'importe quel nombre positif donné.
Par exemple, avec n gt 1000, il y a plus
de 95 chances sur 100 que la différence Fn
p soit inférieure à 0,03.
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Programmes actuels au lycée

• ? En classe de seconde
• Une vision fréquentiste qui a pour volonté de
  faire découvrir les  fluctuations
  déchantillonnage  par la pratique de la
  simulation dexpériences pas de formalisation
  de la notion de probabilité.
• ? En classe de première et Terminale
• Les simulations faites en classe de seconde
  amènent la construction de modèles mathématiques
  les probabilités
• La loi des grands nombres introduite comme
  théorème mathématique justifie alors lemploi des
  simulations.
• Étude de lois de probabilités

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Le programme de troisième
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Connaissances
Capacités
1.4. Notion de probabilité   Thèmes
de convergence
- Comprendre et utiliser des notions élémentaires
de probabilité. - Calculer des probabilités
dans des contextes familiers.
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Version rentrée 2008
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Version rentrée 2009
Commentaires
La notion de probabilité est abordée à partir
dexpérimentations qui permettent dobserver les
fréquences des issues dans des situations
familières (pièces de monnaie, dés, roues de
loteries, urnes, etc.). La notion de probabilité
est utilisée pour modéliser des situations
simples de la vie courante. Les situations
étudiées concernent les expériences aléatoires à
une ou à deux épreuves.
Hors socle
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Expériences aléatoires

• Une expérience aléatoire est un processus
  expérimental
• - décrit par un protocole
• - qui peut être répété dans les mêmes
  conditions
• - dont on peut déterminer à lavance la liste
  des issues
• - dont on ne peut pas prévoir lissue à
  lavance.

Événements

• Un événement est lensemble des issues qui le
  réalisent

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Expériences aléatoires limportance du protocole

• Exercice le problème des trois bancs (M Henry)
• Dans un square il y a trois bancs à deux places.
  A et B vont sasseoir au hasard. Quelles chances
  ont-ils de se retrouver sur le même banc ?

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Expériences aléatoires limportance du protocole

• Exercice le problème des trois bancs (M Henry)
• Dans un square il y a trois bancs à deux places.
  A et B vont sasseoir au hasard. Quelles chances
  ont-ils de se retrouver sur le même banc ?

On a le choix de (au moins) deux protocoles
A va sasseoir sur un banc, (peu importe le mode
de choix)
P1 B choisit  au hasard  un banc parmi les
trois lévénement est réalisé si B choisit le
banc où est installé A et la probabilité est 1/3
P2 B choisit  au hasard  une des cinq places
qui restent lévénement est réalisé si B
choisit la place libre sur le banc où est
installé A et la probabilité est 1/5
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Une progression possible
1. Sur des exemples, notion dexpérience
aléatoire (à une épreuve) et dévénement
Première définition de la probabilité dun
événement
2. Répétition dune même expérience aléatoire
la stabilisation des fréquences
3. Une autre approche de la probabilité dun
événement lapproche fréquentiste
4. Expérience aléatoire à deux épreuves
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1er temps la géométrie du hasard
Des outils générateurs de hasard pièce, dé,
roue de loterie, urne
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• Un exemple lancer dune pièce

Protocole de lexpérience On lance une pièce
Si elle tombe sur la tranche, on
recommence Sinon, on note la face obtenue
Un événement  obtenir Pile 
On a une chance sur 2 dobtenir pile. La
probabilité dobtenir pile est 1/2
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Un exemple roue de loterie
Protocole de lexpérience On fait tourner
laiguille. Si elle sarrête sur un trait noir,
on recommence Sinon, on note la couleur obtenue
Un événement  obtenir noir 
Il y a 2 chances sur 6 dobtenir noir
La probabilité dobtenir noir est 2/6, soit 1/3
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2e temps observation de la stabilisation des
fréquences pour des événements dont on connaît la
probabilité

• On lance un dé un grand nombre de fois et on
  observe la fréquence dapparition du six.
• On observe que la fréquence du  six  tend à se
  stabiliser au voisinage de 1/6

Lancer dun dé
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3e temps observation de la stabilisation des
fréquences pour des événements dont on ne connaît
pas la probabilité ou difficilement.

• Exemple 1 Le jeu du  Franc carreau 

Exemple 2 Quatre  pile  consécutifs en
cinquante lancers dune pièce
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Travail de groupe
Analyse de lactivité 5
En quoi cette activité est elle propice ou non
aux apprentissages? La donneriez vous à vos
élèves ? Pour quels objectifs ? Quelles
modifications lui apporter pour laméliorer
? Justifiez vos choix.
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4e temps Expérience aléatoire à deux épreuves
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Un premier exemple dexpérience aléatoire à deux
épreuves

•  Si je dois parier sur la somme des points
  obtenus lorsque je lance deux fois de suite un
  dé, quelle valeur faut-il que jannonce avant le
  lancer pour avoir le plus de chance de gagner ?
  
• 1) Réalise 60 expériences et note, à chaque fois,
• la somme des points obtenus.
• Donne une synthèse de tes résultats.
• 2) Représente graphiquement tes résultats.
• 3) Sur quelle valeur de la somme des deux dés
  vas-tu parier ?
• Explique ta réponse.

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(No Transcript)
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Graphique
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Après débat et mise en commun, on peut dégager
les points suivants 

• A lintérieur de la classe, les échantillons
  varient, fluctuent.
• Cest le regard sur un grand nombre de résultats
  qui peut permettre de parier.
• Quy avait-il de prévisible ?

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• Pour répondre à cette dernière question,
• on peut faire un tableau comme celui qui suit,
  qui indique et dénombre les différents totaux 

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De lexpérience à la simulation
Utilisation par le professeur du générateur de
nombres aléatoires de la calculatrice ou du
tableur
Une simulation dun lancer de deux dés.
lancer de dé(s)
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Un deuxième exemple dexpérience aléatoire à
deux épreuves

• On dispose
• dune part, dune roue de loterie (bien
  équilibrée). ayant un secteur rouge, deux
  secteurs noirs et trois secteurs verts
• et dautre part, dune pièce de monnaie (bien
  équilibrée).
• On fait tourner la roue puis on lance la pièce et
  on note le résultat obtenu.

• Ecrire tous les résultats possibles.

• Déterminer la probabilité dobtenir Vert et Pile.

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Présentation des résultats
Ce tableau ne peut pas convenir pour déterminer
les probabilités. Les  couleurs  ne sont pas
équiprobables.
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Présentation des résultats tableau
La probabilité dobtenir (VP) est 3/12 ou 1/4
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Résumé éventuel
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Présentation des résultats un arbre































La probabilité dobtenir  vert et pile  est
3/12 ou 1/4
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Arbre une autre présentation
1/2




1/2

1/6

1/2

P

2/6


F


1/2
1/2
3/6

P



F

1/2


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Pour un grand nombre dexpériences, par exemple
12 000

• 3/6 dentre elles environ, soit environ 6 000
   donneront  Vert pour la roue.
• Parmi les expériences qui  ont donné  Vert,
  soit environ 6 000, la moitié dentre elles
  environ, soit environ 3000  vont donner  Pile.
• Environ 1/2 de 3/6 des 12 000 expériences
  donneront (VP).

roue et pièce
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Pour un grand nombre dexpériences

• 3/6 dentre elles environ  donneront  Vert pour
  la roue.
• Parmi les expériences qui  ont donné  Vert, la
  moitié dentre elles environ  vont donner 
  Pile.
• 1/2 de 3/6 des expériences environ donneront
  (VP).
• La probabilité dobtenir (VP) est donc

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Une autre activité
Un exemple tiré du document daccompagnement
Sur un segment AB , on prend au hasard deux
points M et N. On considère lévénement La
longueur du segment MN est strictement
supérieure à la moitié de celle du segment AB
. Quelle est la probabilité de cet événement ?
longueur de segment.xls
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Le document daccompagnement

• Cest un document à destination des professeurs,
  pas directement des élèves!
• Rester dans des exemples simples
• Éviter une formalisation hâtive et complexe

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Conclusion

• Déjà enseigné dans de nombreux pays.
• Nouvelle forme de pensée à acquérir.
• Fil rouge tout au long de lannée.
• Favoriser la démarche par lexpérience
• et laisser du temps.
• Allers-retours entre expérience et modèle.