Cap

1
Capítulo 1
Algebra de Boole
2
Introducción
George Boole
El matemático inglés George Boole nació el 2 de
noviembre de 1815 en Lincoln y falleció el 8 de
diciembre de 1864 en Ballintemple, Irlanda. Boole
recluyó la lógica a una álgebra simple. También
trabajó en ecuaciones diferenciales, el cálculo
de diferencias finitas y métodos generales en
probabilidad.
3
Variable Lógica
Definición

• En general, el termino variable lógica o
  booleana, hace referencia a cualquier símbolo
  lineal A,B,....,Z empleado para representar
  dispositivos o magnitudes físicas que llenan
  solamente dos valores o estados, verdadero o
  falso, que son representados simbólicamente por 1
  o 0 respectivamente.

• Las dos posiciones o estados abierto -
  cerrado de un contacto eléctrico se designan
  mediante los símbolos 0 (no corre electricidad) y
  1 (hay electricidad) respectivamente.

4
Variable Lógica
Pulsador Normalmente Abierto

• Debido a que el contacto esta abierto, no pasa
  corriente eléctrica por el cable.
• Z 0 quiere decir que tiene un valor lógico de
  cero, no pasa electricidad porque el pulsador
  esta en reposo (ninguna fuerza esta venciendo el
  resorte de retención).

5
Variable Lógica
Pulsador Normalmente Abierto

• Ahora accionamos el pulsador (ya no esta más en
  reposo).
• La corriente eléctrica recorre el cable, esto
  implica que Z 1.

6
Variable Lógica
Pulsador Normalmente Cerrado

• Un contacto NC es el que se usa el las puertas de
  las heladeras o automóviles, que encienden una
  luz cuando deja de estar oprimido.
• El estado de reposo de un pulsador NC implica que
  Z1.

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Variable Lógica
Pulsador Normalmente Cerrado

• Al accionar el pulsador, deja de pasar corriente
  eléctrica por el cable.
• Entonces Z toma el valor lógio cero.

8
Función Lógica
Definición

• Una función lógica o booleana es una variable
  lógica cuyo valor es equivalente al de una
  expresión algebraica, constituida por otras
  variables lógicas relacionadas entre sí por medio
  de las operaciones suma lógica (), y/ o producto
  lógico () y/o negador (-).
• Las tres operaciones mencionadas son las
  operaciones básicas del álgebra de Boole, que
  darán lugar a las funciones básicas OR, AND y
  NEGACIÓN.

9
Función Lógica
Definición

• El valor de la expresión algebraica depende de
  los valores lógicos asignados a las variables que
  la constituyen, y de la realización de las
  operaciones indicadas.

Por ejemplo, una suma lógica sería ZAB, donde Z
tomará el valor cero o uno según los valores de A
y B. Z tomará el valor cero sólamente cuando
tanto A como B tengan el valor cero. Recordemos
que 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1
10
Función Lógica
Definición
Un producto lógico sería Z A B, donde Z
tomará el valor uno sólamente cuando tanto A como
B tengan el valor uno. Recordemos que 0 0
0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Una negación
invierte el valor de las variables. Se representa
con la variable (en este caso A) negada.
Así 0 1 1 0
11
Tabla de Verdad
Definición

• La tabla de verdad es una representación del
  comportamiento de una función lógica, dependiendo
  del valor particular que puedan tomar cada una de
  sus variables.
• En ella deben figurar todas las combinaciones
  posibles entre las variables, y para cada una
  aparecera el valor de la función.

12
Tabla de Verdad
1 y 2 variables

• Se tienen n variables y las tablas de verdad se
  construyen respondiendo a la expresión El
  número de filas es igual a 2 elevado a la n.
• 21(variable) 2 filas 22(variables) 4
  filas

B
A
A
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
13
Tabla de Verdad
23 variables 8 filas
A
B
C
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
14
Compuertas Lógicas
Definición

• Cuando se desea cambiar el estado de una variable
  determinada se podría accionar una llave
  (compuerta) que realice este proceso.
• Compuerta proviene de que este dispositivo
  puede usarse para permitir o no que el nivel que
  llega a un cable de entrada se repita en el cable
  de salida.
• Lógica se debe a que una compuerta realiza
  electrónicamente una operación lógica, de forma
  tal de que a partir de una combinación de valores
  lógicos en las entradas, se obtiene un valor
  lógico (1 ó 0) en su salida.

15
Compuertas Lógicas
Compuerta AND
Una Compuerta AND de dos entradas es un
dispositivo electrónico que posee dos entradas, a
las que llegan los niveles de tensión de dos
cables (A y B) y una salida (Z).
Responde a la expresión Z A B
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Compuertas Lógicas
Compuerta AND
A B Z
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Z
B
A
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
17
Circuito Lógico
Compuerta AND
Z A B
También es posible representar la función lógica,
su tabla de verdad y su compuerta con los
pulsadores NC, formando un circuito lógico.
18
Circuito Lógico
Compuerta AND
Z A B
Esto coincide con la TV cuando A y B toman el
valor 1, haciendo que Z valga 1.
La luminaria se enciende cuando A y B son
pulsados al mismo tiempo.
19
Compuertas Lógicas
Compuerta OR
Una Compuerta OR de dos entradas es un
dispositivo electrónico que posee dos entradas, a
las que llegan los niveles de tensión de dos
cables (A y B) y una salida (Z).
Responde a la expresión Z A B
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Compuertas Lógicas
Compuerta OR
A B Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Z
B
A
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
21
Circuito Lógico
Compuerta OR
Z A B
Esto coincide con la TV cuando A o B toman el
valor 1, haciendo que Z valga 1.
La luminaria se enciende cuando A o B son
pulsados.
22
Compuertas Lógicas
Compuerta SEGUIDOR
Una Compuerta SEGUIDOR es un dispositivo
electrónico que actúa como buffer mantiene en la
salida, el valor que se encuentra a la entrada.
Responde a la expresión Z A
23
Compuertas Lógicas
Compuerta SEGUIDOR
A Z
1 1
0 0
Z
A
0
1
0
1
0
0
1
1
24
Circuito Lógico
Compuerta SEGUIDOR
Z A
Esto coincide con la TV cuando A toma el valor
1, haciendo que Z valga 1.
La luminaria se enciende cuando A es pulsado.
25
Compuertas Lógicas
Compuerta INVERSOR
Una Compuerta INVERSOR es un dispositivo
electrónico que enciende el cable que está en su
salida, si el cable que está en su entrada se
encuentra apagado, y viceversa. Puede decirse que
uno es la negación del otro.
Responde a la expresión
26
Compuertas Lógicas
Compuerta INVERSOR
0 1
1 0
Z
A
1
0
1
0
1
0
0
1
27
Circuito Lógico
Compuerta INVERSOR
Esto coincide con la TV cuando A toma el valor
0, haciendo que Z valga 1.
Z se activará si A toma el valor 0.
28
Compuertas Lógicas
Compuerta EXOR
Una compuerta EXOR u OR excluyente de dos
entradas es un dispositivo electrónico que
presenta dos entradas, a las que llegan los
estados de las dos variables (A ? B), y una
salida, que genera en el cable (Z).
Responde a la expresión
29
Compuertas Lógicas
Compuerta EXOR
0 ? 1
0 ? 0
1 ? 1
1 ? 0
Z
B
A
0
0
0
0 1 0 1
0 0 1 1
1 0 1 0
1 1 0 0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
30
Circuito Lógico
Compuerta EXOR
Z se activará si A o B se activan, pero no al
mismo tiempo
Esto se refleja en la TV cuando A o B estan
activados.
Pero cuando ambos se activan al mismo tiempo, Z
vale 0.
31
Leyes de Algegra de Boole
Algebra de circuitos lógicos
El álgebra de Boole es una parte de la matemática
que utiliza expresiones basadas en la lógica
dual.
Ley Distributiva (de la suma respecto del
producto)
Ley Distributiva (del producto con respecto a
la suma)
Ley Conmutativa
Ley Asociativa
Ley de Absorción
Ley de Doble Negación
Ley de Morgan
Relaciones de Morgan
Sirve para transformar sumas lógicas en productos
lógicos
A B B A
A (B C) (A B) C
C B A (C B) (C A)
A (B C) A B A C
Y productos lógicos en sumas lógicas
32
Compuertas Derivadas
Compuerta NAND
Una compuerta NAND resulta de invertir la salida
de una compuerta AND.
Compuerta AND
Invertimos la salida (NAND)
Negamos de ambos lados
Por ley de doble neg.
Por ley de Morgan
Expresión Booleana
33
Compuertas Lógicas
Compuerta NAND
Z
B
A
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
34
Circuito Lógico
Compuerta NAND
Esto coincide con la TV cuando A y B son iguales
a 1, haciendo que Z sea igual a 0.
Z será igual a 0 sólo si A y B se presionan al
mismo tiempo.
35
Compuertas Derivadas
Compuerta NOR
Una compuerta NOR resulta de invertir la salida
de una compuerta OR.
Compuerta OR
Invertimos la salida (NOR)
Negamos de ambos lados
Por ley de doble neg.
Por ley de Morgan
Expresión Booleana
36
Compuertas Lógicas
Compuerta NOR
Z
B
A
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
37
Circuito Lógico
Compuerta NOR
Esto coincide con la TV cuando A y B son iguales
a 0, haciendo que Z sea igual a 1.
Z será igual a 1 si A o B no se presionan en
ningún momento
38
Compuertas Derivadas
Compuerta EX-NOR
Compuerta NOR
Una compuerta EX-NOR resulta de invertir la
salida de una compuerta NOR.
Invertimos la salida (EX-NOR)
Negamos de ambos lados
Por ley de Morgan
Nuevamente Morgan
Al distribuir nos queda


0
0
Expresión Booleana
39
Compuertas Lógicas
Compuerta EX-NOR
Z
B
A
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
40
Circuito Lógico
Compuerta EX-NOR
Como siempre, la TV se corresponde con el
circuito, la compueta y la expresión booleana.
A B Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
41
Principio de Dualidad
Definición

• Equivalencia entre funciones dos expresiones
  booleanas son equivalentes si tienen igual tabla
  de verdad. Una expresión lógica le corresponde
  una sola tabla de verdad, mientras que una tabla
  de verdad puede formarse algebraicamente mediante
  diversas funciones equivalentes.
• Asimismo, circuitos lógicos que corresponden a
  expresiones algebraicas equivalentes tendrán la
  misma tabla de funcionamiento por lo que podrán
  reemplazarse unos por otros.
• La equivalencia se obtiene aplicando el principio
  de dualidad.

• Cualquier propiedad en el álgebra de Boole sigue
  siendo valida si se intercambian las operaciones
  () y () y además se intercambian los valores 0
  y 1.

Ejemplo A 0 A A 1 A
42
Circuitos Equivalentes
Equivalencias And-Or Y Nand-Nand
Aplicamos la equivalencia de funciones en la
última compuerta reemplazamos la compueta OR por
su dual AND y negamos sus entradas y salidas que
no están negadas en el circuito original.
Como último paso, se desplazan las negaciones
hacia el otro extremo del cable. De esta forma
obtenemos un circuito compuesto por todas
compuertas NAND.
Aplicamos el concepto de funciones equivalentes
en la última compuerta, obteniendo así todas
NAND.
Negamos ambos extremos del cable, que por la
propiedad de la doble negación no afecta la
función original.

• Convertimos una suma de productos, en un producto
  negado de productos negados...

A partir de un circuito determinado, su función
equivalente puede ser obtenida de dos formas
Z1 A BC DE
Primer método
Segundo método
43
Circuitos Equivalentes
Equivalencias Or-And y Nor-Nor
Aplicamos la equivalencia de funciones en la
última compuerta reemplazamos la compueta AND
por su dual OR y negamos sus entradas y salidas
que no están negadas en el circuito original.
Como último paso, se desplazan las negaciones
hacia el otro extremo del cable. De esta forma
obtenemos un circuito compuesto por todas
compuertas NOR.
Aplicamos el concepto de funciones equivalentes
en la última compuerta, obteniendo así todas NOR.
A partir de un circuito determinado, su función
equivalente puede ser obtenida de dos formas
De un producto de sumas se pasa a una suma
negada, de sumas negadas.
Negamos ambos extremos del cable, que por la
propiedad de la doble negación no afecta la
función original.
Z (P Q) (R S) T
Primer método
Segundo método
44
Funciones Equivalentes
Utilidad
Si queremos implementar la función
Z(PQ)(RS), deberíamos hacerlo
A una función lógica le corresponde una única
tabla de verdad, mientras que a una misma tabla
de verdad se le puede asociar diferentes
expresiones equivalentes.
La nueva expresión sería
De esta forma podemos ver que, a diferencia del
primer caso, estamos utilizando sólo UN chip.
Esto permite reemplazar un circuito por otro,
según las necesidades técnicas y/o económicas
que se posean.
Más especificamente, la utilidad del concepto de
funciones equivalente es la posibilidad de
utilizar menor cantidad de chips para la
implementación de un circuito.
Entonces, una vez aplicado el concepto de
funciones equivalentes y obtenida la expresión,
la implementación de chips sería
45
Compuertas Lógicas
Comportamiento
a) Las entradas están puenteadas.
46
Compuertas Lógicas
Comportamiento
b) Una de las entradas trabaja como señal de
control.
47
Compuertas Lógicas
Comportamiento
c) La señal de salida realimenta a la de entrada.