8INF806

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8INF806

• Conception et analyse des algorithmes

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1936

• Définition formelle de la notion d'algorithme
• Turing Machine de Turing
• Post Machine de Post
• Kleene fonctions récursives
• Church ?-calculus

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Problèmes indécidables

• Certains problèmes n'admettent aucun algorithme.
• ex. Problème d'arrêt
• ex. Résoudre une équation diophantienne
• ex. Le jeu de la vie (game of life)

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Thèse de Church-Turing

• Toutes ces définitions sont équivalentes
• -----------------------
• Notion intuitive d'algorithme
• machine de Turing
• Remarque ordinateur bio-moléculaire et
  ordinateur quantique.

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Efficacité des algorithmes

• Quantité raisonnable de ressources
• Ressources temps, espace mémoires, nombre de
  processeurs, nombre de bits de communications,
  nombre de bits aléatoires, etc.
• Nous considérerons surtout le temps
• Algorithme efficace temps polynomial

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Thèse de Church-Turing étendue

• algorithme efficace
• machine de Turing efficace

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Théorie de la complexité

• Prouver que certains problèmes requièrent une
  quantité minimale de ressources.
• Exemple Factorisation d'un entier n
• Conception d'algorithme borne supérieure
• Théorie de la complexité borne inférieure

8
Pourquoi des bornes inférieures

• Résultats négatifs
• Évite de perdre son temps
• La recherche de bornes inférieures peut conduire
  à la découverte d'algorithmes efficaces.
• Exemple Test de primalité

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Difficulté du domaine

• Borne supérieure ? un seul algorithme
• Borne supérieure ? tous les algorithmes
• Fait Aucun des plus important problèmes en
  complexité n'a encore été résolu
• Exemple Dernier théorème de Fermat

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Question centrale P?NP

• P ensemble des problèmes disposant d'une
  solution efficace
• Exemple test de primalité
• NP ensemble de problèmes pour lesquel on ne
  connaît aucun algorithme efficace
• Exemple Problème du commis voyageur

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Comparer des problèmes(réduction)

• Deux problèmes A et B
• AB si on peut construire un algorithme efficace
  pour A si on dispose d'un algorithme efficace
  pour B
• B est au moins aussi difficile que A
• A et B ont le même niveau de difficulté si AB et
  BA.

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Exemple

• A multiplication
• B mise au carré
• X2 X X
• X Y

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Problèmes NP-complet

• Un problème A est NP-complet si
• A est dans NP
• B A pour tout B dans NP
• A est le problème le plus difficile dans NP
• Si A admet un algorithme efficace alors tous les
  probles B dans NP admettent un algorithme efficace

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Que faire quand un problème est trop difficile?

• Reformuler le problème
• Algorithmes probabiliste
• L'espérance du temps est raisonnable
• La probabilité d'erreur est raisonnable
• Algorithme d'approximation
• Pour les problèmes d'optimisation (ex. TSP)
• Heuristiques (algorithmes génétiques, etc.)

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Quelques joyaux

• Théorème de Cook
• SAT est NP-complet
• Théorème PCP
• Exemple circuit hamiltonien
• Théorème de Furst, Saxe et Sipser.
• Limites du parallélisme