VI

1
VI Rang dune matrice

• Mots clés Rang

2
Définition 1 Rang dune matrice

• Exemple

3
Proposition 1 deux matrices ligne-équivalentes
ont le même rang

• Exemple

4
Proposition 1 deux matrices ligne-équivalentes
ont le même rang
5
Proposition 1 rang(AB) ? rang(A)

• Exemple

6
Proposition 1 rang(AB) ? rang(A)
7
Proposition 1 Si B est inversible alors
rang(AB) rang(A)

• Exemple

8
Proposition 1 Si B est inversible alors
rang(AB) rang(A)
9
Théorème 5 rang(tA)rang(A)

• Exemple

10
Proposition 2 Si B est inversible alors
rang(BA) rang(A)

• Exemple

11
Proposition 2 Si B est inversible alors
rang(BA) rang(A)
12
VI Systèmes linéaires

• Mots clés Equations, Inconnues, Constantes,
  Coefficients, Système homogène, Système trivial,
  Système incompatible, Inconnues pivots, Inconnues
  libres, Solution homogène, Solutions canoniques.

13
Définition 1

• p3 inconnues x1, x2 et x3
• n2 équations
• n2 constantes -5 et 4
• nxp2x36 coefficients
• p2 inconnues x1 et x2
• n3 équations
• n3 constantes 2, 0 et 4
• nxp3x26 coefficients

14
Remarque 1
15
Définition 2
16
Définition 3

• s11 , s2 2, s3 4 est une solution du système

17

• Remarque 2 Rappel CAB les colonnes de C sont
  des combinaisons linéaires des colonnes de A
  CjABjet K (AX) est une matrice colonne.
• Remarque 3 En effet A00

18
Définition 4

• La somme des deux premières équations donne 2x12
  doù x11.
• En remplaçant dans la 2eme équation on obtient
  x1x21
• En remplaçant dans la 3eme équation on obtient
  34
• Impossible! donc le système est incompatible
• On a vu que le système de lexemple 1 est
  compatible

19
Remarque 4

• Le système est compatible si et seulement si K
  appartient à lensemble engendré par les colonnes
  de A.
• En effet Théorème 1 ABC ? CJ ABJ
• Donc AXK ? K AX

20
Définition 5 Deux systèmes linéaires sont
équivalents sils ont le même ensemble de
solutions

• Remarque 5 Cette relation est une relation
  déquivalence
• Réflexive
• Symétrique
• Transitive

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Proposition 1 Soit AXK un système linéaire et
(AK) sa matrice augmentée. Si (AK) est
ligne-équivalente à (BH) alors AXK et BXH sont
équivalents
22
En pratique

• En donnant des valeurs à x3 on obtient celles de
  x1 et x2

23
Définition 6

• Deux inconnues pivots x1 et x2 une
  inconnue libre x3

24
Théorème 6

• Le système est donc incompatible

25
(No Transcript)
26
Théorème 6

• Le système admet donc une solution unique x12
  x23

27
(No Transcript)
28
Théorème 6

• Le système admet donc une infinité de solutions

29
Remarque 5

• Par exemple x34 on obtient x11 et x22 ou
  x35 on obtient x1-1 et x2-1

30
(No Transcript)
31
Définition 7 Lensemble solution dun système
linéaire homogène AX0 est appelé noyau de la
matrice A. On le note Ker(A)

• Proposition 2 Soit un système linéaire homogène
  AX0 alors
• (a) 0?Ker(A)
• (b) Si S1?Ker(A) et S2?Ker(A) alors S1
  S2?Ker(A)
• (c) Si S?Ker(A) et l?R alors lS1?Ker(A)

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Définition 8

• 3 inconnues pivots x1 , x2 et x43 inconnues
  libres x3 , x5 et x6

33
Définition 8
34
Définition 8

• 3 solutions canoniques

35
Théorème 7
36
Théorème 7

• 3 inconnues pivots x1 , x2 et x4
• 3 inconnues libres x3 , x5 et x6

37
Théorème 7

• S ShSp