The World of Matrix Uvod u linearnu algebru

1
The World of MatrixUvod u linearnu algebru

• Erna Oklapi
• Elektrotehnicki fakultet, Beograd
• ernaoklapi_at_gmail.com

2
Njeno Visocanstvo Matrica

• Matematicka definicija
• Definicija u programskim jezicima
• Matrica je niz nizova
• Pascal type MATRICA ARRAY1..40, 1..40 of
  integer
• C int mat14040 int mat240 int mat3

Za pravougaonu šemu brojeva
predstavljenu u obliku
kažemo da je matrica tipa nad poljem
, a za brojeve
kažemo da su elementi matrice
3
Njeno Visocanstvo Matrica

• Oznaka i tip
• Odgovarajuci elementi
• Jednakost

4
Vrste matrica

• Nula matrica
• Matrica vrsta
• Matrica kolona (vektor kolona)
• Kvadratna matrica
• Dijagonalna matrica

5
Vrste matrica

• Jedinicna matrica
• Trougaone matrice

6
Operacije sa matricama

• Sabiranje
• važi komutativnost
• važi asocijativnost
• Množenje skalarom

7
Operacije sa matricama

• Množenje dve matrice
• broj kolona matrice A jednak broju vrsta u
  matrici B
• broj vrsta u matrici C jednak broju vrsta u
  matrici A
• broj kolona u matrici C jednak je broju kolona u
  matrici B
• Komutativnost ne važi

8
Algebarske strukture na vidiku?!

• Neka je skup svih matrica tipa (m x n).
  Struktura je Abelova grupa.
• Neka je skup svih kvadratnih matrica reda
  n, snabdeven operacijom sabiranja i operacijom
  množenja . Tada je struktura
• prsten sa jedinicom.

9
Transponovana matrica

• Ako u matrici zamenimo vrste
  kolonama i obrnuto dobijamo matricu
  koja se zove transponovana matrica matrice A.
• Transponovanjem vektora dobija se vrsta matrica i
  obrnuto.

10
Transponovana matrica

• Za operaciju transponovanja važe sledece teoreme
• T1 i
• T2 Ako su A i B matrice istog tipa tada je
• T3 Za matrice A i B, za koje je definisan
  proizvod AB, definisan je i proizvod
• i važi

11
Transponovana matrica

• T4 Za m matrica , za koje je
  definisan proizvod , važi jednakost

12
Stepenovanje kvadratne matrice

• Neka je A kvadratna matrica. Stepen matrice A
  definiše se pomocu
• Ako su k i m nenegativni celi brojevi, važe
  formule

13
Stepenovanje kvadratne matrice

• Ako je za neko tada za matricu
  A kažemo da je nilpotentna. Najmanji broj
  za koji je
• naziva se stepen nilpotentnosti.
• Ako je za matricu A kažemo da je
  idempotentna.
• Ako je za matricu A kažemo da je
  involutivna.

14
Determinanta matrice

• Neka je matrica A data sa
• Preslikavanje definisacemo pomocu

15
Determinanta matrice

• Broj Ddet A se naziva determinanta matrice A.
• Neka je data matrica A. Tada se det A može
  izraziti u obliku
• Gde se sumiranje izvodi preko svih permutacija
  prvih (drugih) indeksa elemenata, dok su drugi
  (prvi) indeksi elemenata fiksirani

16
Osobine determinanti

• T1
• T2 Ako se svi elementi jedne vrste matrice A
  pomnože nekim brojem c i dobijenu matricu
  obeležimo sa B, tada je det Bc det A.
• T3 Ako su elementi jedne vrste matrice A jednaki
  nuli, tada je detA0.

17
Osobine determinanti

• T3 Ako su u matrici A elementi jedne vrste
  jednaki odgovarajucim elementim neke druge vrste,
  tada je detA0.
• T4 Ako su u matrici A elementi jedne vrste
  proporcionalni odgovarajucim elementima neke
  druge vrste, tada je det A0.

18
Osobine determinanti

• T5 Determinanta ne menja vrednost ako se
  elementima jedne vrste dodaju odgovarajuci
  elementi neke druge vrste, prethodni pomniženi
  istim skalarom.
• T6 Ako je u matrici A jedna vrsta linearna
  kombinacija ostalih vrsta, tada je det A0

19
Osobine determinanti

• T7 Ako odgovarajuci elementi dve vrste matrice A
  promene svoja mesta i dobijenu matricu obeležimo
  sa B, tada važi jednakost det B-det A.
• T8 Neka su date kvadratne matrice A i B. Tada
  je
• det(AB)(det A)(det B)

20
Razlaganje determinante

• Minor
• Kofaktor
• Razvoj determinante po vrsti
• Razvoj determinante po koloni

21
Adjungovana i inverzna matrica

• Matrica kofaktora matrice A je adjungovana
  matrica.
• Neka je . Za matricu
• kažemo da je inverzna matrica matrice A ako
  je

22
Inverzna matrica - teorema

• Ako je det A?0, tada inverzna matrica postoji,
  jedinstvena je i može se predstaviti u obliku
• Dokaz...

23
Literatura

• Gradimir V. Milovanovic Linearna algebra
• Tatomir P. Andelic - Matrice

24
Hvala na pažnji!

• Pitanja?
• Ili zauvek cutite... -)