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Un parcours d

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Un parcours d tude et de recherche sur les nombres relatifs en 5e Des pistes pour un atelier de travail et de d bat Groupe didactique de l IREM d Aix-Marseille – PowerPoint PPT presentation

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Title: Un parcours d


1
Un parcours détude et de recherche sur les
nombres relatifs en 5eDes pistes pour un atelier
de travail et de débat
  • Groupe didactique de lIREM dAix-Marseille
  • Journées AMPERES des 19 20 mai 2009

2
Notre choix didactique
  • On se place dans un cadre interne aux
    mathématiques, ce qui évite de devoir
    immédiatement traiter de la modélisation
  • Les relatifs sont des programmes de calcul
  • P1   à un nombre on ajoute un deuxième et on
    soustrait un troisième . Le relatif est le
    programme P2, simplifié à partir de P1 tout en
    lui étant équivalent   à un nombre on ajoute ou
    soustrait un deuxième  

3
Notre choix didactique
  • Avant daborder ce PER, les élèves ont travaillé
    la définition de la différence (dans N ou dans
    D ) cest une connaissance disponible, non
    problématique. La différence des nombres a et b
    est d tel que a d b et on note d b a
  • Le début de lenseignement sappuie sur des
    moments courts de calcul mental et réfléchi (10
    min en début dheure) étalés dans la durée 

4
Temps 1  élaboration dun stratégie pour
calculer mentalement a b - c
  • Etape 1  cas b gt c
  • Consigne 1 
  • Effectue mentalement les calculs suivants 
  • 17 21 - 1  148 199 - 99  17 35 - 15 
  • 131 256 - 56  39 58 8  185 2017 - 17.
  • P Faisant de la sorte, est-on sûr davoir
    obtenu les résultats exacts  ?
  • Institutionnalisation de cette nouvelle technique
  • Exercice 15 37 7  121 229 29  58
    1024 24  104 72 12.

5
Temps 1  élaboration dun stratégie pour
calculer mentalement a b - c
  • Etape 2  b gt c ou b lt c
  • Consigne 2 
  • Effectue mentalement les calculs suivants 
  • 14 17 - 15  114 17 - 15  1802 319 - 315 
  • 4374 62 - 61  4374 61 62  7081 61
    62 .
  • P A quoi équivaut le programme de calcul
     ajouter 61 puis soustraire 62  ?
  • Nouvelle institutionnalisation  Ajouter 61 et
    soustraire 62 à un nombre revient à soustraire 1
    à ce nombre  

6
Temps 1  élaboration dun stratégie pour
calculer mentalement a b - c
  • Etape 3  c gt b
  • Consigne 3 
  • Effectue mentalement les calculs suivants 
  • 458 45 - 46  3469 45 46  3469 124 -
    125  15627 124 125  15627 313 - 314  823
    313 314  823 32 - 33  4586 32 33 
    4586 7538 7539 3,5 32 31  823 7,2
    8,2.
  • P  Quavons-nous appris de ces calculs ? 
    Lattention des élèves est attirée par ce qui se
    fait avec b c.

7
Temps 1  élaboration dun stratégie pour
calculer mentalement a b - c
  • Institutionnalisation
  • 3. Une nouvelle notation pour simplifier
    lécriture
  •  Pour simplifier lécriture du programme de
    calcul,  à un nombre, on ajoute 45 et on
    soustrait 46 , on aurait pu écrire  45 46
    - 1. On a préféré écrire  45 46 -1 qui
    signifie que si à un nombre, on ajoute 45 puis on
    soustrait 46, alors on lui soustrait 1.
  • Exercice  Trouver dautres écritures qui donnent
    1.

8
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs
  • Etape 4  mise en évidence de nombres négatifs
  • 1re voie Trouvez des programmes de calculs
    revenant à soustraire 2, 3, 4, 5 ou 6 au premier
    nombre, donc à écrire 2, -3, -4, -5 ou 6
  • 2de voie liste de calculs en travail à la
    maison
  • Ecris sous forme simplifiée à quoi équivaut
    lapplication au premier nombre de laddition
    suivie de la soustraction, dans ces calculs 
    15627 314 - 316  823 31- 34  4586 44
    48  26 52 55  364,5 524,1 524,6  1010
    0,21 0,31  23,6 2,2 2,9.

9
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs
  • Exercice pour chaque programme de calcul
    ci-dessous, donnez le programme de calcul
    équivalent le plus simple  4 5  3,7 4,7 
    6,34 9,34  503,9 510,9  54 70  768,3
    769, 5  72,165 74,166  0,8 0,9  1,7
    1,79  2,85 22,85.
  • Question par P ou les élèves  On a vu quon
    pouvait écrire de manière simplifiée un programme
    de calcul qui aboutit à soustraire, peut-on faire
    de même pour ajouter ? 

10
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs
  • 21 1 20 (ajouter 21 puis soustraire 1
    équivaut à ajouter 20)
  • On décide, par commodité, de ne pas écrire le
    premier nombre
  • Institutionnalisation Si à un nombre on ajoute
    2017 puis on soustrait 17, alors on ajoute 2000 à
    ce nombre on le note  2017 17 2000 .
    Remarque, pour gagner du temps, cette phrase peut
    être remplacée par 2017 17 2000
  • Exercice 7 11 5 2 8 13
  • - 12 10 8 3 - 7 4 - 11 7
    - 2 5 - 13 8 10 12 - 3
    8 4 7

11
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs
  • Cours
  • II. Un nouveau type de calculs
  • 1. Exemples
  • 7 11 -4 - 3 8 5
  •  2. Propriété de ce nouveau type de calculs
  • Si on change lordre des opérations dans un
    programme de calcul contenant des additions et
    des soustractions, on obtient un programme de
    calcul équivalent
  • 7 11 - 11 7 - 4 - 3 8 8 3
    5
  • Type dexercices - 8 5 - 8 8 4
    5 - 10 20 -8 8 - 5 5 1 7
    4 3 4 4 2

12
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs
  • III. De nouveaux nombres  les nombres négatifs
  • 1. Les nombres négatifs, les nombres relatifs
  • Définition  On décide de considérer -1, -2, -3
    comme de nouveaux nombres. Ils sont précédés dun
    signe  -  et on les appelle  nombres
    négatifs . On les écrit  -1, -2, -3,
  • Remarques 
  • a) - 5 5 1 - 1 Donc  0 1 -1
  • b) 4 4 2 2
  • Or 0 2 2 Donc 2 2
  •  

13
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs
  • Définitions 
  • Les nombres (arithmétiques), utilisés jusquà
    présent, peuvent donc être notés avec un signe
      on les appelle des nombres positifs.
  • b) Nombres positifs et négatifs sont appelés
     nombres relatifs 
  • Remarque  Le nombre 0 est un nombre à la fois
    positif et négatif (un programme de calcul ne
    change pas sil est équivalent à ajouter ou
    soustraire 0)

14
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs
  • Etape 5  addition des relatifs
  • P  Comment savoir si ces nombres nouveaux, que
    lon appelle nombres relatifs, se comportent
    comme les nombres que lon connaissait
    auparavant ? Pour cela, recherchons ce qui se
    fait avec des nombres.
  • En principe, les élèves répondent quon calcule
    avec les nombres 
  • P par exemple peut-on calculer la somme et la
    différence de 7 et 2, de 7 et -2, de -7 et -2,
    de -5 et 3 ?
  • AU TRAVAIL !!!

15
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs
  • Consigne 5 Calculer les sommes suivantes de
    nombres relatifs  7 (-2)  -7 (-2) 
  • Une difficulté  le raisonnement utilisé, basé
    sur les programmes de calcul, sapplique à 7 - 2
    mais son extension à 7  (-2) mérite dêtre
    interrogée, de même que pour la transformation de
    -7  (-2) en 7  2.
  • ATTENTION !!! CHANGEMENT PAR RAPPORT AU FICHIER
    EN LIGNE
  • Une 1re voie P reprend la main une idée
    difficile à trouver, est  demprunter 2 à 7 
    dans le calcul de 7  (-2)

16
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie (non testée)
  • 7  (-2)
  •  7  (-2)
  •  5 2  (-2) On admet lassociativité de dans
    Z
  • Nouvelle question à quoi peut être égal 2
    (-2) ?
  • P 2  (-2) est-il ou non égal à 0, comme
    certains le disent ? Quest-ce qui nous le
    prouve ?
  • On transforme ainsi la question  2 (-2)
    0 ?  en résoudre   léquation 2 x 0 ,
    donc trouver x qui, ajouté à 2, donne 0.
  • 2 0, cest la définition de la différence
    de 0 et 2, notée 0 2 -2

17
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie (non testée)
  • On vient donc de démontrer que 2 (-2) 0. Il
    en est de même pour 3 (-3), etc. -2 (2) -2
    2 0 (puisque 2 2),
  • On dit que - 8 est lopposé de 8 et que 8 est
    lopposé de - 8, ou encore que 8 et 8 sont
    opposés.
  • On a établi la commutativité pour laddition des
    opposés.
  • Terminez le calcul

18
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie (non testée)
  • En utilisant le résultat présupposé par les
    élèves,  ce calcul donne -9 . On sait déjà que
    -7 - 2 -9, donc
  • -7 (-2) -7 - 2 2 (-2)
  • -7 - 2 0 -9
  • Exercices dentraînement du type Calculer 10
    (-15) -3 (-9) -4 (9) -9 (-3)
    8 (-5) 5,3 (-5,12) -5 ( 8)
    -15 ( 10) 9 (-4)

19
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie (testée)
  • Consigne 5 Calculer les sommes suivantes de
    nombres relatifs  7 (-2)  -7 (-2) 
  • Une difficulté  le raisonnement utilisé, basé
    sur les programmes de calcul, sapplique à 7 - 2
    mais son extension à 7  (-2) mérite dêtre
    interrogée, de même que pour la transformation de
    -7  (-2) en 7  2.
  • RETOUR AU FICHIER MIS EN LIGNE
  • P reprend la main une idée difficile à trouver,
    introduire 0 dans le calcul de 7  (-2)

20
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie (testée)
  • 7  (-2)
  •  7  (-2)
  •  7  0  (-2)
  • Sentraîner à écrire 0   8  8  0,
     5  5  0 et  4  4  0 avec des programmes de
    calcul
  • P Quelle écriture pourrait nous servir pour
    remplacer 0 dans le calcul de 7  0  (-2) ?
  • Quatre possibilités
  • AU TRAVAIL !!!

21
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie (testée)
  • P  Ne peut-on examiner les quatre calculs
    précédents de manière à faire apparaître la somme
    de deux opposés et la remplacer par 0 ?
  • P 2  (-2) est-il ou non égal à 0 ? Quest-ce
    qui nous le prouve ? Peut-on démontrer quajouter
    à un nombre son opposé donne une somme nulle ?
  • On transforme ainsi la question  2 (-2)
    0 ?  en résoudre   léquation 2 x 0 ,
    donc trouver x qui, ajouté à 2, donne 0.
  • On vient donc de démontrer que 2 (-2) 0. Il
    en est de même pour 3 (-3), etc. -2 (2) -2
    2 0 (puisque 2 2), ce qui établit la
    commutativité pour laddition des opposés.

22
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie (testée)
  • P  -7 (-2) -7 0 (-2)
  • -7 2 2 (-2)
  • -9 0
  • -9
  • Exercice Calculer 10 (-15) -3 (-9)
    -4 (9) -9 (-3) 8 (-5) 5,3
    (-5,12) -5 ( 8) -15 ( 10) 9
    (-4)
  • AU TRAVAIL !!!

23
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 3e voie (non testée)
  • Consigne 5 Calculer les sommes suivantes de
    nombres relatifs  7 (-2)  -7 (-2) 
  • Une difficulté  le raisonnement utilisé, basé
    sur les programmes de calcul, sapplique à 7 - 2
    mais son extension à 7  (-2) mérite dêtre
    interrogée, de même que pour la transformation de
    -7  (-2) en 7  2.
  • P reprend la main une idée difficile à trouver,
     et si on revenait à la définition des
    programmes de calcul ? 

24
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 3e voie (non testée)
  • Par exemple que 7 est une simplification pour un
    programme de calcul, comme  à un nombre on
    ajoute 9 et on soustrait 2  et -2  à un nombre
    on ajoute 3 et on soustrait 5 
  • Ainsi le calcul 7 (-2) revient à dire  quà un
    nombre on ajoute 9, on soustrait 2, puis on
    ajoute 3 et on soustrait 5 , donc à ce nombre on
    ajoute 9 2 3 5 qui font 5.
  • Donc 7 (-2) 5 5

25
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 3e voie (non testée)
  • On continue avec les autres calculs -7 (-2)
  • -7 signifie quà un nombre on a soustrait 7, ce
    quon peut par exemple écrire quon lui ajoute 2
    et soustrait 9 peut-être
  • -2 sest par exemple encore quon ajoute 3 et
    soustrait 5
  • Donc -7 (-2) signifie quà un nombre on
    ajoute 2, soustrait 9, ajoute 3 et soustrait 5,
    donc quon fait 2 9 3 5, donc quon a
    soustrait 9.
  • Conclusion -7 (-2) -9

26
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs
  • Remarque en suivant la 3e voie, on na pas eu
    besoin de rencontrer les nombres opposés
  • On consigne ce que lon vient de trouver dans le
    cahier de cours qui porte sur le calcul de la
    somme de deux relatifs.
  • La commutativité de est rencontrée en
    remarquant légalité des résultats obtenus en
    commutant les termes (admise), mais il est
    possible den faire une démonstration orale
  • Exercices On peut désormais donner aux élèves
    les exercices classiques dentraînement au calcul
    de la somme de deux relatifs.

27
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie non testée
  • Etape 6 
  • P Après laddition, la soustraction est-elle
    une autre opération possible avec les relatifs ?
    On se souvient que lon avait buté sur les
    calculs 7 (-2) et -7 (-2)
  • Les élèves se lancent dans diverses tentatives
    certains essaient de faire intervenir la
    technique de lemprunt donc faire intervenir
    lopposé de -2 mais sans succès car 5 2 (-2)
    1re voie non testée
  • P Peut-on utiliser le technique de lemprunt en
    utilisant -2 ? A quoi faut-il  emprunter  ?

28
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie non testée
  • Si on écrit 7  (-2)  9 -2  (-2)
  • 9  (-2)  (-2)
  • 9 0 On admet a b
    (a b )
  • 9
  • Puis les élèves résolvent par eux-mêmes, sans
    laide du professeur, le cas du calcul de
    -7  (-2)  par emprunt  -7 -5 2 -5 (-2)

29
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie testée
  • Si on écrit 7  (-2)  7 -2  (2)  (-2) ou
  • si on choisit décrire  7  (-2)  7 2  (-2) 
     (-2)
  • Que se passe-t-il ???
  • Puis les élèves résolvent par eux-mêmes, sans
    laide du professeur, le cas du calcul de
    -7  (-2)

30
Temps 2  définition et opérations sur les
nombres relatifs
  • Les élèves continuent à utiliser cette technique
    dans dautres calculs, le plus judicieusement
    possible  10 - (-15) -3 - (-9) -4 - (9)
    -9 - (-3) 8 - (-5) 5,3 - (-5,12)
    -5 - ( 8) -15 - ( 10) 9 - (-4)
  • On consigne dans le cahier de cours la technique
    la plus économique
  • Exercice Déterminer les valeurs de d dans les
    différents cas suivants  6,3  d  2,9 d  (-1,7
    )  -2,4  -5,3  d (-2,8)   

31
Lordre et les inéquationsLe début dun long
parcours de la 5e (et même avant) à la 3e (et
même après) Ebauche pour le PER sur les relatifs
Question génératrice de létude comment faire
pour comparer ?
32
En 5e lordre dans Z et dans D
  • Les élèves ont étudié la nécessité des nombres
    relatifs, leur addition et leur soustraction
    (lexposé de ce PER sera fait le 16 avril)
  • On se pose la question Q  Comment faire pour
    comparer deux relatifs ? 
  • Si lon a appris à comparer deux positifs, la
    chose est moins probante lorsquil sagit de
    comparer un négatif et un positif, ou deux
    négatifs.
  • Les élèves recourent à la connaissance
     sociale  de telles comparaisons le
    professeur explique que lon va en rechercher une
    validation mathématique

33
En 5e lordre dans Z et dans D
  • On a déjà remarqué que lorsquon soustrait un
    positif à un nombre qui lui est plus grand, on
    obtient un positif on obtient un négatif dans
    le cas contraire 9  3   et 3  9  
    5,7  2,3  et 2,3  5,7   etc.
  • On a ainsi travaillé 
  • a et b étant deux nombres positifs
  • si a lt b, alors a  b est négatif
  • si a gt b, alors a  b est positif
  • Question Peut-on se servir de cette remarque
    pour répondre à la question Q  Comment faire
    pour comparer deux relatifs ?  ?

34
En 5e lordre dans Z et dans D
  • Question La réciproque étant vraie pour les
    positifs, pourrait-on létendre aux autres
    nombres que lon souhaite comparer ?
  • On la teste sur des exemples
  • -7  (-9)  -7  9  2  ce qui voudrait donc
    dire
  • que -7 gt -9
  • -1,5  (1,2)  -1,5  1,2  -2,7  ce qui
    voudrait
  • donc dire que -1,5 lt 1,2
  • -0,43 - (-0,58)  -0,43  0,58  0,15  ce qui
  • voudrait donc dire que -0,43 gt -0,58

35
En 5e lordre dans Z et dans D
  • La question demeure comment établir
    mathématiquement ces résultats ?
  • Le professeur fait remarquer que pour comparer
    deux nombres, il suffit de les ajouter à un même
    nombre et de comparer les résultats, si on sait
    le faire. On postule lextension à Z et D de la
    compatibilité de lordre avec laddition dans N
    on se sert de
  •  Si a c lt b c alors a lt b 
  • Remarque cest le programme qui limpose
    puisquon na pas la définition a lt b ? a b lt 0
    qui permet détablir ensuite la compatibilité.
  • Question quajouter à -7 et -9 pour pouvoir
    ainsi les comparer ? A -1,5 et 1,2 ? A -0,43 et
    -0,58 ?

36
En 5e lordre dans Z et dans D
  • Nouvelles questions Quelle est la règle
    générale de comparaison ? Peut-on ordonner ainsi
    les entiers relatifs ?
  • Commençons par comparer les négatifs autour de -7
    et -9, puis tous les négatifs.
  • On sait que 0 lt 1 lt 2 lt 3 lt Quel lien entre les
    suites ordonnées des négatifs et des positifs ?
    Des élèves savent que -1 lt 0 le démontrer !
  • On étend lordre sur Z à D et on sexerce.
  • On établit ainsi les règles de comparaison des
    relatifs.

37
En 4e ordre et multiplication (ébauche)
  • Sans calcul, dire quel est le signe de 7,352
    2,302 ? -8,4 2,4 ? -0,025 - 0,25 ?
  • On reprend ce qui a été étudié en 5e et qui na
    pas été institutionnalisé, propre à lordre et au
    signe de la différence. On avait vu pour les
    positifs que si a lt b alors a b négatif. Cette
    propriété sétend-elle à tous les relatifs ?
  • Cette propriété a-t-elle une réciproque vraie ?
  • La réponse à cette question passe par lexamen
    des quatre cas pour les signes de a et b.

38
En 4e ordre et multiplication (ébauche)
  • On établit ainsi a lt b ? a b lt 0
  • et a gt b ? a b gt 0
  • Remarques
  • comme un relatif est soit positif, soit négatif,
    soit nul, alors étant donnés deux relatifs a et
    b, on a soit a lt b, soit a gt b, soit a b (? Q
    est totalement ordonné)
  • a 0 a, a positif ? a gt 0
  • et a négatif ? a lt 0
  • Question Sachant que n lt -1, peut-on établir
    une inégalité pour n 1 ? n 1 ? 5 n ? -5
    n ? n/5 ? n/(-5) ? Vérifier les affirmations sur
    des valeurs numériques.

39
En 4e ordre et multiplication (ébauche)
  • Question comment se fait-il que si on ajoute
    ou retranche un même nombre, linégalité ne
    semble pas changer, mais que cest faux si on
    multiplie ? Quelles propriétés expliquent et
    justifient que partant de n lt a, on ait n 1 lt
    a 1, 5n lt 5a et -5n gt -5a ? Pourquoi cela ?
  • On établit ainsi
  • Si a lt b alors a b lt 0
  • alors (a c) (b c) lt 0
  • alors a c lt b c
  • Avec c gt 0, si a lt b alors (a b)c lt 0 donc ac
    lt bc
  • Avec c lt 0, si a lt b alors (a b)c gt 0 donc
    ac gt bc
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