Enumration des permutations motif exclu

1
Enumération des permutations à motif exclu

• Stage effectué au DSI de luniversité de
  Florence, Italie, sous la direction de Renzo
  Pinzani.

2
Plan de lexposé

• Les grands principes de la méthode ECO
• Lexemple des chemins de Dyck
• Définition et résultats à connaître sur les
  permutations à motif(s) exclu(s)
• Le problème spécifique des permutations à motif
  exclu de longueur fixée
• Une nouvelle statistique sur les permutations
  évitant un motif généralisé de type (1,2) ou
  (2,1)

3
Méthode ECO lidée essentielle

• ECO Enumeration of Combinatorial Objects
• Une classe dobjets combinatoires munie dun
  paramètre
• Étudier comment le nombre dobjets évolue en
  fonction de la valeur du paramètre
• Envisager une construction récursive des objets
  combinatoires considérés

4
Méthode ECO aspects théoriques

• Classe C munie dun paramètre p (taille)
• Cn x ? C p(x) n
• Trouver un opérateur ? C -gt 2C tel que ?(Cn)
  Cn1 et qui ne génère pas de doublons
• ? fonctionne en insérant un petit bloc dobjet
  dans des sites actifs.
• Ensemble des sites actifs frontière.

5
Méthode ECO aspects théoriques

• Petit exemple
• 1 4 3 6 5 7 2

8 8 8 8 8 8 8 8
8 permutations distinctes de longueur 8.
6
Méthode ECO aspects théoriques

• T vérifie deux conditions
• Pour tout Y ? Cn1, il existe X ? Cn tel que Y ?
  ?(X)
• Pour tous X1 et X2 ? Cn , si X1 ? X2, alors
• ?(X1) ?(X2) Ø

U
7
Méthode ECO aspects théoriques

• T description récursive de la classe C.
• Mène parfois à une équation fonctionnelle
  vérifiée par la fonction génératrice de C.
• Fonction génératrice T(x) Sn ? N an xn
• où an est le cardinal de Cn .

8
Méthode ECO aspects théoriques

• Opérateur ?

Arbre de génération
4321, 3421, 3241, 3214
321
4231, 2431, 2341, 2314
21
231
4213, 2413, 2143, 2134
213
1
4312, 3412, 3142, 3124
312
4132, 1432, 1342, 1324
132
12
4123, 1423, 1243, 1234
123
9
Méthode ECO aspects théoriques

• Règles de réécriture
• Chaque objet a une étiquette.
• Une étiquette permet seule de trouver les
  étiquettes des fils.
• Souvent étiquette de X nombre de fils de X
• cardinal de ?(X)

10
Méthode ECO aspects théoriques

• Exemple dune règle de réécriture

(2)
(k)
gt (2) (3) ... (k) (k1)
11
Exemple les chemins de Dyck
12
Exemple les chemins de Dyck
pas
longueur
13
Exemple les chemins de Dyck
pic
dernière descente
vallée
14
Exemple les chemins de Dyck

• pas NE pas SE demi-longueur
• Dn chemins de Dyck de longueur 2n
• d ? Dn , ?(d) chemins obtenus à partir de d en
  insérant un pic dans chaque point
  de la dernière descente de d
• Frontière points de la dernière descente de d

15
Exemple les chemins de Dyck

• Arbre de génération des chemins de Dyck

16
Exemple les chemins de Dyck

• Étiquette nombre de sites actifs nombre de
  points de la dernière descente
• Étiquette du chemin de Dyck racine (2)
• d ? D avec k sites actifs -gt k chemins de Dyck
• avec des dernières descentes contenant
• 2, 3, , k, k1 points

17
Exemple les chemins de Dyck
Sites actifs

• (2)

(k)
gt (2) (3) ... (k) (k1)
18
Exemple les chemins de Dyck

• d ? D
• n(d) demi-longueur et f(d) frontière
• Fonction génératrice T(x,y) Sd ? D xn(d)yf(d)
• On cherche T(x,1).
• T(x,y) xy² Sd ? D Si?2, , f(d)1xn(d)1yi
• Après calcul
• T(x,y) xy²1 (y-1)-1(T(x,y) T(x,1))

19
Exemple les chemins de Dyck

• T(x,1) (1- (1-4x)1/2 )(2x)-1 -1
• Fonction génératrice des nombres de Catalan !
• T(x,1) Sd ? D xn(d) Sn ? N an xn avec an
  Dn
• Conclusion Dn Cn (n1)-1( 2nn )

20
Permutations à motif(s) exclu(s)

• Sn ensemble des permutations de 1,2, , n
• S est lunion des Sn , n ? N.
• Une représentation des permutations
• p 1 -gt 4 4 -gt 2
• 2 -gt 6 5 -gt 3
• 3 -gt 1 6 -gt 5
• p 4 6 1 2 3 5

21
Permutations à motif(s) exclu(s)

• Soient p et s deux permutations, telles que p est
  plus longue que s. s est appelée un motif.
• Notons n la longueur de p et m celle de s.
• p contient s sil existe 1 i1 lt i2 lt i3 lt i4 lt
  lt im n tels que p(i1)p(i2)p(i3)p(i4)p(im) soit
  isomorphe en ordre à s.
• p évite s dans le cas contraire.

22
Permutations à motif(s) exclu(s)

• Exemple de permutation contenant un motif
  15682437 contient le motif 312.
• Exemple de permutation évitant un motif
  85143267 évite le motif 231.
• On sintéresse à lénumération des permutations à
  motif(s) exclu(s). On note Sn(P) les permutations
  de longueur n évitant lensemble de motifs P.

23
Permutations à motif(s) exclu(s)

• Les motifs généralisés 1-23, 12-3, 1-32, 13-2,
  2-13, 21-3, 2-31, 23-1, 3-12, 31-2, 3-21,
  32-1.
• Ils sont de type (1,2) ou (2,1) selon le nombre
  déléments avant et après le tiret.
• Notion de permutation contenant ou évitant un
  motif généralisé comme pour les motifs
  classiques, mais les deux chiffres adjacents dans
  le motif doivent correspondre à deux éléments
  adjacents dans la permutation.

24
Permutations à motif(s) exclu(s)

• Exemple de permutation contenant le motif
  généralisé 21-3 1452376.
• Une permutation peut contenir 123 sans contenir
  12-3 7162534 par exemple.
• Il en va de même pour tous les motifs
  généralisés.

25
Permutations à motif(s) exclu(s)

• Opérations de miroir et de complément
• pr (i) p(n1-i)
• pc (i) n1-p(i)

• Les trois classes de symétrie
• 1-23, 3-21, 32-1, 12-3
• 3-12, 21-3, 1-32, 23-1
• 2-13, 31-2, 2-31, 13-2

Catalan Cn Catalan Cn Bell Bn
26
Permutations à motif(s) exclu(s)

• Représentation en portée exemple de 632514.

27
Permutations à motif(s) exclu(s)

• Sites actifs dans la représentation en portée

sites actifs
28
Permutations à motif(s) exclu(s)

• Génération des permutations filles

29
Sujet particulier du stage

• Enumération des permutations à
• motif exclu de longueur fixée

30
Les motifs 1-k2 et 2-k1

• p ? Sn évite 1-k2(resp. 2-k1) si pour tout i,
  p(i) gt
  p(ik1) (resp. p(i) lt p(ik1) )
• 1-k2 et 2-k1 sont miroirs lun de lautre, donc
  lénumération des permutations évitant 1-k2
  suffit.
• Pour 1-02, il existe une unique permutation dans
  chaque Sn qui évite ce motif celle qui est
  décroissante.

31
Les motifs 1-k2 et 2-k1

• Étude pour 1-12 avec la méthode ECO et la
  représentation en portée.
• Étiquette de p ? Sn(1-12) (p(n-1), p(n)).
• Si p ? Sn(1-12), alors p(n-1)1 ou p(n)1.
• Étiquettes de la forme (1,x) ou (x,1).

32
Les motifs 1-k2 et 2-k1

• Construction de la règle de réécriture
• La permutation 1 ne rentre pas dans le cas
  général de létiquetage.
• Les permutations 12 et 21 évitent le motif 1-k2
  et ont pour étiquettes respectives (1,2) et
  (2,1).

33
Les motifs 1-k2 et 2-k1

• Filles dune permutation étiquetée (1,x)

n
. . .
(1,x) gt (x1,1)
x
. . .
1
34
Les motifs 1-k2 et 2-k1

• Filles dune permutation étiquetée (x,1)

n
. . .
(x,1) gt (1,x)(1,3)(1,2)(2,1)
x
. . .
1
35
Les motifs 1-k2 et 2-k1

• Remarque (2,1) produit (1,2) et (2,1) donc la
  permutation 1 est logiquement étiquetée (2,1).
• Règle de réécriture
• (2,1)

(x,1) gt (1,x)(1,3)(1,2)(2,1)
(1,x) gt (x1,1)

• Résultat Sn(1-1 2) n! / (n/2!
  (n1)/2!)

36
Les motifs 1-k2 et 2-k1

• Étude pour 1-22 règle de réécriture à
  étiquettes triples
• Calcul des premières valeurs permet de formuler
  une conjecture
• Sn(1-22) n! / (n/3! (n1)/3! (n2)/3!)
• Similaire à Sn(1-12) n! / (n/2! (n1)/2!)
• Idée Sn(1-k2)
• n! / (n/(k1)! (n1)/(k1)!
  (nk)/(k1)!)

37
Les motifs 1-k2 et 2-k1

• Exemple des permutations évitant 1-32
• _at__at__at__at__at__at__at__at_
• Comme pour 1-02, la séquence des , celle des
  ,celle des _at_ et celle des sont des
  décroissantes.
• Il suffit de constituer 4 paquets de la bonne
  taille, de classer leur éléments par ordre
  décroissant et décrire les paquets en quinconce.
  

38
Perm. à motif exclu de longueur fixée

• Définitions
• Les motifs de longueur fixée sont les suivants
• 1-k23, 12-k3, 1-k32, 13-k2, 2-k13, 21-k3,
  2-k31, 23-k1, 3-k12, 31-k2 3-k21 32-k1 k ?
  N
• Comme précédemment, le symbole k exprime un saut
  de k éléments.
• Par exemple, p évite 1-k32 sil nexiste aucun
  indice i tel que p(i) lt p(ik2) lt p(ik1).

39
Perm. à motif exclu de longueur fixée

• Quelques valeurs

40
Perm. à motif exclu de longueur fixée

• Nombreuses voies de recherche explorées.
• Aucune fructueuse
• Règles de réécriture complexes mais on peut
  tenter une étude.
• On cherche à dégager une méthode à partir des
  règles de réécriture des motifs généralisés sans
  la contrainte de longueur.
• Cette étude réserve de belles surprises !

41
Le résultat principal du stage

• Il sagit dune nouvelle statistique sur les
  permutations évitant un motif généralisé de type
  (1,2) ou (2,1) la distribution de ces
  permutations selon la longueur et la valeur du
  premier (ou du dernier) élément.
• Résultat pour un motif dans chaque classe de
  symétrie, puis opérateur miroir et complément
  pour étendre le résultat aux autres motifs.

42
Distribution des perm. évitant 1-23

• Étude grâce à la méthode ECO, avec une
  représentation en portée des permutations.
• Règle de réécriture.
• Arbre de génération.
• Obtention dune matrice dont les coefficients
  satisfont une récurrence, et calcul dune forme
  close de ces coefficients.
• Interprétation des coefficients de cette matrice.
• Distribution selon la longueur et la valeur du
  dernier élément des permutations évitant 1-23.

43
Distribution des perm. évitant 1-23

• Étiquette dune permutation de Sn(1-23) possédant
  k sites actifs (k,n).
• Soit p ? Sn(1-23) étiquetée par (k,n).
• Distinguons deux cas selon que p(n) 1 ou non.

44
Distribution des perm. évitant 1-23
n
. . .
k
. . .
1
45
Distribution des perm. évitant 1-23
n
. . . . . .
1
46
Distribution des perm. évitant 1-23

• En résumé
• p ? Sn(1-23) telle que p(n)k?1 génère k permu-
  -tations de Sn1(1-23) finissant par 1, 2, , k.
• p ? Sn(1-23) telle que p(n)1 génère n1 permu-
  -tations de Sn1(1-23) finissant par 1, 2, ,
  n1.
• p ? Sn(1-23) telle que p(n)k?1 a pour étiquette
  (k,n).
• p ? Sn(1-23) telle que p(n)1 a pour étiquette
  (n1,n).

47
Distribution des perm. évitant 1-23

• Règle de réécriture

(2,1) (k,n) gt (2,n1)(3,n1)(k,n1)
(n2,n1)
(n2,n1)
(k) gt (2) (3) (k)
(n2)
48
Distribution des perm. évitant 1-23

• Arbre de génération simplifié à partir de la
  règle de réécriture simplifiée
• Au niveau n dans larbre de génération, une
  étiquette (k) a pour filles (2) (3) (k) et
  (n2) au niveau n1.

49
Distribution des perm. évitant 1-23
Niveaux
2
1
2
2
3
3
2
3
4
4
2
4
2
5
2
2
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
5
50
Distribution des perm. évitant 1-23

• On construit une matrice M telle que M(i,j)
  représente le nombre détiquettes j1 au niveau
  i.
• 1 0 0 0 0 0 . . .
• 1 1 0 0 0 0 . . .
• 2 1 2 0 0 0 . . .
• 5 3 2 5 0 0 . . .
• 15 10 7 5 15 0 . . .
• 52 37 27 20 15 52 . . .
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51
Distribution des perm. évitant 1-23

• Récurrence dans M M(n,k) Sk i n-1 M(n-1,i).
• Deux points importants pour linterprétation des
  coefficients de M
• p ? Sn(1-23) a k sites actifs ssi p(n)k, 2kn.
• p ? Sn(1-23) a n1 sites actifs ssi p(n)1.
• Transfert de la diagonale en première colonne
  pour obtenir la matrice de distribution cherchée.

52
Distribution des perm. évitant 1-23

• selon la longueur (indices des lignes) et la
  valeur du
• dernier élément (indices des colonnes) matrice
  A
• 1 2 3 4 5 6
• 1 1 0 0 0 0 0 . . .
• 2 1 1 0 0 0 0 . . .
• 3 2 2 1 0 0 0 . . .
• 4 5 5 3 2 0 0 . . .
• 5 15 15 10 7 5 0 . . .
• 6 52 52 37 27 20 15 . . .
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53
Distribution des perm. évitant 1-23

• Calcul des coefficients de A la récurrence sur
  M se transforme en une récurrence sur A qui se
  simplifie en A(n,k) A(n,k-1) A(n,k-2).
• Forme close des coefficients de A
• A(n,k) ?k-2(Bn-1).

54
Conclusion

• Distribution des permutations évitant 1-23 selon
  leur longueur et la valeur de leur dernier
  élément
• p ? Sn(1-23) p(n) 1 Bn-1 , n 1
• p ? Sn(1-23) p(n) k ?k-2(Bn-1) , 2 k
  n

55
Conclusion

• Ce résultat sétend aux autres éléments de la
  classe de symétrie de 1-23 par miroir et
  complément.
• Pour les autres classes de symétrie, les études
  menées pour 3-12 et 2-13 mènent à des résultats
  similaires.
• Pour chaque motif généralisé une nouvelle
  statistique.

56
Conclusion

• Après létude pour un motif exclu, on se demande
  souvent ce qui se passe quand on étudie les
  permutations évitant simultanément plusieurs
  motifs.
• Première étude pour la paire de motifs 1-23 et
  1-32 a donné une statistique plus faible mais
  tout reste à explorer !