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Dimension de Hausdorff des ensembles de Julia
Quelques notions de base de dynamique holomorphe.
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Ensemble de Julia rempli
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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 Lensemble de Julia du polynôme P est le bord
de K(P)
L intérieur de K(P) et le bassin de l infini
forment l ensemble de Fatou qui est aussi le
complémentaire de l ensemble de Julia.
Dynamique sur l ensemble de Fatou le polynôme P
induit une application de l ensemble des
composantes de l ensemble de Fatou sur lui-meme.
Théorème (Sullivan) Toute composante de
l ensemble de Fatou est prépériodique.
Pour comprendre la dynamique sur l ensemble de
Fatou, il suffit alors de classifier les
composantes périodiques, ce qui a été fait au
début du Xxème siècle par Fatou et Julia.
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Classification de Fatou- Julia.
Point fixe répulsif
Un cycle répulsif appartient à l ensemble de
Julia. La réunion de tous les cycles répulsifs
est même dense dans cet ensemble.
Chaque point d un cycle attractif appartient à
une composante différente de l ensemble de Fatou
et ces k composantes forment un cycle.
Cycle attractif0,-1 m0
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Point fixe parabolique m-1, k1,q2, nu1
Cycles indifférents
Point fixe indifférent irrationnel linéarisable
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Le théorème de Fatou et Julia affirme que toute
composante périodique de l ensemble de Fatou
est de l un des trois types précédemment
décrits (composante d un bassin immédiat d un
cycle attractif, d un bassin immédiat d un
cycle parabolique ou disque de Siegel).
On en déduit que la dynamique sur l ensemble de
Fatou est assez simple. Toute la partie
 chaotique  de la dynamique est donc
concentrée sur l ensemble de Julia .
D où l intérêt de l étude de la variation de
J(P) en fonction de P. Cette étude a été initiée
par Douady qui a complètement déterminé les
points de continuité de l application P--gtJ(P) ,
l ensemble des compacts du plan étant équipé de
la métrique de Hausdorff.
Enfin les ensembles de Julia sont à de rares
exceptions près des ensembles fractals la
dimension de Hausdorff de cet ensemble est donc
une quantité importante. L objet de cet exposé
est de faire le point sur ce que l on connaît
de la régularité de la fonction P--gtHD(J(P))
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Soit K un compact du plan de diamètre 1. On dit
que K est de dimension d si pour M grand il faut
de l ordre de Md disque de rayon 1/M pour
recouvrir K.
4n disques de rayon 3-n
HDln(4)/ln(3)
g
Le Cantor K associé aux similitudes g,h est
l unique compact tel que Kg(K)Uh(K)
Sa dimension d est l unique solution de
r(g)dr(h)d1
h
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JEAN PERRIN "Le plus souvent, ceux auxquels on
parle de courbes sans tangentes ou de fonctions
sans dérivées commencent par penser qu'évidemment
la nature ne présente pas de telles
complications et n'en suggère pas l'idée. C'est
pourtant le contraire qui est vrai, et la logique
des mathématiciens les a maintenus plus près du
réel que ne faisaient les représentations
pratiques employées par les physiciens.
l'incertitude qu'on aurait à trouver la tangente
en un point du littoral de la Bretagne, selon
qu'on utiliserait pour cela une carte à telle ou
telle échelle. Selon l'échelle, la tangente
changerait, mais chaque fois on en placerait une.
C'est que la carte est un dessin conventionnel,
où, par construction même, toute ligne a une
tangente. Au contraire, c'est un caractère
essentiel du littoral, si au lieu de l'étudier
sur une carte on le regarde lui-même de plus ou
moins loin, que, à toute échelle, on soupçonne,
sans les voir tout à fait bien, des détails
qui empêchent absolument de fixer une
tangente.  Les atomes, 1913
(Préface)
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Le rôle des points critiques.
Tout polynôme de degré au moins égal à 2 admet
un point critique au moins et l  orbite de ces
points nous renseigne sur la dynamique du
polynôme.
Première conséquence il n y a quun nombre fin
de cycles non-répulsifs et donc de composantes
périodiques de l ensemble de Fatou.
Un théorème de Fatou et Julia affirme que
tout cycle attractif attire un point
critique. Aussi tout point périodique indifférent
dans l ensemble de Julia (ie parabolique ou
Cremer) est adhérent à l orbite d un point
critique. Dans le cas d un point périodique
linéarisable c est le cercle de Siegel qui est
adhérent à l orbite d un point critique.
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Polynômes hyperboliques
Problème ouvert la stabilité structurelle
implique-t-elle l hyperbolicité?
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(No Transcript)
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L exemple des polynômes quadratiques
un cycle attractif d ordre 1 (point fixe)
Un cycle attractif d ordre 2
Un cycle attractif d ordre 3
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(No Transcript)
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La stabilité structurelle implique que P--gtJ(P)
est continue en tout point d une composante
hyperbolique (et même  holomorphe  en un
certain sens.
Le passage d une composante hyperbolique à une
autre change la structure, mais peut-être
continu. Exemple
Bifurcation de Hopf (point fixe attractif--gt
point fixe répulsifcycle attractif d ordre 2)
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Réelle-analyticité de la dimension dans les
composantes hyperboliques (Théorème de Ruelle).
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(No Transcript)
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Preuve du théorème de Ruelle
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Interprétation thermodynamique
On considère l ensemble de Julia comme un gaz
sans volume. Un  état  est une mesure
P-invariante. La température est 1/t. On cherche
l  état d équilibre du système à température
donnée.
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Une application (Ransford)
En particulier, dans la cardioïde principale de
l ensemble de Mandelbrot, la dimension est une
fonction sous-harmonique de c elle admet donc
des limites radiales en presque tout point. Ces
limites coïncident elles pp au bord avec la
dimension de Hausdorff de la limite au sens
topologique (qui existe, voir plus loin)?
C est vrai en tout point rationnel (Bodard-Z,
McMullen)
Existe-t-il un point de la cardioïde ou ce n est
pas vrai?
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Théorème (Douady) L application J est continue
en P si et seulement si P ne possède ni point
fixe indifférent rationnel ni point fixe
indifférent irrationnel linéarisable.
Exemple du point fixe indifférent irrationnel
linéarisable
P a un disque de Siegel le point fixe est dans
l ensemble de Fatou
Q a un point fixe parabolique le point fixe est
dans J(Q).
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Cas parabolique le chou-fleur
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c0,251
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(No Transcript)
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Le lapin gras
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Fleur de Leau-Fatou
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Coordonnées de Fatou
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Applications de Lavaurs
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(No Transcript)
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Ensembles de Julia-Lavaurs
Le théorème de Sullivan reste vrai (Lavaurs)
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h
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Un ensemble de Julia-Lavaurs avec composante
attractive virtuelle.
Un ensemble de Julia-Lavaurs avec composante
parabolique virtuelle
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V
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Le cas qgt1 pétales
On peut encore définir une application de cornes
chacun des deux multiplicateurs dépend des choix
faits pour les coordonnées de Fatou mais pas leur
produit et Shishikura a montré que le module du
produit est toujours gt1 sur la cardioïde
principale.
Corollaire (Z.) Si on implose un ensemble de
Julia quadratique avec point fixe parabolique à q
pétales alors la dimension de Hausdorff devient
gt2q/(q1)
Corollaire la dimension est génériquement égale
à 2 sur la cardioïde principale. Preuve Baire
Corollaire (Shishikura) Le bord de M est de
dimension 2