LE CALCUL LITTRAL AU COLLGE

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LE CALCUL LITTÉRAL AU COLLÈGE
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Calcul Littéral domaine essentiel du cours de
mathématiques

• Les programmes insistent sur la construction
  mathématique du calcul numérique et algébrique.
• Lacquisition de techniques de calcul faisant
  appel à des lettres est un des points délicats de
  lenseignement des mathématiques au collège.

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 Rupture arithmétique/algèbre 

• Lalgèbre ne peut pas être considérée comme une
  simple généralisation de  larithmétique .
• Un travail de conceptualisation, de construction
  du sens est nécessaire et cela bien avant la
  classe de 4ème où il est tentant de se réfugier
  dans lapprentissage de techniques. Le travail
  sur lalgèbre se fait dés le début du collège et
  il faut prendre le temps dinstaller les
  différents concepts.

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Différents statuts des lettres

• Pour désigner un objet.
• Pour désigner une variable.
• Pour désigner une inconnue.
• Pour désigner une indéterminée.

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Lettre a un statut dobjet, à lécole primaire et
au début du collège.

• La lettre symbolise un objet mathématique, elle
  marque une abréviation, un symbole dunité. Les
  élèves ont une utilisation statique des lettres.
• La lettre désigne un objet précis un point A,
  le nombre ?
• La lettre désigne une unité 4 m pour 4 mètres.
• La lettre désigne une abréviation dun objet
  mathématique A L ? l P ? ? D.

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La lettre a un statut de variable de la 6éme à la
3ème et encore au lycée.

• La lettre utilisée comme variable, dès
  lutilisation des formules et très tôt en 6ème.
  Les élèves en ont une utilisation dynamique.
• Quel nombre peut-on mettre à la place de t ?
• 1,2 lt t lt 1,5
• Complète le tableau suivant

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La lettre a un statut dinconnue

• Ce statut est rencontré dans les situations de
  mise en équation dun problème ou lors dune
  résolution déquation à partir de la 5ème.Les
  élèves ont une utilisation dynamique de ce type
  de lettre.

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La lettre pour désigner une indéterminée

• La lettre ne représente plus des nombres
  particuliers mais au contraire, des nombres
  quelconques comme dans les identités où légalité
  est universellement vraie. Son utilisation est
  dynamique.
• - Pour tous les nombres k, a, b
• k ? (a b) k ? a k ? b ( ka kb ).
• - Pour tous les nombres x x x 2x.
• Les identités remarquables.

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La lettre a le statut de paramètre

• La lettre représente une quantité supposée connue
  par rapport à dautres lettres qui ont
• soit le statut de variable x est une variable
  et a un nombre déterminé pour f
• soit le statut dinconnue ax b 0 ou x est
  linconnue, a et b des nombres.
• soit le statut dindéterminée y ax b ou a
  et b sont des nombres, x et y des indéterminées.
• En collège, ce statut de la lettre nest pas
  exploité en mathématiques mais en physique

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Différents statuts des lettres

• Les désignations des différents statuts de la
  lettre présentés ici sont à destination de
  lenseignant.
• Si ce vocabulaire ne doit pas être un enjeu
  denseignement, il est essentiel que les
  professeurs indiquent aux élèves en situation,
  les rôles différents joués par les lettres.

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Différents statuts du signe égal

• Annonce dun résultat, déclencheur dopérations.
  (EXE)
• Égalité sous conditions équations.
• Égalité toujours vraie identité.
• Un adressage, une affectation dans le cadre
  fonctionnel.

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Les autres signes opératoires

• En arithmétique, les signes opératoires indiquent
  principalement les procédures.
• Les résultats sont numériques.
• En algèbre, certaines écritures indiquent à la
  fois, la procédure et le résultat. Les
  expressions algébriques sont très largement
  utilisées au collège sous leur  aspect
  procédural 

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Les écritures en algèbre

• x 7 .
• est une procédure (addition)
• et / ou un résultat (somme)
• Cette difficulté est à lorigine de
  transformations non cohérentes en 7x ou en x
  7 0qui visent à obtenir un résultat
  numérique.

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Les écritures en algèbre
Pour substituer x par 4 dans lexpression A
6x² 9x , on utilise laspect procédural de
lexpression algébrique qui exprime un programme
de calcul et indique une suite dopérations à
effectuer pour obtenir un nombre.
Pour résoudre 6x² 9x 0 , on exploite
laspect structural de lexpression algébrique
qui est considérée comme un objet, dont on peut
décrire la forme et avec lequel, on va pouvoir
faire de nouveaux calculs.
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Du calcul numérique au calcul algébrique
Le calcul numérique est une part importante du
travail au début du collège et cest un point
dappui pour le calcul algébrique. Les différents
statuts de la lettre sont abordés successivement.
Tous les statuts continuent à se développer tout
au long de la scolarité. La progressivité est
clairement établie et imposée par les
programmes.Bien entendu, ces statuts ne peuvent
sinstaller et se développer sans interagir avec
les statuts de légalité. Les techniques de
calcul peuvent être justifiées. Par ces
justifications, on vise une construction des
mathématiques et non une présentation de
techniques juxtaposées. Cette pratique napparaît
explicitement quen 4ème.
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Les principaux objectifs du calcul littéral

• Outil qui permet la justification et
  lexplication des règles de calcul et des
  techniques de calcul.
• Exemple Application au calcul mental.
• Outil performant pour la résolution de problèmes.
• Outil de généralisation
• Outil de preuve.

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Résolution de problèmes
Le carré ACFG et le triangle équilatéral BDC ont
le même périmètre. Quelle est la mesure dun côté
du triangle ?
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Résolution de problèmes
Le carré ACFG et le triangle équilatéral BDC ont
le même périmètre. Quelle est la mesure dun côté
du triangle ?
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Outil de généralisation

• Le professeur a écrit au tableau lexercice
  suivant Calculer23 X 7 7 23 X 8 7 23 X
  9 7 23 X 10 723 X 11 7 23 X 12 7
  23 X 13 7 23 X 14 7Un camarade est
  absent. Quelle consigne lui donner au téléphone,
  sans lui dicter tous les calculs. La consigne
  est bonne si le camarade sait exactement ce quil
  doit faire. (Manuel Triangle, édition Hatier)
• Les exercices du type programme de calcul.

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Outil de généralisation
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Outil de preuve

• Lorsquon ajoute trois nombres entiers
  consécutifs, peut-on affirmer que la somme
  obtenue est un multiple de 3 ?
• Choisis deux nombres dont la somme est 300 et
  calcule leur produit. Ajoute 7 à chacun deux, de
  combien augmente le produit ?

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Un apprentissage progressif
de la sixième à la seconde
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En sixième

• Développer les sens de légalité.

• Dans une expression littérale, fixer toutes
  les variables sauf une qui prend successivement
  plusieurs valeurs.

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En sixième

• Initiation aux écritures littérales
• tâches de substitution (utiliser un formulaire
  pour calculer une aire et un périmètre)
• mise en jeu implicite de notions fonctionnelles.
• trouver une formule exprimant le périmètre dune
  figure en fonction dune ou deux longueurs
  désignées par une ou deux lettres.

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En sixième

• Initiation à la résolution déquations égalités
  à trous.
• Absence de lettre pour marquer linconnue.
• Procédures en référence au sens des opérations.
• Procédure utilisant un schéma.

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Exemple dutilisation dun schéma.
Trouver la longueur manquante dans chaque cas
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En cinquième

• Poursuivre linitiation aux écritures littérales
• Conventions décriture à ne pas utiliser
  prématurément .tâches de substitution dans
  lutilisation de formulaires
• transformations décriture.
• Fonctions Dans une formule, variation dune
  grandeur en fonction dune autre. Mise en jeu
  implicites de notions fonctionnelles.
• Poursuivre le travail sur la résolution
  déquations.
• Introduction de la lettre pour marquer
  linconnue. Tests dans les égalités.
• Introduire la lettre comme indéterminée
  k ?(a b) k ? a k ? b.

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En cinquième

• Fonctions
• dans une formule, variation dune grandeur en
  fonction dune autre
• mise en jeu implicite de notions fonctionnelles.
  
• Suite du travail sur linitiation à la résolution
  déquations
• lettre pour marquer linconnue.
• tests dans des égalités, des inégalités.
• résolution basée sur le sens des opérations.

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En quatrième

• Mise en équation dun problème.
• Algorithme de résolution des équations en
  référence aux règles connues.
• Lettre comme indéterminée   Double
  distributivité .
• Tests pour vérifier les transformations
  algébriques.
• Égalité d v x t.

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En troisième

• Factorisations, développements.
• Résolution de systèmes déquations.
• Identités remarquables.
• Premières formalisations sur la notion de
  fonction.
• Prise dinitiative lors des tâches portant sur le
  calcul littéral.

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Des pistes données par la CREM

• Dans son rapport sur le calcul, la CREM présente
  le passage du calcul numérique au calcul
  algébrique comme une véritable révolution.
• Les élèves sont amenés à renoncer à leur ancienne
  procédure  rester dans le domaine du connu.
• Ils doivent accepter de travailler à partir
  déléments connus et inconnus. Ce travail suit
  des règles qui peuvent paraître obscures.
• La commission pointe quelques disfonctionnements
  dans lenseignement du calcul littéral  pour
  nen citer quun  lorsquon demande à des
  enseignants quelles sont les fonctions de
  lalgèbre, la fonction outil de preuve nest
  généralement pas identifiée.

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Quelques pistes données par la CREM  

• Faire percevoir la puissance que donne le calcul
  algébrique (résoudre, formuler, généraliser,
  prouver).
• Faire comprendre que le calcul algébrique nest
  pas aveugle, quon en possède des modes de
  contrôle.
• Développer lintelligence de calcul
  (reconnaissance et choix de forme, calcul mental
  et réfléchi). Le calcul algébrique ne se limite
  pas à des techniques. Cest aussi un lieu de
  réflexion, de liberté (prise dinitiatives)
  laissée aux élèves.
• Intégrer visiblement lalgèbre dans le domaine de
  la rationalité  les preuves et démonstrations ne
  sont pas réservées à la géométrie. Il est
  important den faire dans la partie numérique
  afin de montrer que les mathématiques se
  construisent et quil y a une cohérence entre les
  notions. Les règles de calcul ne sont pas
  arbitraires. De plus, la pratique algébrique
  permet de travailler très tôt sur le
  contre-exemple, le besoin de preuve