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unité 2
Analyse numérique matricielle
Giansalvo EXIN Cirrincione
2
Résolution dun système linéaire A u b
Calcul des valeurs propres et des vecteurs
propres dune matrice
Les deux problèmes fondamentaux
3
Résolution dun système linéaire A u b
erreurs darrondi
erreur de troncature
4
Compagne du polynôme
Théorème de Abel
Calcul des valeurs propres et des vecteurs
propres dune matrice
Méthodes itératives !
5
Conditionnement dun système linéaire
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Conditionnement dun système linéaire
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Conditionnement dun système linéaire
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Conditionnement dun système linéaire
9
Conditionnement dun système linéaire
10
Conditionnement dun système linéaire
11
Conditionnement dun système linéaire
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Conditionnement dun système linéaire
Un système linéaire Au b est autant mieux
conditionné que le nombre cond (A) est voisin de
1.
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Conditionnement dun système linéaire
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Conditionnement dun système linéaire
Un petit résidu peut correspondre à une grande
erreur sur la solution
15
Conditionnement dun système linéaire
Un petit résidu peut correspondre à une grande
erreur sur la solution
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Conditionnement dun système linéaire
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Conditionnement dun système linéaire
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Conditionnement dun système linéaire
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Conditionnement dun système linéaire
Matrice de Hilbert
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Conditionnement dun problème de valeurs propres
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Conditionnement dun problème de valeurs propres
Théorème de Bauer-Fike
Soit A une matrice diagonalisable, P une matrice
telle que
et une norme matricielle telle que
pour toute matrice diagonale. Alors, pour toute
matrice ?A,
Cest le conditionnement de la matrice de passage
à une matrice diagonale qui intervient !
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Conditionnement dun problème de valeurs propres
Si A est une matrice diagonalisable,
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Conditionnement dun problème de valeurs propres
Si A est une matrice diagonalisable,
Les matrices normales sont très bien
conditionnées pour le problème des valeurs
propres.
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Conditionnement dun problème de valeurs propres
Les matrices normales sont très bien
conditionnées pour le problème des valeurs
propres.
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Origine des problèmes de lanalyse numérique
matricielle exemples
Approximation par les moindres carrées
regression
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Origine des problèmes de lanalyse numérique
matricielle exemples
Approximation par les moindres carrées
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Origine des problèmes de lanalyse numérique
matricielle exemples
Approximation par les moindres carrées
regression linéare
regression non linéare
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Origine des problèmes de lanalyse numérique
matricielle exemples
Approximation par les moindres carrées
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Origine des problèmes de lanalyse numérique
matricielle exemples
Soit wj , 1 ? j ? n (n lt m) un ensemble de n
fonctions réelles linéairement indépendantes,
définies sur un ensemble contenant les points xj
. Le problème consiste à déterminer une fonction
telle que les égalités U(xi) , 1 ? i ? n ,
soient approchées  au mieux .
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Origine des problèmes de lanalyse numérique
matricielle exemples
ordinary least squares
data least squares
total least squares
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Origine des problèmes de lanalyse numérique
matricielle exemples
On cherche une fonction U qui rend minimum le
nombre
Équations normales
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Origine des problèmes de lanalyse numérique
matricielle exemples
système mécanique à deux degrés de liberté
Seconde loi de Newton
Écriture matricielle
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Origine des problèmes de lanalyse numérique
matricielle exemples
système mécanique à deux degrés de liberté
Le comportement des deux ressorts est découplé -
si lon admet que les deux valeurs propres sont
positives, il existe deux pulsations propres
caractérisant le système.
fréquences de résonance
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Origine des problèmes de lanalyse numérique
matricielle exemples
système mécanique à deux degrés de liberté
Amplitude de la réponse dun système oscillant
fréquences de résonance
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FINE