Eksamensopgave i statistik for FSV-kandidatstuderende

1
Eksamensopgave i statistik for FSV-kandidatstudere
nde maj 2002

• d. 28. oktober
• Volkert Siersma

2
Eksamensopgave

• 2 uger
• Max. 30 sider

Det skal gøres hurtigere nu at vi har kun to
timer. Til gengæld skal vi ikke holde tilbage med
at se på tabeller og figurer for at underbygge
vores valg.
3
Eksamensopgave

• For at belyse, hvorledes koncentrationen af et
  bestemt væksthormon afhænger af køn, alder, BMI
  og kønsmodning blev der i begyndelsen af 90erne
  indsamlet oplysninger om koncentrationen af dette
  hormon blandt sunde danske børn, unge og voksne.
• Men vores formål i denne opgaven er lidt
  anderledes

4
Eksamensopgave

• En statistisk standard er en statistisk model,
  der viser hvorledes et bestemt forhold varierer
  inden for en bestemt population, således at man
  ud fra denne model kan vurdere, om konkrete
  observerede værdier er påfaldende. 
• Det overordnede formål med denne opgave er at
  udarbejde en sådan standard ud fra hvilken man
  med udgangspunkt i køn, alder, BMI, menarche,
  testikelvolumen og pubertet kan vurdere, om en
  person har et usædvanligt lavt eller højt hormon
  niveau.
• I skal lave en model der beskriver, hvorledes
  hormon koncentrationen afhænger af ovennævnte
  faktorer, således at man efterfølgende kan
  beregne grænseværdier, der afgrænser en passende
  lille andel f.eks. 5 - af populationen med
  påfaldende lave eller høje hormon
  koncentrationer.

5
Statistiske modeller
All models are wrong some models are useful
George Box
(Statistiske) modeller er simplificeringer af
virkeligheden. De bruges til at fremhave bestemte
tendenser der har forskningsinteresse (og
ignorere andre tendenser der ikke er vigtig for
formålet). Modellerne bliver kalibreret med data
der er observeret fra processen denne
kalibrering er ofte formålet med modelbygningen!
6
To formål

• Inferens Har alder betydning for
  hormonniveauet?
• Prediktion Hvad er hormonniveauet for en given
  alder?

Modeller er nok af samme type, men hvilken
modelantagelser er særlig vigtige kommer an på
formål.
7
Generelle lineære modeller (GLM)

• Modeller for kvantitative afhængige variabler
• Generelle flere uafhængige variabler
• Kvantitative også transformationer heraf
• Kategoriske dummy variabler
• Vekselvirkninger produkt af variabler
• Lineære middelværdi af den afhængige variable
  er en såkaldt lineær form
• E(Y X1,..,Xk) f(X1,..,Xk)

8
Antagelser GLM

• Residualerne er normaltfordelte
• Varians af residualerne er homogen
• Effekterne er lineære

Hvad betyder analysens formål for analysen og
hvor vigtig antagelserne er i begge tilfælde?
9
Formål inferens

• Har alder en effekt på hormon niveau?
• Test om en eller flere parametre (beta) i den
  lineære form er lig med 0.
• Varianshomogenitet er vigtig, men residualerne
  kræves ikke normaltfordelte hvis vi har data nok
  giver CLT nok den rigtige fordelinger af
  teststørrelser.

10
Formål prædiktion

• Hvad er hormonniveauet for en given alder?
• Ønsket er en beskrivelse af fordelingen af hormon
  niveauet for given alder.
• Hvis vi har varianshomogenitet og normalt
  fordelte residualerne kan vi bygge en 95
  referenceinterval for hver alder.

11
Ang. Lineære effekter

• Det kraves at den lineære form er en godt
  beskrivelse af middelværdien, ikke at alle
  variabler indgår bare som kvantitativ
  hovedeffekt.
• Hvis hormonniveauet stiger først med alder og så
  afflader til bestemt niveau, så er måske effekten
  af log(alder) lineær.

12
Ang. Lineære effekter

• Hvis man ikke vil tænke så meget hvilken
  transformation kræves for linearitet, så kan man
  lade data tale
• Lav en kvantitativ variabel om i en kategorisk
  variabel
• Tilføj X i anden, X i tredje, X i fjerde, etc.
  til analysen X indgår som en polynom.
• Snedig valgte funktioner kernel smoothers
  splines, wavelets

13
Analysestrategi

• (Svend) Se på de enkelte variabler og på
  relationer mellem hormon og variabler for at
  finde ud hvad modellen skal indeholde, byg så
  modellen.
• (Alternativ) Byg en model, se om de vigtige
  antagelser holder eller om den kan forbedres lav
  så en bedre model.

Skal indeholde elementer fra begge
14
Analysestrategi

• Enkelte variabler er der problemer?
• Variabler og hormon gode ideer til
  modelbygning.
• Saml variabler i én model og tilføj/fjern
  elementer til forbedring.
• Normalfordelte residualerne
• Varianshomogenitet
• Bedre prædiktion ()

15
Ang. Bedre prædiktion

• Hvis vi tilføjer elementer i vores model bliver
  vores fit f-eks. R2 bedre (per definition).
• I en model med for mange elementer går vigtige
  tendenser tabt til fordel for fit.
• Vores formål skal være den bedste fit med mindst
  mulig model elementer/parametre.
• (Akaike) AIC2k-nlog(2pRSS/n) 1 (k
  parametre, n data) mindst er bedst.

16
Enkelte variabler

17
Enkelte variabler

• For mange er der ingen hormon niveau. Vi håber at
  det er tilfældigt, og at det ikke betyder at
  niveauet er så lavt at det ikke kan måles
• Testikelvolumen er bare for drenge, og menarche
  er bare for piger. Endvidere skal vi i trin 3
  opdele analyser i tre pubertets stadier så får
  vi 6 modeller til sidst!

18
Hormon
19
Hormon

• Ikke normalt fordelt men det behøver den heller
  ikke at være.
• To topper to køn?
• Lidt langt hale til højre
• Ser ikke mærkeligt ud umiddelbart

20
Hormon og alder
21
Hormon og alder

• SPSS har en facilitet at plotte den bedste
  lineære, kvadratiske og kubiske fit i en plot
  (lav en graph med legacy dialogs og åben så chart
  fra outputtet, en line fit kan indlægges)
• Fit bliver (lidt) bedre jo højere grad polynom
• Variansen stiger med alderen variansheterogenitet
  . Forsøg med logaritme af hormon niveau.

22
Transformationer

• Især hvis der er variansheterogenitet kan det
  hjælpe at modellere en transformation af den
  afhængige variable Y i stedet for Y selv.
• Hvis variansen stiger når værdier (gt0) er større
  (ligesom i hormon data), så er en log(Y) en
  oplagt valg parametre kan interpreteres exp(ß)
  gange mere hormon når alder stiger med 1.
• Andre transformationer f.eks. Box-Cox

23
lnHormon
Virker ikke dårligere end hormon. Hale er nu til
venstre.
24
lnHormon og alder
25
lnHormon og alder

• Mere varianshomogen end før
• Virker som en kvadratisk sammenhæng i første
  omgang.

26
lnHormon og køn

Variansheterogenitet, også efter
log-transformationen. Men vi skal se hvad der
sker når alder bliver inddraget og vi skal
senere alligevel dele data op for køn.
27
First model

• lnHormon sex alder alder2
• Levenes test ingen variansheterogenitet mellem
  groups (her køn)
• Plot predicted mod (std.) residuals for at belyse
  andre former for variansheterogenitet
• P-P plot eller Kolmogorov-Smirnov test for at se
  på residualernes normalitet

28
Levenes test
OK
29
Varianshomogenitet og alder
OK
30
Varianshomogenitet og niveau
OK
31
Normalitet af residualerne
OK
32
Normalitet af residualerne
OK
1-sample K-S test findes under Analyze -
Non-parametric tests
33
Forbedringer?

• De vigtigste antagelser er i orden i vores første
  model
• Mulige forbedringer
• Højere orden polynom for alder
• Vekselvirkning alder og køn (så skal vi inkludere
  en vekselvirkning af køn med alle
  alder-elementer alder, alder i anden, alder i
  tredje, etc.)
• Idet vi ikke er interesseret i hvordan alder
  virker, men i prædiktionen er signifikans ikke så
  vigtig men vi skal undgå overfitting!

34
Anden model

• lnHormon køn alder alder2 alder3
  kønalder kønalder2 kønalder3
• Levenes test OK
• Residuals vs. Predicted, alder OK
• P-P plot, K-S test OK
• Vekselvirkninger kan måske fjernes (ikke
  signifikante) vi har ikke mange parametre i
  modellen og vi kan være rundhåndet med model
  elementer.
• Se på AIC valg den med laveste værdi.

35
BMI

• BMI vægt (kg) / højde (m) i anden
• Er måske ikke en særlig intuitivt variabel for
  børn især ikke i puberteten. Skal ses som en
  integreret højde/vægt variabel.

36
lnHormon og BMI
Kvadratisk fit ser ud til at være bedst
37
Tredje model

• lnHormon køn alder alder2 alder3
  kønalder kønalder2 kønalder3 bmi bmi2
  kønbmi kønbmi2
• R2 er blevet mindre i forhold til sidste model.
  Der er fordi vi skulle smide nogle observationer
  ud fordi vi manglede højde eller vægt målinger.
• For at kunne sammenligne R2 eller AIC skulle vi
  haft smidt ud alle observationer med manglede
  værdier fra begyndelsen af for at basere dem på
  samme mænge data.

38
Tredje model

• All model checks OK
• Forbedringer
• Tilføje alder/BMI vekselvirkning
• Tilføje alder/bmi/køn vekselvirkning
• Tilføje højre ordens polynom for bmi
• Så bliver modellen stor

39
Fjerde model

• lnHormon køn alder alder2 alder3
  kønalder kønalder2 kønalder3 bmi bmi2
  kønbmi kønbmi2 alderbmi alder2bmi
  alder3bmi alderbmi2 alder2bmi2
  alder3bmi2 kønalderbmi kønalder2bmi
  kønalder3bmi kønalderbmi2 kønalder2bmi2
  kønalder3bmi2
• Vi vælger ikke at inkludere bmi3
• Stadig ikke særlig stor model

40
Fjerde model

• Det er ikke så vigtig at modellen er lille eller
  at vi kan forstå effekt parametre formålet er
  prædiktion.
• AIC kan sammenlignes med AIC fra tredje model,
  lav om nødvendigt modellen mindre.

41
Testikelvolumen

• Kun for drenge
• Virker lidt mærkeligt, næsten kategorisk, med
  mange tæt på 0

42
Testikelvolumen og pubertet

• Testikelvolumen er ikke vigtig i præpuberteten!

43
lnHormon og testikelvolumen
Kvadratisk, men ikke i præpuberteten.
44
Menarche

• Kun for piger

45
Menarche og pubertet

• Bare interessant in puberteten selv, ikke i
  præpubertet eller postpubertet
• Kategorisk variabel

46
lnHormon og Menarche

• Variansheterogenitet, også efter
  log-transformation

47
Seks modeller

• Lav menarche om
• Lav en ny variabel menmenarche
• Recode into same sådan at alle drenge får men1
• Recode into same sådan at alle piger ikke i
  puberteten får men1
• Lav testikelvolumnen om
• Lav en ny variabel testestvol
• Recode into same sådan at alle piger får tes0
• Recode into same sådan at alle drenge i
  præpuberteten får tes0
• Split data ved køn og pubertet

48
Seks modeller

• Vores omkodning laver at vi har fjernet effekter
  af testikelvolumen og menarche hvor vi ikke
  forventer dem.
• Vi kan ikke nemt fjerne variabler fra de enkelte
  analyser med split data
• Grupperne er ikke så store, så vi skal være
  forsigtig med alt for store modeller

49
En nem model

• lnHormon alder alder2 alder3 bmi bmi2
  tes tes2 men
• Antagelser ikke OK ved kvinder i pubertet
  levenes test signifikant og P-P plot ikke smuk.
• Tilføj men/alder vekselvirkning ikke OK
• Tilføj men/bmi vekselvirkning Levene OK, P-P
  plot ikke smuk.

50
Seks modeller

• Det virker ikke særlig bekvemt at køre seks
  modeller og at gennemse resultaterne hver gang én
  af modellerne skal tilpasses.
• Helst skal modellerne ses efter en efter en.
• Det ser ud at piger i puberteten er de
  vanskeligste at lave en statistisk standard for.
  Den kan kun med meget velvilje godtages.