Chapitre 8

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Chapitre 8  Oscillations électriques dans un
circuit RLC série
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I Décharge dun condensateur dans une bobine
1) Etude expérimentale Voir TPfn6
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(No Transcript)
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2) Influence de lamortissement  4 régimes
possibles (1) et (2)
Lamortissement, dans un circuit RLC série en
régime libre (sans apport extérieur dénergie),
dépend de la résistance totale du circuit  Rt
R r.
a. Régime pseudo-périodique 

• Celui-ci est observé quand lamortissement est
  faible cest à dire quand la valeur de Rt est
  petite.

• On observe un signal périodique dont lamplitude
  des oscillations décroît au cours du temps.

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• On appelle la période dun tel signal la
  pseudo-période T, temps qui sécoule entre deux
  valeurs maximales successives, elle est constante.

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2) Influence de lamortissement  4 régimes
possibles (1) et (2)
Lamortissement, dans un circuit RLC série en
régime libre (sans apport extérieur dénergie),
dépend de la résistance totale du circuit  Rt
R r.
a. Régime pseudo-périodique 

• Celui-ci est observé quand lamortissement est
  faible cest à dire quand la valeur de Rt est
  petite.

• On observe un signal périodique dont lamplitude
  des oscillations décroît au cours du temps.

Rt(2) gt Rt(1)
Doc n2
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• On appelle la période dun tel signal la
  pseudo-période T, temps qui sécoule entre deux
  valeurs maximales successives, elle est constante.

En effet, pseudo-période et non période car le
phénomène nest pas réellement périodique (pour
ça il faudrait que les amplitudes des
oscillations soient constantes).
b. Régime apériodique 
Quand lamortissement est trop fort (valeur de Rt
trop grande) alors il ny a plus doscillations.
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c. Régime critique 

• Il existe une valeur de Rt pour laquelle on passe
  du régime pseudo-périodique au régime
  apériodique. Cette valeur de résistance est
  nommée résistance critique et le régime
  correspondant sappelle également le régime
  critique.

d. Régime périodique
Si lamortissement est négligeable (ce qui ne
peut exister en pratique pour un circuit libre),
le système est le siège doscillations non
amorties, le régime est alors périodique. Les
oscillations sont de périodes T0.
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3) Interprétation énergétique (6)
En enregistrant la tension uC et uR, on accède à
lénergie emmagasinée dans le condensateur
(1/2CuC²) et à lénergie emmagasinée dans la
bobine (1/2L(uR/R)²).
a. Régime pseudo-périodique 

• Lénergie totale (ECEL) décroît au cours du
  temps, cette énergie étant progressivement
  dissipée par effet joules dans la résistance.

• Il seffectue un transfert dénergie du
  condensateur dans la bobine puis de la bobine
  dans le condensateur et ainsi de suite. Quand EC
  est max alors EL est nulle et quand EC est nulle
  EL est max.

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On remarque quen globalité, lénergie totale
dans le circuit diminue exponentiellement. En
effet, lors des  décharges  du condensateur et
de la bobine, uC(t) et i(t) sont des
exponentielles décroissantes.
On remarque aussi des paliers dans la
décroissance de lénergie  en effet, la perte
énergétique est due à leffet Joule dans la
résistance de puissance Rti², et celle-ci est
plus importante quand i est important donc quand
la bobine emmagasine de lénergie ou quand elle
la restitue.
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b. Régime apériodique 
Il y a uniquement un transfert dénergie du
condensateur dans la bobine et dissipation de
celle-ci dans le conducteur ohmique par effet
Joule. EC décroît au cours du temps.
c. Régime périodique 
Alors la dissipation dénergie par effet Joule
dans la résistance est négligeable, lénergie
totale est constante et il y a un perpétuel
transfert dénergie entre le condensateur et la
bobine.
II Etude de loscillateur non amorti (3)
Soit un oscillateur composé dun condensateur
préalablement chargé et dune bobine de
résistance interne négligeable 
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a. Etablissement de léquation différentielle
uC uL 0

• Daprès la loi des tensions (mailles)

• Ainsi

b. Vérification de la validité dune solution 
Soit une solution de la forme uC Umcos (?0t
f) Avec Um, ?0 et f sont trois constantes à
déterminer.
Vérifions quelle satisfait bien à léquation
différentielle
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Puis

• En remplaçant dans léquation différentielle

• Cette relation doit être vraie quelque soit t ce
  qui impose

On appelle ?0 la pulsation propre des
oscillations électriques. Elle sexprime en
rad.s-1.
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c. Période propre des oscillations (4)
Elle est liée à la pulsation propre par la
relation 
On peut vérifier par analyse dimensionnelle que
celle-ci est homogène à un temps. En effet  LC
L/R RC et nous savons, daprès le chap6 et 7,
que L/R et RC sont homogènes à un temps. On a
donc LC homogène à un temps² et
homogène à temps. Donc T0 sexprime en s.
Remarque Dans le régime pseudo-périodique, la
pseudo-période T est peu différente de la période
propre T0.
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d. Détermination des deux autres constantes Um et
f  (4)
Rappelons que la solution de léquation
différentielle à cette forme
uC Umcos (?0t f)

• Comme la fonction cosinus varie entre -1 et 1
  la fonction uC varie entre Um et Um.
• Ainsi Um est appelée amplitude de la tension uC,
  elle sera la tension maximale atteinte par uC.

• Et à t 0 on a uC(0) Umcos (f)  f est
  appelée phase à lorigine des dates, elle
  sexprime en radian.

Ces deux constantes sont déterminées à laide des
conditions initiales.
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Remarque concernant la constante f
uC(t0) Um
uC(t0) Umcos (f)
doù
uC(t0) 0
uC(t0) Umcos (f)
doù
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e. Expression de lintensité du courant 
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III Etude de loscillateur amorti  entretien des
oscillations (5)
1) Apport dénergie 
Un oscillateur électrique tel que nous lavons vu
est amorti par dissipation dénergie par effet
Joule dans le conducteur ohmique.
Pour entretenir les oscillations dun circuit RLC
libre, il faut apporter au circuit, par
lintermédiaire dun dispositif, la même quantité
dénergie qui a été perdue. Cest le rôle du
dispositif dentretien.
2) Mise en évidence grâce au montage à résistance
négative 
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• On charge le condensateur (position 1) puis on
  le décharge dans le dipôle R,L (position 2 et 1)
  les oscillations alors décroissent et
  deviennent nulles en une centaine de ms.

• Si on injecte alors le montage à résistance
  négative (position 2) et que lon règle R0 à
  environ 80 ?, on observe que les oscillations
  sont damplitude constante  on a compensé
  lénergie perdue par effet Joule dans le circuit.

3) Caractéristiques du circuit RLC entretenu 

• Lénergie perdue correspond à une puissance PJ
  Ri².

Pour entretenir les oscillations , on doit alors
insérer une source dénergie qui fournie la
tension uS vérifiant PS uSi PJ Ri² 
Ainsi la source doit fournir uS Ri
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• Comme il ny a plus damortissement, lénergie
  est constante (transfert dénergie du
  condensateur vers la bobine et inversement) 
• On créé une tension sinusoïdale de période