Title: Un parcours d
1Un parcours détude et de recherche sur les
nombres relatifs en 5eDes pistes pour un atelier
de travail et de débat
- Groupe didactique de lIREM dAix-Marseille
- Journées AMPERES des 19 20 mai 2009
2Notre choix didactique
- On se place dans un cadre interne aux
mathématiques, ce qui évite de devoir
immédiatement traiter de la modélisation - Les relatifs sont des programmes de calcul
- P1 à un nombre on ajoute un deuxième et on
soustrait un troisième . Le relatif est le
programme P2, simplifié à partir de P1 tout en
lui étant équivalent à un nombre on ajoute ou
soustrait un deuxième
3Notre choix didactique
- Avant daborder ce PER, les élèves ont travaillé
la définition de la différence (dans N ou dans
D ) cest une connaissance disponible, non
problématique. La différence des nombres a et b
est d tel que a d b et on note d b a - Le début de lenseignement sappuie sur des
moments courts de calcul mental et réfléchi (10
min en début dheure) étalés dans la durée
4Temps 1 élaboration dun stratégie pour
calculer mentalement a b - c
- Etape 1 cas b gt c
- Consigne 1
- Effectue mentalement les calculs suivants
- 17 21 - 1 148 199 - 99 17 35 - 15
- 131 256 - 56 39 58 8 185 2017 - 17.
- P Faisant de la sorte, est-on sûr davoir
obtenu les résultats exacts ? - Institutionnalisation de cette nouvelle technique
- Exercice 15 37 7 121 229 29 58
1024 24 104 72 12. -
5Temps 1 élaboration dun stratégie pour
calculer mentalement a b - c
- Etape 2 b gt c ou b lt c
- Consigne 2
- Effectue mentalement les calculs suivants
- 14 17 - 15 114 17 - 15 1802 319 - 315
- 4374 62 - 61 4374 61 62 7081 61
62 . - P A quoi équivaut le programme de calcul
ajouter 61 puis soustraire 62 ? - Nouvelle institutionnalisation Ajouter 61 et
soustraire 62 à un nombre revient à soustraire 1
à ce nombre
6Temps 1 élaboration dun stratégie pour
calculer mentalement a b - c
- Etape 3 c gt b
- Consigne 3
- Effectue mentalement les calculs suivants
- 458 45 - 46 3469 45 46 3469 124 -
125 15627 124 125 15627 313 - 314 823
313 314 823 32 - 33 4586 32 33
4586 7538 7539 3,5 32 31 823 7,2
8,2. - P Quavons-nous appris de ces calculs ?
Lattention des élèves est attirée par ce qui se
fait avec b c.
7Temps 1 élaboration dun stratégie pour
calculer mentalement a b - c
- Institutionnalisation
- 3. Une nouvelle notation pour simplifier
lécriture - Pour simplifier lécriture du programme de
calcul, à un nombre, on ajoute 45 et on
soustrait 46 , on aurait pu écrire 45 46
- 1. On a préféré écrire 45 46 -1 qui
signifie que si à un nombre, on ajoute 45 puis on
soustrait 46, alors on lui soustrait 1. - Exercice Trouver dautres écritures qui donnent
1.
8Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs
- Etape 4 mise en évidence de nombres négatifs
- 1re voie Trouvez des programmes de calculs
revenant à soustraire 2, 3, 4, 5 ou 6 au premier
nombre, donc à écrire 2, -3, -4, -5 ou 6 - 2de voie liste de calculs en travail à la
maison - Ecris sous forme simplifiée à quoi équivaut
lapplication au premier nombre de laddition
suivie de la soustraction, dans ces calculs
15627 314 - 316 823 31- 34 4586 44
48 26 52 55 364,5 524,1 524,6 1010
0,21 0,31 23,6 2,2 2,9.
9Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs
- Exercice pour chaque programme de calcul
ci-dessous, donnez le programme de calcul
équivalent le plus simple 4 5 3,7 4,7
6,34 9,34 503,9 510,9 54 70 768,3
769, 5 72,165 74,166 0,8 0,9 1,7
1,79 2,85 22,85. - Question par P ou les élèves On a vu quon
pouvait écrire de manière simplifiée un programme
de calcul qui aboutit à soustraire, peut-on faire
de même pour ajouter ?
10Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs
- 21 1 20 (ajouter 21 puis soustraire 1
équivaut à ajouter 20) - On décide, par commodité, de ne pas écrire le
premier nombre - Institutionnalisation Si à un nombre on ajoute
2017 puis on soustrait 17, alors on ajoute 2000 à
ce nombre on le note 2017 17 2000 .
Remarque, pour gagner du temps, cette phrase peut
être remplacée par 2017 17 2000 - Exercice 7 11 5 2 8 13
- - 12 10 8 3 - 7 4 - 11 7
- 2 5 - 13 8 10 12 - 3
8 4 7
11Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs
- Cours
- II. Un nouveau type de calculs
- 1. Exemples
- 7 11 -4 - 3 8 5
- 2. Propriété de ce nouveau type de calculs
- Si on change lordre des opérations dans un
programme de calcul contenant des additions et
des soustractions, on obtient un programme de
calcul équivalent - 7 11 - 11 7 - 4 - 3 8 8 3
5 - Type dexercices - 8 5 - 8 8 4
5 - 10 20 -8 8 - 5 5 1 7
4 3 4 4 2
12Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs
- III. De nouveaux nombres les nombres négatifs
- 1. Les nombres négatifs, les nombres relatifs
- Définition On décide de considérer -1, -2, -3
comme de nouveaux nombres. Ils sont précédés dun
signe - et on les appelle nombres
négatifs . On les écrit -1, -2, -3, - Remarques
- a) - 5 5 1 - 1 Donc 0 1 -1
- b) 4 4 2 2
- Or 0 2 2 Donc 2 2
-
13Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs
- Définitions
- Les nombres (arithmétiques), utilisés jusquà
présent, peuvent donc être notés avec un signe
on les appelle des nombres positifs. - b) Nombres positifs et négatifs sont appelés
nombres relatifs - Remarque Le nombre 0 est un nombre à la fois
positif et négatif (un programme de calcul ne
change pas sil est équivalent à ajouter ou
soustraire 0)
14Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs
- Etape 5 addition des relatifs
- P Comment savoir si ces nombres nouveaux, que
lon appelle nombres relatifs, se comportent
comme les nombres que lon connaissait
auparavant ? Pour cela, recherchons ce qui se
fait avec des nombres. - En principe, les élèves répondent quon calcule
avec les nombres - P par exemple peut-on calculer la somme et la
différence de 7 et 2, de 7 et -2, de -7 et -2,
de -5 et 3 ? - AU TRAVAIL !!!
15Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs
- Consigne 5 Calculer les sommes suivantes de
nombres relatifs 7 (-2) -7 (-2) - Une difficulté le raisonnement utilisé, basé
sur les programmes de calcul, sapplique à 7 - 2
mais son extension à 7 (-2) mérite dêtre
interrogée, de même que pour la transformation de
-7 (-2) en 7 2. - ATTENTION !!! CHANGEMENT PAR RAPPORT AU FICHIER
EN LIGNE - Une 1re voie P reprend la main une idée
difficile à trouver, est demprunter 2 à 7
dans le calcul de 7 (-2)
16Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie (non testée)
- 7 (-2)
- 7 (-2)
- 5 2 (-2) On admet lassociativité de dans
Z - Nouvelle question à quoi peut être égal 2
(-2) ? - P 2 (-2) est-il ou non égal à 0, comme
certains le disent ? Quest-ce qui nous le
prouve ? - On transforme ainsi la question 2 (-2)
0 ? en résoudre léquation 2 x 0 ,
donc trouver x qui, ajouté à 2, donne 0. - 2 0, cest la définition de la différence
de 0 et 2, notée 0 2 -2
17Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie (non testée)
- On vient donc de démontrer que 2 (-2) 0. Il
en est de même pour 3 (-3), etc. -2 (2) -2
2 0 (puisque 2 2), - On dit que - 8 est lopposé de 8 et que 8 est
lopposé de - 8, ou encore que 8 et 8 sont
opposés. - On a établi la commutativité pour laddition des
opposés. - Terminez le calcul
18Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie (non testée)
- En utilisant le résultat présupposé par les
élèves, ce calcul donne -9 . On sait déjà que
-7 - 2 -9, donc - -7 (-2) -7 - 2 2 (-2)
- -7 - 2 0 -9
- Exercices dentraînement du type Calculer 10
(-15) -3 (-9) -4 (9) -9 (-3)
8 (-5) 5,3 (-5,12) -5 ( 8)
-15 ( 10) 9 (-4)
19Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie (testée)
- Consigne 5 Calculer les sommes suivantes de
nombres relatifs 7 (-2) -7 (-2) - Une difficulté le raisonnement utilisé, basé
sur les programmes de calcul, sapplique à 7 - 2
mais son extension à 7 (-2) mérite dêtre
interrogée, de même que pour la transformation de
-7 (-2) en 7 2. - RETOUR AU FICHIER MIS EN LIGNE
- P reprend la main une idée difficile à trouver,
introduire 0 dans le calcul de 7 (-2)
20Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie (testée)
- 7 (-2)
- 7 (-2)
- 7 0 (-2)
- Sentraîner à écrire 0 8 8 0,
5 5 0 et 4 4 0 avec des programmes de
calcul - P Quelle écriture pourrait nous servir pour
remplacer 0 dans le calcul de 7 0 (-2) ? - Quatre possibilités
- AU TRAVAIL !!!
21Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie (testée)
- P Ne peut-on examiner les quatre calculs
précédents de manière à faire apparaître la somme
de deux opposés et la remplacer par 0 ? - P 2 (-2) est-il ou non égal à 0 ? Quest-ce
qui nous le prouve ? Peut-on démontrer quajouter
à un nombre son opposé donne une somme nulle ? - On transforme ainsi la question 2 (-2)
0 ? en résoudre léquation 2 x 0 ,
donc trouver x qui, ajouté à 2, donne 0. - On vient donc de démontrer que 2 (-2) 0. Il
en est de même pour 3 (-3), etc. -2 (2) -2
2 0 (puisque 2 2), ce qui établit la
commutativité pour laddition des opposés.
22Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie (testée)
- P -7 (-2) -7 0 (-2)
- -7 2 2 (-2)
- -9 0
- -9
- Exercice Calculer 10 (-15) -3 (-9)
-4 (9) -9 (-3) 8 (-5) 5,3
(-5,12) -5 ( 8) -15 ( 10) 9
(-4) - AU TRAVAIL !!!
23Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs 3e voie (non testée)
- Consigne 5 Calculer les sommes suivantes de
nombres relatifs 7 (-2) -7 (-2) - Une difficulté le raisonnement utilisé, basé
sur les programmes de calcul, sapplique à 7 - 2
mais son extension à 7 (-2) mérite dêtre
interrogée, de même que pour la transformation de
-7 (-2) en 7 2. - P reprend la main une idée difficile à trouver,
et si on revenait à la définition des
programmes de calcul ?
24Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs 3e voie (non testée)
- Par exemple que 7 est une simplification pour un
programme de calcul, comme à un nombre on
ajoute 9 et on soustrait 2 et -2 à un nombre
on ajoute 3 et on soustrait 5 - Ainsi le calcul 7 (-2) revient à dire quà un
nombre on ajoute 9, on soustrait 2, puis on
ajoute 3 et on soustrait 5 , donc à ce nombre on
ajoute 9 2 3 5 qui font 5. - Donc 7 (-2) 5 5
25Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs 3e voie (non testée)
- On continue avec les autres calculs -7 (-2)
- -7 signifie quà un nombre on a soustrait 7, ce
quon peut par exemple écrire quon lui ajoute 2
et soustrait 9 peut-être - -2 sest par exemple encore quon ajoute 3 et
soustrait 5 - Donc -7 (-2) signifie quà un nombre on
ajoute 2, soustrait 9, ajoute 3 et soustrait 5,
donc quon fait 2 9 3 5, donc quon a
soustrait 9. - Conclusion -7 (-2) -9
26Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs
- Remarque en suivant la 3e voie, on na pas eu
besoin de rencontrer les nombres opposés - On consigne ce que lon vient de trouver dans le
cahier de cours qui porte sur le calcul de la
somme de deux relatifs. - La commutativité de est rencontrée en
remarquant légalité des résultats obtenus en
commutant les termes (admise), mais il est
possible den faire une démonstration orale - Exercices On peut désormais donner aux élèves
les exercices classiques dentraînement au calcul
de la somme de deux relatifs.
27Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie non testée
- Etape 6
- P Après laddition, la soustraction est-elle
une autre opération possible avec les relatifs ?
On se souvient que lon avait buté sur les
calculs 7 (-2) et -7 (-2) - Les élèves se lancent dans diverses tentatives
certains essaient de faire intervenir la
technique de lemprunt donc faire intervenir
lopposé de -2 mais sans succès car 5 2 (-2)
1re voie non testée - P Peut-on utiliser le technique de lemprunt en
utilisant -2 ? A quoi faut-il emprunter ?
28Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs 1re voie non testée
- Si on écrit 7 (-2) 9 -2 (-2)
- 9 (-2) (-2)
- 9 0 On admet a b
(a b ) - 9
- Puis les élèves résolvent par eux-mêmes, sans
laide du professeur, le cas du calcul de
-7 (-2) par emprunt -7 -5 2 -5 (-2)
29Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs 2e voie testée
- Si on écrit 7 (-2) 7 -2 (2) (-2) ou
- si on choisit décrire 7 (-2) 7 2 (-2)
(-2) - Que se passe-t-il ???
- Puis les élèves résolvent par eux-mêmes, sans
laide du professeur, le cas du calcul de
-7 (-2)
30Temps 2 définition et opérations sur les
nombres relatifs
- Les élèves continuent à utiliser cette technique
dans dautres calculs, le plus judicieusement
possible 10 - (-15) -3 - (-9) -4 - (9)
-9 - (-3) 8 - (-5) 5,3 - (-5,12)
-5 - ( 8) -15 - ( 10) 9 - (-4) - On consigne dans le cahier de cours la technique
la plus économique - Exercice Déterminer les valeurs de d dans les
différents cas suivants 6,3 d 2,9 d (-1,7
) -2,4 -5,3 d (-2,8)
31Lordre et les inéquationsLe début dun long
parcours de la 5e (et même avant) à la 3e (et
même après) Ebauche pour le PER sur les relatifs
Question génératrice de létude comment faire
pour comparer ?
32En 5e lordre dans Z et dans D
- Les élèves ont étudié la nécessité des nombres
relatifs, leur addition et leur soustraction
(lexposé de ce PER sera fait le 16 avril) - On se pose la question Q Comment faire pour
comparer deux relatifs ? - Si lon a appris à comparer deux positifs, la
chose est moins probante lorsquil sagit de
comparer un négatif et un positif, ou deux
négatifs. - Les élèves recourent à la connaissance
sociale de telles comparaisons le
professeur explique que lon va en rechercher une
validation mathématique
33En 5e lordre dans Z et dans D
- On a déjà remarqué que lorsquon soustrait un
positif à un nombre qui lui est plus grand, on
obtient un positif on obtient un négatif dans
le cas contraire 9 3 et 3 9
5,7 2,3 et 2,3 5,7 etc. - On a ainsi travaillé
- a et b étant deux nombres positifs
- si a lt b, alors a b est négatif
- si a gt b, alors a b est positif
- Question Peut-on se servir de cette remarque
pour répondre à la question Q Comment faire
pour comparer deux relatifs ? ?
34En 5e lordre dans Z et dans D
- Question La réciproque étant vraie pour les
positifs, pourrait-on létendre aux autres
nombres que lon souhaite comparer ? - On la teste sur des exemples
- -7 (-9) -7 9 2 ce qui voudrait donc
dire - que -7 gt -9
- -1,5 (1,2) -1,5 1,2 -2,7 ce qui
voudrait - donc dire que -1,5 lt 1,2
- -0,43 - (-0,58) -0,43 0,58 0,15 ce qui
- voudrait donc dire que -0,43 gt -0,58
35En 5e lordre dans Z et dans D
- La question demeure comment établir
mathématiquement ces résultats ? - Le professeur fait remarquer que pour comparer
deux nombres, il suffit de les ajouter à un même
nombre et de comparer les résultats, si on sait
le faire. On postule lextension à Z et D de la
compatibilité de lordre avec laddition dans N
on se sert de - Si a c lt b c alors a lt b
- Remarque cest le programme qui limpose
puisquon na pas la définition a lt b ? a b lt 0
qui permet détablir ensuite la compatibilité. - Question quajouter à -7 et -9 pour pouvoir
ainsi les comparer ? A -1,5 et 1,2 ? A -0,43 et
-0,58 ?
36En 5e lordre dans Z et dans D
- Nouvelles questions Quelle est la règle
générale de comparaison ? Peut-on ordonner ainsi
les entiers relatifs ? - Commençons par comparer les négatifs autour de -7
et -9, puis tous les négatifs. - On sait que 0 lt 1 lt 2 lt 3 lt Quel lien entre les
suites ordonnées des négatifs et des positifs ?
Des élèves savent que -1 lt 0 le démontrer ! - On étend lordre sur Z à D et on sexerce.
- On établit ainsi les règles de comparaison des
relatifs.
37En 4e ordre et multiplication (ébauche)
- Sans calcul, dire quel est le signe de 7,352
2,302 ? -8,4 2,4 ? -0,025 - 0,25 ? - On reprend ce qui a été étudié en 5e et qui na
pas été institutionnalisé, propre à lordre et au
signe de la différence. On avait vu pour les
positifs que si a lt b alors a b négatif. Cette
propriété sétend-elle à tous les relatifs ? - Cette propriété a-t-elle une réciproque vraie ?
- La réponse à cette question passe par lexamen
des quatre cas pour les signes de a et b.
38En 4e ordre et multiplication (ébauche)
- On établit ainsi a lt b ? a b lt 0
- et a gt b ? a b gt 0
- Remarques
- comme un relatif est soit positif, soit négatif,
soit nul, alors étant donnés deux relatifs a et
b, on a soit a lt b, soit a gt b, soit a b (? Q
est totalement ordonné) - a 0 a, a positif ? a gt 0
- et a négatif ? a lt 0
- Question Sachant que n lt -1, peut-on établir
une inégalité pour n 1 ? n 1 ? 5 n ? -5
n ? n/5 ? n/(-5) ? Vérifier les affirmations sur
des valeurs numériques.
39En 4e ordre et multiplication (ébauche)
- Question comment se fait-il que si on ajoute
ou retranche un même nombre, linégalité ne
semble pas changer, mais que cest faux si on
multiplie ? Quelles propriétés expliquent et
justifient que partant de n lt a, on ait n 1 lt
a 1, 5n lt 5a et -5n gt -5a ? Pourquoi cela ? - On établit ainsi
- Si a lt b alors a b lt 0
- alors (a c) (b c) lt 0
- alors a c lt b c
- Avec c gt 0, si a lt b alors (a b)c lt 0 donc ac
lt bc - Avec c lt 0, si a lt b alors (a b)c gt 0 donc
ac gt bc