Cours DEA Satisfaction et Optimisation sous Contraintes

1
Problèmes de Satisfaction de Contraintes (CSP)
2
Définitions exemples

• Un CSP P (X, D, C) est défini par
• des variables X X1, X2 Xn
• des domaines D D1, D2 Dn , Xi prend ses
  valeurs dans l ensemble fini discret Di
• des contraintes C C1, C2 Cm ,
• la contrainte Ci est une relation Ri définie sur
  un sous ensemble de variables Si
• Si ? X , l ensemble des variables sur
  lesquelles elle porte Si Xi1, Xi2, Xini
• Ri, l ensemble des combinaisons de valeurs
  satisfaisant Ci Ri ? Di1 x Di2 x xDini
• ? Ci ltSi, Rigt. Si est appelée l arité de
  Ci
• Une solution est une instanciation des variables
  satisfaisant toutes les contraintes.

3
Définitions exemples

• Soit P (X, D,C) avec X X1, X2, X3, X4 et C
  C1, C2, C3
• (X,C) graphe (ou hypergraphe) de contraintes
• CSP binaire contraintes d arité 2 (graphes)
• CSP n-aires contraintes d arité quelconque
  (hypergraphes)

4
Définitions exemples

• Soit P (X, D,C)
• X X1, X2, X3, X4 et
• D D1, D2, D3, D4, D1 D2 D3 D4 a,b
• C C1, C2, C3,
• C1 lt S1 , R1gt C2 lt S2 , R2gt C3 lt S3 , R3gt
  

R1
R2
R3
5
Définitions exemples

• Représentations des contraintes
• contraintes binaires
• En intension Y X 2 , X ? Y
• En extension (par table)
• Par graphes

X
Y
Ck
Rk
Rk
Dx
Dy
x1
y1
x2
y2
x3
y3
6
Exemple
D(X1) FRITES, COUSCOUS, RIZ, SALADE
X1

• Problème des mots croisés

L15 L35
L12 L21
X2
X3
D(X2) RCL, OM, PSG, LOSC, CRIL
D(X3) MOULES, SARDINES, CREVETTES, VIANDE,
MAYONNAISE, VINAIGRE
Lij jème lettre de Xi
7
Exemple 1 problème des 4-Reines

• Formulation standard du problème
• Variables chaque ligne est une variable.

Placer 4 Reines sur un échiquier de 4x4 tq.
deux Reines ne soit pas sur la même ligne,
colonne, ou diagonale.
1 2 3 4
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q

• Domaines

( )

• Contraintes Il y a 6 contraintes

• Graphe de contraintes

8
Exemple 2 Coloriage de graphes

• Colorier une carte géographique tq. Deux régions
  (pays) adjacents soient de différentes couleurs

(R,V,B)
X1
?
?
X3
X2
?
(R,V,B)
(R,V,B)
9
Exemple 3 Conception

• Les contraintes sur les parties du véhicule
• par-chocs blanc (white)
• toit ouvrant rouge (red)
• enjoliveurs rose (pink) ou rouge
• capot et portières rose, rouge ou noir (black)
• carrosserie blanc , rose, rouge ou noir
• Les contraintes du concepteurs
• pare-chocs, toit ouvrant et enjoliveurs plus
  clairs que la carrosserie
• portières, carrosseries et capot de la même
  couleur
• Trouver une configuration possible du véhicule
  satisfaisant les contraintes.

10
Exemple 3 Conception
portières
pare-chocs
p, r, b
(w,p) (w,r) (w,b)
(p,p) (r,r) (b,b)
w
toit ouvrant
(p,p) (r,r) (b,b)
w, p, r, b
(r,b)
r
enjoliveurs
carrosserie
(p,p) (r,r) (b,b)
(p,r) (p,b) (r,b)
p, r
p, r, b
capot
plus clair que
de la même couleur
11
Exemple 3 Vision Walz75
Problème reconnaître des objets 3D en
interprétant les lignes sur un dessin 2D
David Waltz, MIT, 1975
12
Exemple 3 Vision Walz75
Sur le schéma ci-dessous, il existe quatre types
de jonctions (points de rencontre entre les
arêtes)
13
Exemple 3 Vision Walz75
14
Exemple 3 Vision Walz75
On distingue les cas suivants (seules certaines
combinaisons sont possibles pour des arêtes
adjacentes à une jonction)
L
Y
T
Flèche
15
Exemple 3 Vision Walz75

• Formalisation
• variables les arêtes
• domaines les labels
• jonctions les contraintes

-


Un étiquetage consistant est une interprétation
possible
16
CSP

• Enoncés possibles
• Existe t-il une solution?
• Trouver une solution
• Trouver toutes les solutions
• Trouver le nombre de solutions
• Telle valeur figure-t-elle dans une solution?
• Trouver toutes les valeurs possible pour une
  variable
• Trouver une valeur figurant dans toute les
  solutions
• Trouver une solution optimale
• Le problème de décision est NP-Complet

17
Transformations CSP-naires vers CSP binaires

• La transformation est obtenue en utilisant des
  variables auxiliaire .
• Pour une contrainte portant sur 3 variables X, Y,
  Z on crée une variable U, tq
• Dx 1,2 Du (1,3,5), (1,3,6), (1,4,5),
  (1,4,6),
• Dy3,4, (2,3,5), (2,3,6), (2,4,5),(2,4,6)
• Dz5,6
• Exemple Soit la contrainte
• XYZ
• Dx 1,2 Du (1,4,5), (2,3,5), (2,4,6)
• Dy3,4,
• Dz5,6

18
Transformations CSP-naires vers CSP binaires

• 1) en gardant les variables originales
• Introduire une nouvelle contrainte X ième
  argument de (U)
• XYZ, XltY
• Dx 1,2
• Dy3,4,
• Dz5,6

5,6
Z
Z arg3(U)
U
1,4,5), (2,3,5), (2,4,6)
U (X,Y,Z) XYZ
X arg1(U)
Y arg2(U)
X
Y
XltY
1,2
3,4
19
Transformations CSP-naires vers CSP binaires

• 1) Sans les variables originales
• Introduire une nouvelle contrainte
• ième arguments de(U) jème argument de (V)
• XYZ, XltY
• Dx 1,2
• Dy3,4,
• Dz5,6

U
1,4,5), (2,3,5), (2,4,6)
U (X,Y,Z) XYZ
Arg1(U) arg1(V)
Arg2(U) arg2(V)
V
1,3), (1,4), (2,3), (2,4)
V (X,Y) XltY
20
Méthode standard de résolution le backtrack

• A chaque étape, l instanciation partielle
  courante est étendue en instanciant un nouvelle
  variable par une valeur compatible avec
  l instanciation courante
• X1 X2 Xk-1 Xk
• d1 d2 dk-1 dk ? Dk
• Si aucune valeur dk ? Dk n est compatible, alors
  il y a un retour en arrière (chronologique) sur
  la variable précédente Xk-1 pour essayer une
  autre valeur dk-1 ? Dk-1
• X1 X2 Xk-1
• d1 d2 dk-1? Dk-1
• Approche fortement combinatoire O(dn)

21
Filtrages et prétraitements

• Consistance (ou cohérence)
• propriété liée à la compatibilité entre valeurs
  de domaines et contraintes
• Filtrage
• élimination d éléments dont on est assuré
  qu ils ne peuvent figurer dans une solution
  (valeurs ou n-uplets de relations)
• P (X,D,C) P  (X, D, C)
• Propriété d un filtrage
• simplification du problème par réduction de
  l espace de recherche
• dans certains cas détection de l inconsistance
• Plusieurs niveaux de consistances
• consistance locales ou partielles jusqu à
  consistance globale
• ? coût du filtrage plus ou moins élevé
• (obtention consistance globale ? résolution
  du problème)

22
La consistance d arc (AC)

• Définition

Arc Inconsistant
Arc Consistant
23
La consistance d arc (AC) AC1

• Filtrage par consistance d arc suppression des
  valeurs qui ne vérifient pas la propriété (AC)

24
Lalgorithme AC1 (Macworth 1977)
Algorithme AC-1 répéter pour chaque contrainte
Ck faire Réviser(Ck) jusquà
plus de changement
Réviser(Ck) Ck (Xi,Xj) pour tout di ? Di
faire si ? dj ? Dj telle que (di,dj) ? Rk
alors supprimer di de Di pour tout dj ? Dj
faire si ? di ? Di telle que (di,dj) ? Rk
alors supprimer dj de Dj
25
Lalgorithme AC1 (Macworth 1977)
procédure Réviser((i,j)) changement ?
faux pour di ? Di faire si ? dj ? Dj telle
que (di,dj) ? Rk alors supprimer di de Di
changement ? vrai fin si fin
pour retourner changement fin
procédure AC-1(G) répéter changement ?
faux pour chaque arc (i,j) ? G
faire changement ? réviser((i,j)) ou
changement fin pour jusqu à non
(changement) fin AC-1
26
Lalgorithme AC1

• Quels sont les défaut de AC-1?
• Si un domaine est réduit alors tout les arcs sont
  testés (révisés) même si le domaine touché n a
  aucune influence sur la plus part des arcs
• Quels sont les arcs à reconsidérer ?
• Les arcs affectés par le filtrage du domaine
• i.e., les arcs reliés à la variable touchée
  (arcs entrants).
• Ignorer les arcs incident de la variable touché
  (arcs sortants)

Variable touché
Arc dont la révision a provoqué la réduction du
domaine
27
Lalgorithme AC3 Mackworth 1977

• utiliser une file pour mémoriser les arcs à
  (re-)réviser
• enfiler uniquement les arcs affectés par la
  réduction des domaines.

procedure AC-3(G) Q ? (i,j) (i,j) ? arcs(G),
i lt j file pour les arcs à réviser tant que
Q non vide faire sélectionner et supprimer
(k,m) de Q si réviser((k,m)) alors Q ? Q
?(i,k) (i,k) ? arcs(G), i ? k, i ? m fin
si fin tant que fin
? AC3 est l algorithme le plus utilisé
28
L algorithme AC3 observations

• Révision d un arc de nombreuses paires de
  valeurs sont testées
• Ces tests sont répétés à chaque fois qu un arc
  est révisé
• Observation
• il n est pas nécessaire d examiner les valeurs
  a, b et c de X3 (elles admettent un autre support
  autre que a dans X2)
• L ensemble support de a ?Di est l ensemble
  ltj,bgt b ? Dj , (a,b)? Rij

1. Quand larc ltX2,X1gt est révisé, la valeur a
est supprimé du domaine de X2 2. le domaine de
X3 doit être exploré pour déterminer si les
valeurs a,b,c et d perdent leur support dans
X2
29
Calcul et utilisation des ensembles supports

• L ensemble des valeurs supportés par une valeur
  donnée (si la valeur est supprimée alors ses
  valeurs perdent un support) et le nombre de ces
  valeurs supports sont calculés.

procédure Initialiser(G) Q ? , S ?
initialiser les structures de données pour
chaque arc (Xi,Xj) ? arcs(G) faire pour a ? Di
faire total ? 0 pour b ? Dj faire si
(a,b) ? Rij alors total ? total
1 Sj,b ? Sj,b ? lti,agt fin si fin
pour compteur(i,j),a ? total si
compteur(i,j),a 0 alors supprimer a de
Di Q ? Q ? lti,agt fin si fin pour fin
pour retourner Q fin Initialiser

• Sj,b - l ensemble des pairs lti,agt tq.
• ltj,bgt les supportent i.e. (a,b) ? Rij
• compteur(i,j),a - nombre de supports
• pour une valeur a ? Di dans Dj

30
Calcul et utilisation des supports
Compteur(i,j) i 2
a1 2 a2 1
a3
j Sj... b1 lti,a1gt,lti,a2gt
b2 lti,a1gt b3 lti,a2gt, lti,a3gt

• Utilisation des ensembles supports
• 1. soit b3 une valeur supprimée du domaine de j.
• 2. Pour chaque élément de Sj,b3 (i.e.
  lti,a2gt,lti,a3gt).
• Décrémenter les compteurs de ses valeurs (i.e.
  elles ont perdues un support) (compteur(i,j),a2
  et compteur(i,j),a3 )
• 3. Si un compteur devient nul (a3) alors
  supprimer la valeur et aller en 1.

Compteur(i,j) i 2
a1 1 a2 0
a3
j Sj... b1 lti,a1gt,lti,a2gt
b2 lti,a1gt b3
31
Algorithme AC4 Mohr Henderson 1986

• procedure AC-4(G)
• Q ? Initialiser(G)
• tant que Q est non vide faire
• sélectionner et supprimer une pair ltj,bgt de Q
• pour chaque lti,agt de Sj,b faire
• compteur(i,j),a ? compteur(i,j),a - 1
• si compteur(i,j),a 0 a ? Di alors
• supprimer a de Di
• Q ? Q ? lti,agt
• fin si
• fin pour
• fin tant que
• fin AC-4
• Inconvéniant complexité en espace élevée

32
Autres algorithmes d AC

• AC-5 (Hentenryck, Deville, Teng 1992)
• un algorithme d AC générique
• peut être réduit à AC-3 et AC-4
• exploite la sémantique des contraintes (e.g.
  fonctionnelle )
• AC-6 (Bessiere 1994)
• maintient un seul support pour une valeur, le
  prochain support est calculé au moment de la
  suppression de ce support
• améliore la complexité en espace et la complexité
  en moyenne d AC4
• AC-7 (Bessiere, Freuder, Regin 1999)
• basé sur le calcul et l exploitation des
  supports (comme AC-4 et AC-6)
• exploite la symétrie des contraintes

33
Arc consistance directionnelle (DAC)

• Observation les algorithmes d AC effectuent
  des révisons répétées des arcs le nombre total
  de révisions dépends du nombre d arc mais aussi
  de la taille des domaines (présence de cycles).
• Est-il possible d affaiblir AC de manière à
  réviser chaque arc une seule fois?
• Définition un CSP est arc consistent
  directionnelle (DAC) étant donné un ordre sur les
  variables ssi tout arc (i,j) tq. iltj est arc
  consistant.
• Chaque arc est révisé, mais uniquement dans une
  seule direction

34
Algorithme DAC

• 1. Les arcs sont considérés dans une seule
  direction
• 2. Les variables sont ordonnées
• ? pas de cycle dans le graphe !
• procedure DAC(G)
• pour j noeuds(G) à 1 faire
• pour chaque arc (i,j) dans G tq. iltj faire
• Réviser((i,j))
• fin pour
• fin pour
• fin

35
Quand et comment utiliser DAC

• AC est plus général que DAC (si un CSP est AC
  alors il est aussi DAC
• DAC est-il utile ?
• DAC est plus rapide que tout algorithme AC-x
• Il existe des problèmes pour lesquels DAC est
  suffisant
• Exemple Si le graphe de contraintes du CSP forme
  un arbre alors DAC est suffisant pour résoudre
  le CSP sans retours arrières
• Quel ordre utiliser pour DAC?
• Appliquer DAC de la racine aux feuilles de
  l arbre.
• DAC assure pour chaque valeur du fils
• l existence d une valeur compatible
• avec son père

36
Relation entre AC et DAC

• Exemple
• V X,Y,Z
• Dx Dz 1,2, Dy 1
• C X? Z,YltZ

• En utilisant lordre X,Y,Z
• pas de suppression de valeurs

• En utilisant l ordre Z,Y,X
• une valeur est supprimée du domaine de Z,
• le CSP obtenue est DAC mais pas AC

1,2
2
Z
Z
YltZ
X ? Z
YltZ
X ? Z
Y
1
X
1,2
Y
1
X
1,2

• Si l ordre X, Y, Z est encore utilisé alors le
  CSP deviendra aussi AC

37
De Dac à AC pour les CSP structurés en arbre

• Si on applique DAC à un CSP structuré en arbre
• 1. en utilisant l ordre de la racine aux
  feuilles
• 2. et dans l ordre inverse.
• On obtient un CSP arc consistent
• Preuve
• chaque valeur admet un support dans les nœuds
  fils (1.)
• chaque valeur admet un support dans le nœud
  parent (2. ),
• ? on obtient un CSP AC

38
Est-ce que AC est suffisant pour résoudre un CSP?

• En appliquant les algorithmes AC on peut
  supprimer de nombreuses valeurs incompatibles
• Peut-on obtenir une solution?
• Ou déterminer quune telle solution existe?
• ? Malheureusement, la réponse est NON!
• Exemple
• Le CSP est arc consistent
• mais n admet aucune solution
• Alors quel est le rôle de AC ?
• Dans certains cas on obtient une solution après
  l application de AC
• si on obtient un domaine vide (par AC) alors le
  CSP est inconsistant
• Si tout les domaines ont été réduit à une seul
  valeur (singleton) alors on obtient une solution
  du CSP
• Dans le cas général AC supprime des valeurs
• ? réduit la taille de l espace de recherche

1,2
Z
Y ? Z
X ? Z
Y
1,2
X
1,2
X ? Y
39
La consistance de chemin (PC)

• Définition

Chemin Inconsistant
Chemin Consistant
40
Chemin consistance directionnelle (DPC)

• DPC pour (x1, x2, x3), pas pour (x3, x2, x1)

41
Relation entre PC et AC

• Est-ce que PC subsume AC ?
• i.e. si un CSP est PC, est-il aussi AC?
• un arc (i, j) est consistent (AC) si le chemin
  (i,j,i) est PC
• ? PC implique AC
• est-ce que PC est plus fort que AC (y a t il un
  CSP AC mais pas PC)?
• Exemple P (X,D,C)
• V X,Y,Z
• Dx Dy Dz 1,2,
• C X?Z, X ? Y, Y ? Z
• P est AC, mais pas PC (X1, Z2 ne peut être
  étendu à Y et Z)
• AC supprime des valeurs des domaines ,
• PC supprime des pairs de valeurs (tuples dans les
  relations)
• PC rend les contraintes explicites (AltB,BltC ?
  A1ltC)

42
Contraintes représentation matricielle

• Pour supprimer des couples de valeurs
• ? les contraintes doivent être représenté en
  extension
• contraintes binaires matrice de 0 et 1
• 0 - les valeurs sont incompatibles
• 1 - les valeurs sont compatibles
• Opérations sur les contraintes
• Intersection Rij Rij composition Rik Rkj
  ? Rij
• (et bit à bit) (multiplication binaire de
  matrice)

43
Composition des contraintes d un chemin

• Exemple P (V,D,C)
• VA,B,C
• Da Db Dc 1,2,3,
• C Bgt1, AltC, AB, BgtC-2
• Comment rendre consistent le chemin (i,k,j) ?
• Rij ? Rij Rik Rkk Rkj

44
Algorithme PC1

• procédure Réviser( (x, y), z) )
• pour chaque pair (a,b) ? Rxy faire
• si ( c ? Dz tq. (a,c) ? Rxz et (b,c) ? Ryz
  )
• alors supprimer (a,b) de Rxy
• fin si
• fin pour
• fin
• procédure PC-1(P (X, D, C) )
• n ? X
• répéter
• pour k 1 à n faire
• pour i 1 à n faire
• pour j 1 à n faire
• Rij ? Rij (Rik Rkk Rkj) / Reviser(
  (i,j), k) /
• jusquà (non (changement) )
• fin
• Remarque L absence de contrainte entre x et
  y, peut être vu comme une contrainte universelle
  (Rxy Dx x Dy)

Rii ? Rii (Rik Rkk Rki) ? AC1
45
Algorithmes PC

• PC1, PC-2 Macworth 77
• PC-3 Mohr Anderson 86
• PC-4 Han Lee 88
• PC-5 Singh 95
• PC8 Chmeiss Jégou 96
• Inconvénients de PC
• Complexité en espace
• PC élimine des pairs de valeurs
• maintenir un CSP en extension (e.g. utiliser une
  matrice de 0 et 1)
• modification du graphe de contraintes

46
PC suffit-elle à résoudre un CSP

• PC ne suffit pas a résoudre un CSP
• Exemple soit un CSP P (V,D,C)
• VB,C,D
• Db Dc Dd 1,2,3
• A ? B, A ? C, A ? D, B ? C, B ? D, C ? D
• P est PC mais n admet pas de solutions

?
1 2 3
1 2 3
?
?
?
?
1 2 3
1 2 3
?
47
Chemin consistance restreinte (RPC)

• Peut-on obtenir un algorithme de filtrage (entre
  AC et PC)?
• plus fort que AC
• sans les inconvénients de PC (espace mémoire,
  modification du CSP)
• Chemin consistance restreinte (Berlandier 1995)
• basé sur AC-4 (utilise les ensembles supports)
• des qu une valeur admet uniquement un support
  dans une autre variable, PC est appliqué sur
  cette pair de valeurs

48
K-consistance

• Y a t il un formulation commune à AC et PC?
• AC une valeur est étendue à une autre variable
• PC une pair de valeurs est étendue à une autre
  variable
• on peut continuer
• Définition un CSP est k-consistent ssi toute
  instanciation consistante de (k-1) différentes
  variables peut être étendue à une instanciation
  consistante avec une variable supplémentaire (k)
• CSP 4-consistant

49
K-consistance forte

• 3-consistant mais pas 2-consistant
• Définition un CSP P est fortement k-consistant
  ssi P est j-consistant pour tout j ? k.
• k-consistance forte ? k-consistance
• k-consistance forte ? j-consistance pour tout
  j ? k
• NC (consistance de noeuds) 1-consistance forte
  1-consistance
• AC 2-consistance forte
• PC 3-consistance forte

50
Portés des différentes consistances
NC
AC
PC
4-consistance
51
Techniques de consistance modifications
apportées au CSP
AC
PC
4-(forte)consistance
Contrainte ternaire
52
k-consistance résolution de CSP

• Pour un CSP à n variable, quelle k-consistance
  est suffisante pour résoudre un CSP?
• n-consistance forte pour un CSP à n variables!

Un CSP P de n variable de domaines 1n-1
P est k-fortement consistant (kltn) mais P est
inconsistant
D(AC) est suffisant P est un arbre
53
k-consistance résolution de CSP

• Définition un CSP est résolut par un algorithme
  glouton (sans retour arrière  backtrack free 
  ) si pour un certain ordre des variables, on peut
  trouver une valeur pour chaque variable
  compatible avec les variables déjà affectées
• Trouver un niveau de consistance suffisant (le
  plus petit) pour résoudre un CSP?

54
k-consistance résolution de CSP

• Quelques observations
• pour éviter un retour arrière, une variable non
  instancié doit être compatible avec les variables
  instanciés.
• si au cours de la recherche de solution, toute
  variable non instancié est contrainte avec au
  plus k variables instanciés , on a besoin de la
  (k1)-consistance forte pour résoudre le CSP
  (sans backtrack)
• le nombre maximum de contraintes entre une
  variable non instancié et celles instanciés
  dépend de lordre des variables.
• Il est intéressant de trouver l ordre minimisant
  k

55
k-consistance résolution de CSP

• un graphe ordonné est un graphe muni d un ordre
  total sur les sommets
• Largeur d un sommet étant donné un graphe
  ordonné est le nombre sommets qui lui sont reliés
  et qui le précédent dans lordre.
• Largeur du graphe ordonnée est le maximum des
  largeurs de ses sommets.
• Largeur d un graphe est le minimum des largeurs
  de ces graphes ordonnés.

56
k-consistance résolution de CSP

• Théorème soit w la largeur du graphe de
  contraintes. Si le CSP est k-fortement consistant
  pour kgtw alors il existe un ordre des variables
  tq. le CSP peut être résolu par un algorithme
  glouton(sans retour arrière).
• Idée de preuve

Au plus w
57
D autres forme de consistances
(i,j)-Consistance

• k-consistance étends l instanciation des (k-1)
  variables à une nouvelle variable
• ? on supprime des (k-1)- tuples ne pouvant pas
  être étendu à une autre variable.
• Définition
• un CSP est (i,j)-consistent ssi toute
  instanciation consistante de i variables peut
  être étendue à j nouvelles variables.
• Un CSP est (i,j)-fortement consistant, ssi il
  est (k,j)-consistant pour tout k ?i
• Remarque
• k-consistance (k-1,1)-consistance AC
  (1,1)-consistance forte
• PC (2,1)-consistance forte

58
Formes de consistances inverse

• Définition (1,k-1)-consistance est appelée
  k-consistance inverse
• On supprime les valeurs qui ne peuvent pas être
  étendues de manière consistante à (k-1) nouvelles
  variables
• Chemin consistance inverse (PIC)
  (1,2)-consistance
• Consistance de voisinage inverse (NIC) (Freuder ,
  Elfe 1996)
• On supprime les valeurs de la variable V ne
  pouvant pas être étendues de manière consistante
  aux variables directement reliés à V

59
Filtrage pour les CSP généraux (n-aires)

• Toutes les méthodes de filtrages se généralisent
  aux CSP généraux parmi elles
• la consistance d arc
• une généralisation de la 2 consistance
  l interconsistance
• P (X,D, C) est interconsistant ssi les
  contraintes sont compatibles 2 à 2
• 1. ? Ci, Cj/ Ci ? Cj ??, RiCi ? Cj Rj Ci ?
  Cj ??
• 2. ? Ri, Ri ??
• ?issue des travaux sur les bases de données
  relationnellesBeeri al 83
• Intérêt
• condition plus forte que la consistance d arc
• consistance plus adaptée aux CSP n-aires
  (hypergraphes)

60
Filtrage par consistance d arc généralisé
X2
X3

• Soit P (X, D,C)
• X X1, X2, X3, X4 et
• D D1, D2, D3, D4,
• D1 D2 D3 D4 a,b
• C C1, C2, C3,
• C1 lt S1 , R1gt C2 lt S2 , R2gt C3 lt S3 , R3gt
  

a b
a b d
C1
C2
X1
X4
a b c
a b
C3
R1
R2
R3
61
Filtrage par interconsistance
X2
X3

• Soit P (X, D,C)
• X X1, X2, X3, X4 et
• D D1, D2, D3, D4,
• D1 D2 D3 D4 a,b
• C C1, C2, C3,
• C1 lt S1 , R1gt C2 lt S2 , R2gt C3 lt S3 , R3gt
  

a b
a b d
C1
C2
X1
X4
a b c
a b
C3
R1
R2
R3
62
Filtrages sommaire

• Diminution de l espace de recherche
• Coût raisonnable pour les consistances faibles
  (k?3)
• Le filtrage par k-consistance (kgt3) peut
  entraîner une modification de la structure du CSP
• Compromis il est souvent nécessaire de trouver
  le bon compromis entre le prétraitement et la
  recherche effective
• complexité du filtrage
• Efficacité pratique
• Bonne dans certains cas
• consistance d arc Vision Waltz
• consistances de chemin contraintes temporelles
• Faible parfois problèmes des 8 reines

63
Résolution de CSP

• Algorithme de base Backtrack
• Améliorer le Backtrack
• avant la recherche
• filtrages (consistance d arc, de chemin, )
• guider la recherche
• ordre de choix des variables
• ordre de choix des valeurs
• ordre de test des contraintes
• pendant la recherche
• approches prospectives (look-ahead) emploi de
  filtres
• approches rétrospectives (look-back) revenir
  à la cause déchec
• Critères d évaluation
• taille de l arbre de recherche nombre de tests
  de consistance

64
Les défauts du backtrack classique

• Parcours inutile de certaines zones de l espace
  de recherche
• (des valeurs trivialement incompatibles avec
  l instanciation courantes ne sont pas
  supprimées)
• Le retour arrière chronologique peut entraîner
  des répétitions d échecs causés par une même
  raison
• la taille de l espace de recherche dépend de
  l ordre
• d instanciation choisi

Linstanciation (a,b) pour X1, X2 provoquera des
échecs répétés sur X3 alors que la cause réelle
d échecs est l incompatibilité avec X4
X3
a b
?
X4
a b
?
?
X2
X1
a b
a b
65
Heuristiques d ordonnancement

• Principe du First-fail 
• Ordres
• vertical choix des variables
• horizontal choix de valeurs
• ordre de test des contraintes
• statique préétabli
• dynamique évolue pendant la recherche
• Heuristiques classiques
• choix de valeurs
• recherche d une solution choix les moins
  contraints
• recherche de toutes les solutions choix les
  plus contraints
• choix de variables
• en fonction de critères structurels degré,
  tailles des domaines , satisfiabilité des
  contraintes...

66
Heuristiques dordonnancement

• Choix de lordre des variables - un exemple
  Nadel
• sij est le taux de satisfiabilité de la
  contrainte Cij
• sij Rij / Di x Dj
• Trois heuristiques d ordonnancement des
  variables
• H1 le plus petit domaines d abord
• ? (X1, X2, X3, X4)
• H2 la variable de degré max d abord
• ? (X2, X3, X4, X1) ou (X2, X4, X3, X1)
• H3 contrainte la moins satisfiable d abord
• ? (X4, X3, X2, X1) ou (X3, X4, X2, X1)

X3
1 2 3
C34 X3 X42 s34 1/12
C23 X2 ? X3 s23 5/6
C24 X2 x X4 gt1 s24 7/8
1 2
1 2 3 4
X2
X4
C12 X1 ?X2 s12 1
1
X1
67
Exemple suite
H1 ? 29 noeuds
H1 X1 X2 X3 X4
1
1
2
1
2
3
1
2
3
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
H2 ? 32 noeuds
68
Exemple suite
H3 ? 19 noeuds
Nécessité de compromis entre les différents
critères Exemples 1. dom degre min dom, en
cas dégalité appliquer max degre 2. dom/degre
minimiser le rapport dom/degre Régin bessière
69
Heuristiques une approche multi-niveaux

• Bessière-Chmeiss-Saïs
• Objectif
• tenir compte des voisinages des variables
• ? orienter la recherche vers la partie dense du
  CSP (difficile)

70
Heuristiques une approche multi-niveaux

• Formulation général
• calcul de ? Peut être coûteux !!
• ? paramètre syntaxique simple (? )

71
Heuristiques une approche multi-niveaux

• Généralisation (niveaux)
• Instanciation de
• ?
  ,

72
Heuristiques une approche multi-niveaux

• Ordonnancement des variables
• une formulation générale
• paramétrable
• récupère la plus part des heuristiques connues
• multi-niveaux (notion de distance)
• calcul simple du poids des contraintes
• propriétés syntaxique
• pas de tests de consistance
• possibilité d utiliser différentes fonctions
  pour le calcul du poids des contraintes
• amélioration significative des heuristiques
  connues

73
Ordre de test des contraintes
Ordre lexicographique 47 tests de contraintes
H2 X2 X4 X3 X1
1
2
2
3
4
1
2
3
1
4
?
?
?
?
?
?
?
?
X2 x X4 gt1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ?
?
X2 ?X3 X3 X42
?
1
?
X1 ?X2
La contraintes la moins satisfiable dabord
31 tests
X3 X42 X2 ?X3
74
Améliorer le backtrack emploi de filtres

• Principe
• à chaque étape (1, ,k,n),
• on instancie une nouvelle variable Xk
• On filtre des valeurs devenues impossibles sont
  éliminées des domaines Di pour igtk
• Si un domaine Di devient vide, il y a alors
  retour arrière sur la variable
• précédente
• Plusieurs niveaux de filtrages
• Forward Checking (FC) (valeurs directement
  inconsistantes )
• Real Full Lookahead (RFL) , il exite deux version
  plus faible
• Partial Lookahead (PL),
• Full Lookahead (FL)
• Maintaining Arc Consistency FC AC
• AC est appliqué avant la recherche et à chaque
  étape(RFL)
• choix couple (var, valeur)

75
Forward Checking (FC) Haralick 80

• L étape de filtrage, quand on a instancié Xk par
  dk ne concerne que les variables Xi voisines de
  Xk avec igtk on supprime des Di les valeurs
  incompatibles avec dk.

X1
X2
Variables déjà instanciées
. .
Xk-1
Xk
d
Filtrage élimination des valeurs incompatibles
avec d
76
FC schéma dalgorithme

• Procédure Forward-cheking (D, ?, k)
• D (D1, , Dn), ? (d1,,dk)
• si k n alors ? est solution
• sinon
• pour tout Xi, igtk, Xi voisin de Xk faire
• Di Di
• pour tout di de Di faire
• si di et dk incompatibles alors
• Di Di-di
• fsi
• fpour
• fpour
• si pour tout i gtk, Di ? ? alors
• pour tout dk1 de Dk1 faire
• ? (d1,,dk,dk1)
• forward-Checking(D , k1)
• fpour
• fsi
• fsi

77
Real Full Lookahead (RFL) Harlick 80

• L étape de filtrage, quand on a instancié la
  k-ième variable, correspond à la suppression des
  valeurs des domaines qui ne vérifient pas la
  consistance d arc.
• ? Appelé aussi MAC (Maintaining Arc Consistency)
  
• AC est aussi appliqué avant la recherche

Variables instanciées
Variables non instanciées
Backtracking
Forward Cheking
Real Full Lokahead
78
Comparaison sur les 4-Reines
Forward cheking
Backtraking
Real Full Lookahead
79
M(AC)

• Chmeiss Saïs 2000
• Utilisation dynamique de PC ?
• Coût prohibitif !
• ? exploiter partiellement PC ? DPC
• M(AC) M(AC DPC)
• Propriété
• Idée déconnecter des variables du CSP
  (propriété)

80
M(AC) un exemple
graphe de largeur 2
arbre
81
M(AC) schéma général

• M(AC) schéma général
• 1. Maintenir larc consistance
• 2. Déconnecter singletons variable (str. arbre)
• 3. Maintenir la chemin consistance directionnelle
  
• 4. Déconnecter doubletons variables (str. Graphe
  lg. 2)
• 5. Choix dun couple (variable, valeur)
• 6. Aller à 1.

82
Efficacité expérimentale
BT FC RFL MAC

• Compromis à établir entre filtrage et recherche
• un filtre puissant entraine
• diminution en taille de l espace de recherche
• mais aussi ralentissement de recherche

noeuds
tests
83
Retour arrière  intelligent 

• Backjumping basé sur la structure Dechter 90
• En cas d échec sur une variable Xk, retour sur
  la variable voisine de Xk la plus récemment
  instanciée.

En cas d échecs sur X6
X1
X2
Puis ici
Revenir d abord ici
X3
X4
X5
X6
84
Constraint recording Dechter 90 Bruynooghe 84

• En cas d échecs, l instanciation courante
  constitue un ensemble de valeurs incompatibles
  (une contrainte mais il est possible que des sous
  instanciation soient également incompatibles)
• ? enregistrer les incompatibilités sous forme de
  contraintes (nogoods)
• limitation nécessaire car problème fortement
  combinatoire
• limiter la taille des nogoods
• ceci revient à obtenir la consistance partielle
  pendant la recherche et quand c est nécessaire
• similaire à dependency directed backtracking
  (voir partie SAT)

85
Constraint recording
X1
X
Y
a b c
X2
a b c

• Soit l instanciation X1 b, X2 b, X3 a,
  X4 b , X5 ?
• Ensemble conflit
• S1 X1b, X2 b, X3a, X4 b
• après simplification
• S2 X3a, X4 b car X1 et X2 ne sont pas
  connectés à X5
• ? suppression d un tuple de la contrainte (X3,
  X4)
• un ensemble de conflit minimal S3 X4b
• On peut être amené à modifier la structure du
  graphe de contraintes

X3
a b
Les valeurs de x sont inférieurs à celles de Y
dans l ordre lexicographique strict
X4
X5
a b
a b
86
Autres algorithmes

• Backjump Nadel 89
• Dependency directed backtraking Stallman 77
• Backmark Gaching 79
• etc.

87
Des questions

• Étude d algorithmes hybrides (filtre de
  puissance variable au cours de la recherche)
• problème d adaptation le filtre optimale
  n est pas le même suivant le problème testé
• plus généralement
• choix d heuristique et d algorithme devrait
  s adapter à l instance traitée

88
Classes polynomiales et méthodes de décompositions

• CSP binaires
• CSP généraux

89
Conditions liées à la structure

• Largeur d un graphe de contraintes
• graphe ordonnée ordre sur les sommets
• largeur d un sommet nombre de prédécesseurs
• largeur d un ordre largeur max des sommets
• largeur d un graphe largeur min des ordres

X5
X4
Graphe de largeur 2
Un ordre de largeur 2
90
Conditions liées à la structure

• Théorème Freuder 82
• Si le graphe de contraintes est de largeur k et
  le CSP est fortement (k1)-consistant alors le
  CSP est consistant et il existe un ordre
  d instanciation glouton
• Corollaire
• Si le graphe de contraintes est sans cycle et le
  CSP vérifie la consistance d arc alors le CSP
  est consistant et il existe un ordre
  d instanciation glouton
• Méthode
• filtrage par consistance d arc
• instanciation des variables selon un ordre de
  largeur 1

91
CSP structurés en k-arbre

• Un graphe G est un k-arbre si
• G est le graphe complet à k sommets, ou
• G a un sommet x de degré k dont le voisinage est
  un graphe complet, et le graphe obtenu en
  enlevant x et les arêtes qui lui sont incidentes
  est un k-arbre
• Théorème un CSP structuré en k-arbre peut être
  résolu en O(n.dk1)

Un 2-arbre
92
Cas polynomiaux CSP généraux

• Hypergraphes acycliques Beeri al 82
• la 2-section de l hypergraphe est triangulée et
  l hypergraphe est conforme (cliques max de la
  2-section arêtes de l hypergraphe)
• Algorithme de Graham 79
• on peut supprimer tous les sommets de
  l hypergraphe en appliquant les 2 opérations
• supprimer les sommets appartenant à une seule
  arête
• supprimer les arêtes incluses dans une autre
  arête
• Existence d un arbre de jointure

c1
X2
X3
c2
c1
X2, X4
X3
X1
c2
X1
X2
X5
X4
X5
X4
c3
c3
X4, X5
X6
X6
Hypergraphe acyclique
2-section
Arbre de jointure
93
Théorème de Freuder généralisé

• Théorème
• si l hypergraphe de contraintes est acyclique
  et le CSP est inter-consistant alors le CSP est
  consistant et il existe un ordre d instanciation
  glouton
• Méthode
• filtrage par inter-consistance
• instanciation selon un arbre de jointure

94
Méthodes de décomposition

• Basées sur la structure du (hyper)graphe de
  contraintes
• Idée se ramener à un (hyper)graphe acyclique
• 3 méthodes
• la méthode de l ensemble coupe-cycle
• la méthode du regroupement en arbre
• la méthode du regroupement cyclique

95
Methode de l ensemble coupe-cycle Dechter
Pearl 87

• Ensemble coupe-cycle ensemble de sommets d un
  graphe dont la suppression rend le sous-graphe
  induit acyclique
• Principe l instanciation d une variable
  correspond à sa suppression dans le sous-problème
  résultant
• ? si les variables du coupe-cycle sont
  instanciées, le sous-problème
• résultant est acyclique
• Méthode
• déterminer un ensemble coupe-cycle E ? X
• trouver une instanciation consistante des
  variables de E
• filtrer par consistance d arc le sous-problème
  induit par cette instanciation
• si le CSP obtenu est non vide, appliquer la
  méthode de résolution relative aux arbres
• complexité exponentielle en E
• Problèmes
• calcul d un E de taille minimale est
  NP-difficile
• taille du coupe-cycle peut être grande

96
Regroupement en arbre Dechter Pearl89

• Principe recouvrement d un graphe de
  contraintes par les arêtes d un hypergraphe
  acyclique
• création d un CSP n-aire acyclique équivalent
• Méthode
• triangulation du graphe de contraintes
• recherche des cliques maximales sur le graphe
  triangulé
• génération de l hypergraphe associé aux cliques
• obtention d un CSP n-aire en définissant des
  contraintes à partir des arêtes de l hypergraphe
  par la résolution des cliques (sous problèmes)
• résolution du CSP n-aire acyclique (polynomial)
• Complexité O(n A dA ) si A est la plus
  grande arête
• Problèmes
• minimiser la taille de A est NP-difficile,
• la taille de A peut être grande

97
Regroupement en arbre
98
Regroupement cyclique

• Constations
• ensemble coupe-cycle inefficace face aux cliques
• regroupement en arbre modifie la structure du
  problème
• méthode mixte
• ensemble coupe-cycle et regroupement en arbre
• s adapter à la structure du problème sans la
  modifier
• méthode pour un graphe de contrainte G (X,C)
• recherche d un sous graphe G (X , C )
  triangulé maximal
• recherche et résolution des cliques max de G 
• obtention d un CSP n-aire en prenant comme
  contraintes les cliques max de G  et les
  contraintes C-C 
• résolution du CSP n-aire par la méthode de
  l ensemble coupe-cycle avec X-X 

99
Regroupement cyclique
100
Extensions

• CSP  standard 
• ne suppose aucune propriété sur les domaines et
  les contraintes
• ensemble complet et rigide de contraintes données
  a-priori
• ? deux types d extensions

101
Extensions

• Tenir compte des propriétés des domaines et des
  contraintes - dépend des applications
• ? autres méthodes de propagation
• ? rendre plus efficaces les algorithmes
  existants
• exemples
• contraintes sur des intervalles Davis 87
• Contraintes sur des domaines continues (CSP
  continus)
• Contraintes hiérarchique (e.g. préférences i.e.
  contraintes forte faible)
• contraintes dinégalité
• contraintes fonctionnelles David 92
• Lever les obligations de satisfaire toutes les
  contraintes ou de connaître a-priori toutes les
  contraintes
• ? souvent changement d énoncé
• Max-CSPVerfaillie Scheix, Partial CSP,
  Freuder Wallace,optimisation
• CSP probabiliste Rosenfeld 76, CSP floue
  Fargier al 92 Schiex 92...
• CSP dynamiquesBessière 91 Prosser 92 ...

102
CSP flou  Fuzzy CSP  (FCSP)

• A CSP flou (FCSP) est définit par
• un ensemble de variables Xx1,...,xn,
• un ensemble de domaines DD1, , Dn, fini et
  discret
• un ensemble de contraintes chaque contrainte c
  est définit par une fonction floue fl (c, A),
  qui associe un réel entre 0 et 1 pour chaque
  tuple de valeurs compatible.
• La fonction floue fl associe un niveau de
  préférence entre 0 et 1 aux tuples de valeurs 0
  représente le tuple le moins préféré et 1 le
  tuple le plus préféré.
• Une solution pour un FCSP est une affectation de
  valeurs aux variables, maximisant l expression
  minfl(c,A) c une contrainte du FCSP pour
  toute les affectations A possible.

103
CSP probabiliste  Prob CSP 

• Un CSP probabiliste (Prob-CSP) est définit par
• un ensemble de variables Xx1,...,xn,
• un ensemble de domaines DD1, , Dn fini
  discret
• un ensemble de contraintes, chaque contrainte c
  admet une probabilité p(c) de faire partie du
  CSP.
• P(c) signifie que la contrainte apparaît dans le
  CSP probabiliste avec une probabilité P.
• remarque la probabilité d une contrainte est
  indépendante des autres contraintes.
• Une solution pour un Prob-CSP est une affectation
  de valeurs aux variables de manière
• À maximiser la sommeproduitp(c)) c une
  contrainte de S S est un sous ensemble de
  l ensemble de contraintes satisfaite par A pour
  toutes les affectations A possible.

104
Weighted CSP (WCSP)

• Un WCSP est définit par
• un ensemble de variables Xx1,...,xn,
• un ensemble de domaines DD1, , Dn fini
  discret
• un ensemble de contraintes, chaque contrainte c
  est définit par une fonction coût(c,A), affectant
  un réel positif pour chaque tuple de valeurs.
• Une solution du WCSP une affectation de valeurs
  aux variables maximisant la sommew(c,A) c est
  une contrainte du FCSP pour toutes les
  affectations possible A.

105
Max CSP

• Un Max CSP est un CSP classique pour lequel on
  cherche une affectation satisfaisant le maximum
  de contraintes.
• Algorithme utilisée
• incomplets recherche local
• complets branch bound

106
Autres techniques de simplifications

• Substituabilité de Voisinage Freuder 91
• Définition soient P (X,C,D) une CSP, et a, b
  ? Dxi , a est dite voisinage substituable à b ssi
  pour tout Xj tq. (Xi,Xj) ? C, l ensemble des
  valeurs de Dxj compatible avec b sont aussi
  compatible avec a.
• Théorème soient P (X,C,D) une CSP, et a, b ?
  Dxi , a est dite voisinage substituable à b,
  alors le CSP P obtenu en supprimant b de Dxi est
  consistant ssi P est consistant
• Peut-on étendre la voisinage substituabilité ?

107
(No Transcript)
108
Conditions liées aux domaines

• Conditions liées aux domaines Dechter 89
• Théorème
• Si la taille maximum des domaines est k et si le
  CSP est fortement (k1) consistant alors le CSP
  est consistant et il existe un ordre
  dinstanciation glouton
• Corollaire Algorithme polynomiale si la taille
  des domaines est 2