Le regionnement du plan chez les lves brsiliens : une exprience avec graphequation'

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Le regionnement du plan chez les élèves
brésiliens une expérience avec graphequation.

• Marilena Bittar
• Departamento de Matemática Mestrado em Educação
  
• Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
  Brasil
• marilena_at_dmt.ufms.br
• Equipe Did_at_TIC

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Plan de lexposé

• Introduction
• Le régionnement du plan dans lenseignement
• Létude des difficultés délèves
• Classe de Première
• Formation initiale des enseignants
• En guise de conclusion

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Introduction

• Thèse en France (1998) Les vecteurs dans
  lenseignement secondaire. Aspects outil et objet
  dans les manuels. Etude de difficultés délèves
  dans deux environnements papier crayon et
  Cabri-Géomètre II.

• Enseignement des vecteurs TCC (Vergnaud, 1990)
• Lutilisation dun environnement informatique
  satisfaisant à certains critères, doit permettre
  la mise en évidence et létude des invariants
  construits par les élèves.
• Quelles sont les conditions didactiques
  susceptibles de déstabiliser un invariant et de
  permettre de développer de nouvelles règles
  daction en situation, voire de construire des
  nouveaux invariants?

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Introduction
Théorèmes-en-acte

• Si un vecteur (représentant) est situé dans le
  premier quadrant alors il a des coordonnées
  positives, dans le troisième quadrant il a des
  coordonnées négatives et dans les deux autres cas
  elles ont des signes différents autrement dit,
  les coordonnées dun vecteur dépendent de sa
  position dans le plan.

• Le vecteur directeur dune droite est attaché
   géométriquement  à la droite (il est sur la
  droite).

. . .
Les caractéristiques géométriques attachées aux
vecteurs contribuent à créer la difficulté
rencontrée par les élèves pour construire des
invariants qui ne dépendent pas de ces
caractéristiques.

• nouvelles technologies
• outil pour accéder (et modéliser) aux (les)
  connaissances des élèves
• outil pour aider les élèves à acquérir des
  connaissances mathématiques.

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Introduction

• Retour au Brésil
• travail dans sciences de léducation
  nouvelles technologies

Nouveaux champs théoriques
Comprendre le processus dintégration des NT dans
lenseignement (Bittar, 1999)
Informatisation des établissements
Enseignement à distance
Usage dans lenseignement présentiel (un domaine
particulier un projet du cours travail sur
linformatique)
nouvelles technologies pour comprendre les
difficultés délèves et les aider à les
surmonter Groupe EEMA
Nouveau projet de recherche
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Le régionnement du plan

• Sujet présent implicitement dans lenseignement
  secondaire au Brésil

• Géométrie Synthétique angle (Lima, 2000) /
  région triangulaire / polygonale (5ème-3ème)
• Géométrie Analytique - inéquations / plan
  cartésien (a partir de la Troisième)
• Etude des Fonctions graphe et domaine dune
  fonction (Seconde)

• Sujet présent explicitement dans lenseignement
  universitaire et générateur de difficultés

• Calcul Différentiel - aire dune région, ou
  volume dune surface

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Le régionnement du plan dans lenseignement
ENEM 1999 (315.960 élèves 23,8 )
José et Antônio vont partir en voyage, chacun
prend sa voiture. Ils ont décidé de se suivre et
ont fixé un rendez-vous pour le départ. Ils
devraient arriver à cet endroit, de façon
indépendante, entre 12h et 13h. Pour ne pas
attendre trop longtemps, ils ont décidé que le
premier à arriver sur le lieu de rencontre,
devrait attendre au maximum 30 minutes après quoi
il devrait partir.

• Indiquer lensemble de points qui représente
  lévénement  José et Antônio sont arrivés à la
  même heure .

2) Daprès ce qui a été fixé, pour que José et
Antônio voyagent ensemble, il faut que y-x1/2 ou
que x-y1/2. Alors les possibilités que José et
Antônio ont de voyager ensemble sont de
a) 0 b) 25 c) 50
d) 75 e) 100
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Le régionnement du plan dans lenseignement
Provão 98
Provão 99
Provão 2002
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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Classe de
  Première - 2001

Choix et Méthodologie de recherche

• Classe de Première
• Concepts connus (graphe de fonctions du 1er et
  2ème degré régions du plan définies par des
  courbes  connues  propriétés géométriques des
  quadrilatères )
• Séances intégrées au cours
• Graphequation (exemple)
• Familiarisation avec le logiciel
• Elaboration et réalisation du projet de chaque
  élève

Tâche La région est donnée (définie par le
dessin de lélève) et il faut trouver les
relations mathématiques à entrer dans
graphequation pour obtenir cette région.
Théorie des situations - la dévolution à lélève
dune situation adidactique
Comment les élèves vont sy prendre pour
construire les régions (ou pour tracer les bords
des régions) ? Quels concepts mettront-ils en
uvre ?
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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Classe de
  Première - 2001

Connaissances en jeu localisation dun point
sur le plan équation de droite parallèle aux
axes.
Connaissances en jeu équation dune droite par
deux points équation du cercle (intérieur)
inéquation du premier degré équation dune
droite parallèle à une autre droite inéquation
du deuxième degré fonction valeur absolue.
Connaissances en jeu équation dune droite par
deux points équation du cercle (intérieur)
inéquation du premier degré graphe des
fonctions sinus et cosinus inéquation du
deuxième degré.
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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Classe de
  Première - 2001

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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Classe de
  Première - 2001

• Principales difficultés rencontrées
• Équation dune droite passant par deux points
• Point intersection de deux droites
• Condition analytique que doit satisfaire un point
  appartenant à une région du plan située  entre 
  deux droites (courbes).
• Point sur une courbe (au dessus, en dessous)
• La définition analytique dun cercle

• Classe de Première
• Concepts connus ()
• Séances intégrées au cours
• Graphequation
• Familiarisation avec le logiciel
• Elaboration et realisation du projet de chaque
  élève

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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Classe de
  Première - 2001

• Principales difficultés rencontrées
• Équation dune droite passant par deux points
• Point intersection de deux droites
• Condition analytique que doit satisfaire un point
  appartenant à une région du plan située  entre 
  deux droites (courbes).
• Point sur une courbe (au dessus, en dessous)
• La définition analytique dun cercle

• Classe de Première
• Concepts connus ()
• Séances intégrées au cours
• Graphequation
• Familiarisation avec le logiciel
• Réalisation dune séquence dexercices pour
  réviser certains concepts (équation dune droite
  et fonction linéaire régions simples du plan)
• Elaboration et realisation du projet de chaque
  élève

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Séquence dexercices autour du concept de
fonction linéaire et régions délimités par droites

• Droite passant par lorigine
• Rapport entre coefficient directeur et
  inclinaison dune droite.

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Séquence dexercices autour du concept de
fonction linéaire et régions délimités par droites

• Droite passant par lorigine
• Rapport entre coefficient directeur et
  inclinaison dune droite.

Droites passant par un point fixe ordonnée à
lorigine.
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Séquence dexercices autour du concept de
fonction linéaire et régions délimités par droites
Appartenance dun point à une droite
Equation dune droite par 2 points
Droite parallèle à Oy
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Séquence dexercices autour du concept de
fonction linéaire et régions délimités par droites
Appartenance dun point à une droite
Equation dune droite par 2 points
Droite parallèle à Oy
Demi plan
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Séquence dexercices autour du concept de
fonction linéaire et régions délimités par droites
Appartenance dun point à une droite
Equation dune droite par 2 points
Droite parallèle à Oy
Demi plan
Un quart du plan
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Séquence dexercices autour du concept de
fonction linéaire et régions délimités par droites
Appartenance dun point à une droite
Equation dune droite par 2 points
Droite parallèle à Oy
Demi plan
Un quart du plan

• Segment (dans graphequation)
• Région illimitée
• Région limitée

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Séquence dexercices autour du concept de
fonction linéaire et régions délimités par droites
Objectif Réinvestissement.

• La réalisation de la séquence a durée deux
  séances
• Pendant la réalisation les élèves avaient
  toujours en tête leur projet et essayaient den
  tirer des leçons qui pourraient les aider après.

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Séquence dexercices autour du concept de
fonction linéaire et régions délimités par droites
Pendant la réalisation de la séquence les élèves
ont été aidés par lenseignante et moi- même.
Pour la réalisation du projet individuel,
certains élèves ont gardé la même proposition,
dautres ont changé pour proposer quelque chose
plus proche de ce quils avaient vu dans la
séquence dexercices. Négociation du contrat
didactique.
Les concepts sous-jacents aux projets des élèves
étaient autour de équation dune droite,
équation de la parabole équation du cercle et
graphe des fonctions sinus et cosinus.
Il y a encore eu une grande difficulté pour
réaliser la tâche.
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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Classe de
  Première - 2001

Conclusion
Deux élèves sur douze (2/12) ont accompli le
projet en respectant le contrat. Les élèves ne
sont pas entrés dans le jeu (dévolution)
car
lenseignement tel quil est fait ne permet pas
aux élèves de mobiliser les connaissances
nécessaires.
Faire une séquence plus longue qui prenne en
compte cet absence.
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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Futurs
  Enseignants - 2002

Choix et Méthodologie de recherche

• Formation initiale des enseignants
• Concepts connus
• Séances non intégrées au cours
• Etudiants des 3 dernières années de la formation
• Graphequation
• Familiarisation avec le logiciel
• Durée 10 étudiants, 1 rdv par semaine, pendant
  3 mois.
• Elaboration et réalisation des projets de chaque
  étudiant (exemple)

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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Futurs
  Enseignants - 2002

Exemples de projets
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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Futurs
  Enseignants - 2002

Premiers constats

• Difficultés au niveau du contenu
• Caractérisation analytique dun point du plan
  (entre deux courbes, sur une courbe, au dessus
  et en dessous dune courbe) équation dune
  droite équation dune courbe.

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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Futurs
  Enseignants - 2002

Premiers constats

• Difficultés au niveau du contenu
• Caractérisation analytique dun point du plan
  (entre deux courbes, sur une courbe, en dessus
  et au dessous dune courbe) équation dune
  droite équation dune courbe.
• Blocage  émotionnel  du à lobligation
  implicite de connaître ces contenus.

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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Futurs
  Enseignants - 2002

Premiers constats

• Difficultés au niveau du contenu
• Caractérisation analytique dun point du plan
  (entre deux courbes, sur une courbe, en dessus
  et au dessous dune courbe) équation dune
  droite équation dune courbe.
• Blocage  émotionnel  du à lobligation
  implicite de connaître ces contenus.

• Etudiants plus motivés que les élèves ? sont
  rentrés dans le jeu (recherche dans des livres
  les a rendu autonomes).

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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Futurs
  Enseignants - 2002

Premiers constats

• Difficultés au niveau du contenu
• Caractérisation analytique dun point du plan
  (entre deux courbes, sur une courbe, en dessus
  et au dessous dune courbe) équation dune
  droite équation dune courbe.
• Blocage  émotionnel  du à lobligation
  implicite de connaître ces contenus.

• Etudiants plus motivés que les élèves ? sont
  rentrés dans le jeu (recherche dans des livres
  les a rendu autonomes).
• Les concepts mathématiques en jeu étaient des
  outils pour  faire un dessin  ce qui a donné un
  sens aux concepts (pour eux).

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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Futurs
  Enseignants - 2002

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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Futurs
  Enseignants - 2002

Exemple de difficulté rencontrée par un étudiant
due au manque de connaissance sur léquation
dune droite.
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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Futurs
  Enseignants - 2002

Evolution des constructions faites par une
étudiante
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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Futurs
  Enseignants - 2002

Remarques
Les étudiantes cherchaient à traduire les
 bords  de la région par des morceaux de graphe
de fonctions, sauf dans des cas particulier, tels
que le cercle et lellipse.
Concepts choisis (indirectement) par les
étudiants respect du contrat.
Comme les étudiants voulaient exprimer le bord
dune région par le graphe dune fonction ils ont
utilisé le concept de graphe de fonction,
fonction définie implicitement et domaine de
définition dune fonction.
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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Futurs
  Enseignants - 2002

Remarques
Il y a différentes solutions pour un même
problème
Différents nombres de relations utilisées pour un
même dessin
Variable nombre déquations
Optimisation
Variable de la situation due à la version du
logiciel nombre déquations possible (maximum
15).
Recherche doutils (mathématiques) plus
performants
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• Létude des difficultés délèves autour de la
  notion de régionnement du plan Futurs
  Enseignants - 2002

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• En guise de conclusion

Le travail (chez les élèves) a basculé sur les
fonctions (à la recherche dune fonction dont le
graphe représentait la courbe souhaitée).
Dans les choix de la situation, la variable
 nombre maximal de relations  napparaissait
(presque) pas mais elle a joué un rôle important
dans le déroulement des séances, surtout avec les
étudiants. Un nouveau  jeu  sest mis en place
celui de réussir le dessin avec le plus petit
nombre de relations.
Lenjeu de chaque expérimentation na pas été le
même pour les élèves et étudiants car les
derniers avaient plus de conscience a propos des
concepts en jeu (les mathématiques étaient plus
visibles chez eux).
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• Perspectives

• Il faut affiner un travail sur la place du
  concept  régionnement du plan  dans
  lenseignement brésilien
• Faire des nouvelles expérimentations en classe de
  Terminale et en Licence en Mathématiques
  (analyser les évolutions délève,)
• Etude sur les conceptions autour de définition et
  graphe dune fonction.

Etude des conceptions des élèves travaillant dans
un environnement informatique ? modèle ck /
Aplusix / lenseignement de lalgèbre
A suivre