La M

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La Mécanique Céleste

• Présenté le JJ numéro 2455638

Gérard Debionne
Inspiré dun exposé de Gil
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La mécanique céleste, cest dabord cela
Cest-à-dire, des calculs qui prédisent lavenir
des planètes
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Mais cest aussi une histoire
Une histoire extraordinaire dont les acteurs ont
à jamais leur nom gravé au firmament de
lexcellence.
Une histoire qui commence dans la Grèce antique
qui survit en orient, grâce aux arabes et qui
fait une longue escale dans la somnolence
médiévale de lEurope.
Une histoire enfin qui repart en Europe à la
renaissance et qui va faire des progrès fulgurant
à partir du 18ème siècle grâce aux découvertes
fondamentales dun savant anglais, Isaac Newton.
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Une définition
La mécanique céleste est lapplication des lois
de la physique à la prévision des mouvements des
corps célestes dans lunivers. Cette science
sest développée dans lespace restreint dans
lequel lobservation précise pouvait confirmer
ou infirmer les calculs des géomètres,
cest-à-dire dans notre système solaire.
L'histoire de la mécanique céleste est jalonnée
de noms illustres qui ont bouleversé nos
conceptions du monde au cours des siècles
Hipparque, Copernic, Galilée, Kepler, vont
décrire lunivers
Newton, Euler, Lagrange, Halley, Laplace, et
enfin Einstein vont  expliquer  les mouvements
des corps en établissant des lois mathématiques
qui permettent de prévoir les positions passées
ou futures des astres à partir des positions
présentes.
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Lantiquité
Depuis l'antiquité, le ciel est constitué de la
sphère des étoiles fixes, immuable, sur laquelle
circulent le Soleil, la Lune et 5 planètes
("astres errants " en grec) Mercure, Vénus,
Mars, Jupiter et Saturne. D'après Platon (Ve
siècle av.JC), héritier des courbes parfaites de
la philosophie grecque "Seul le mouvement
circulaire uniforme peut rendre compte de la
perfection et de l'harmonie de l'univers ".
Ce mouvement circulaire ne suffit pas à expliquer
simplement la position réelle des planètes. A
cette époque, la Terre est au centre du système,
et on constate très vite que la distance des
planètes à la Terre varie au cours de l'année,
sans compter la rétrogradation de certaines
planètes comme Mars. Hipparque (150 av. JC),
s'appuyant sur les idées d'un mathématicien grec
(Apollonios de Perga), imagine un système
d'épicycles pour expliquer ces variations tout en
conservant le mouvement circulaire uniforme comme
base. La variation des vitesses du déférent par
rapport à l'épicycle permettait de rendre compte
du mouvement complexe de chaque planète.
Cette idée fut reprise par Ptolémée, 3 siècles
plus tard. Il importait moins à l'époque de
savoir comment les planètes se déplaçaient que de
pouvoir prédire leurs positions à un moment
donné.
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Lhéritage de lantiquité
De lantiquité allait subsister pendant très
longtemps le système d épicycles Le Soleil et
les planètes tournent autour de la Terre sur des
orbites composées dun cercle principal et de
cercles secondaires
Le schéma ci-dessus représente le trajectoire
réelle de Mars vue de la Terre. Il justifie assez
bien la notion dépicycle.
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Lhéritage de lantiquité
La même chose pour Jupiter
Le schéma ci-dessus représente le trajectoire de
Jupiter vue de la Terre. Il justifie assez bien
la notion dépicycle.
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La révolution copernicienne
.
Le monde avant et après Copernic
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La révolution copernicienne
Quinze siècles plus tard, Copernic remet le
Soleil au centre du système des planètes, mais
conserve le système d'épicycles qui s'est
compliqué au cours des siècles du fait des écarts
de plus en plus importants entre la théorie et la
réalité. Le mouvement circulaire ne suffit pas à
expliquer simplement la position réelle des
planètes.
A lépoque, léglise est très puissante. Copernic
publiera son célèbre ouvrage (de Revolutionibus
Orbium Coelestium) à titre posthume en 1543 en
prenant la précaution dexpliquer dans sa préface
que ce point de vue révolutionnaire nest quun
artifice destiné à simplifier les calculs.
.
Copernicien convaincu, un disciple de Tycho
Brahé, Johanes Kepler (1571-1630) reprend la
place d' astronome impérial à Prague en 1601, à
la mort de celui-ci.
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Le rôle de Kepler
Ayant une confiance absolue dans les mesures de
son maître Tycho Brahe, Kepler ne peut croire que
celui-ci ait pu faire des erreurs aussi
importantes que celles qui existent entre ses
mesures et l'hypothétique mouvement circulaire
uniforme. Dès 1602, il comprend que plus la
planète se rapproche du Soleil, plus elle va
vite.
Après avoir reporté les mesures relatives de Mars
et de la Terre, il comprend en 1605 que le
mouvement de Mars n'est pas un cercle, mais une
ellipse. Il essaie sur les autres planètes et ça
marche .
En 1609, il énonce dans  Astronomia nova   ses
2 premières lois
(i) Chaque planète décrit une ellipse autour du
soleil qui occupe un des 2 foyers.
.
(ii) Dans le mouvement elliptique des planètes,
leur rayon vecteur balaie des aires égales en des
temps égaux.
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Les lois de Kepler
En 1609, Kepler est alors âgé de 38 ans.
Louvrage contient les démonstration ainsi que
tous les détails de son cheminement intellectuel.
Dans un premier temps, Kepler donnera la loi des
aires pour une orbite circulaire avec le centre
légèrement décalé.
En langage daujourdhui, on dirait que Kepler a
fait de la cinématique. Son successeur Newton,
fera de la mécanique.
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La troisième loi de Kepler 
De nombreuses années vont sécouler avant que
Kepler ne propose sa 3ème loi. Pendant tout ce
temps, une idée ne va pas le quitter, celle
dharmonie Lexplication ultime de la nature est
simple, cest Dieu qui la créé Ce quil faut
savoir cest quelle sorte de règle Dieu a-t-il
mis en place pour faire bouger tout cela ?
Kepler va tâtonner longtemps, la nouvelle idée
quil cherche à exploiter est que pour tenir
compte du fait quune orbite nest pas
caractérisée simplement par un rayon mais par
plusieurs paramètres et notamment des vitesses
variables, il faut que lharmonie de la nature
apparaisse sous plusieurs formes. A lépoque, on
est capable de dresser le tableau suivant
Planète Période de révolution Distance au Soleil
Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne 88 jours 228 jours 365.25 jours 687 jours 12 ans 29.5 ans 0.38 UA 0.76 UA 1 UA 1.52 UA 5.2 UA 9.5 UA
Il manque lexplication de tout cela, Kepler va
travailler et trouver!
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La troisième loi de Kepler 
En résumé, Kepler va accomplir deux démarches
bien distinctes 
(i) Il va reprendre des travaux ébauchés dans le
Mysterium dans lequel il cherchait en vain une
proportionnalité entre les périodes et les
distances au Soleil. La nouveauté est que cette
fois il compare les périodes au carré des
distances
(ii) Il va calculer des rapports de vitesses des
planètes entre aphélie et périhélie (min et max
des distances au Soleil) et entre ces mêmes
grandeurs pour 2 orbites de planètes
consécutives. Pour chacun de ces rapports de
vitesses, il trouve un rapport appartenant à la
gamme harmonique des musiciens, cest à dire
considéré comme agréable à loreille.
De ces interminables tâtonnements sort un jour un
résultat étonnant 
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La troisième loi de Kepler 
Le bon exposant X quil faut mettre sur le
rapport (A1/A2) des grands axes pour obtenir le
rapport (P1/P2) des périodes est tout simplement
la moyenne des deux rapports précédemment
essayés, à savoir 1,53/2, mais ce rapport, cest
surtout celui de la consonance 3/2, la quinte qui
convient parfaitement, à la fois parce quelle
respecte la notion dharmonie musicale mais aussi
et surtout parce quelle correspond enfin aux
observations. On est encore très loin dune
démarche scientifique moderne
De nos jours, on sait facilement démontrer cette
loi dans le cas particulier d'une orbite
circulaire. Pour cela, on égale la force
centrifuge en m.V²/R à l'attraction
gravitationnelle en G.M.m/A² et la troisième loi
s'en déduit immédiatement, qui plus est avec la
bonne constante de proportionnalité. (ou
presque!)  
Soit aussi
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Lapport de Galilée (1564 1642) 
Ce nest pas pour rien si aujourdhui on parle de
référentiel galiléen pour décrire un référentiel
qui nest soumis à aucune accélération
Galilée est lexpérimentateur infatigable de la
mécanique classique (plan incliné). Il
découvrira la loi régissant la chute des corps et
le mouvement parabolique. Il sintéressera aussi
au pendule. Le premier, il fit une théorie des
marées. (Très simplifiée !!!)
En astronomie, il prit part au débat sur le
mouvement de la Terre, soutenant les thèses de
Copernic, ce qui failli lui couter la vie.
Galilée est aussi le premier (1609) à utiliser
une lunette astronomique. Sa découverte des 4
satellites de Jupiter militera fortement en
faveur de son point de vue sur lorganisation du
système solaire autour du Soleil.
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Newton naissance de la modernité 
Utilisant les travaux de Galilée sur la chute des
corps, la force d'inertie et les corps en
mouvement (la cinématique) et surtout, les lois
de Kepler, un physicien anglais Isaac Newton
(1642-1727), réussit à démontrer géométriquement
qu'on peut expliquer le mouvement képlérien des
planètes autour du Soleil en supposant que les
corps sattirent mutuellement avec une force
d'attraction proportionnelle à leur masse et
inversement proportionnelle au carré de leur
distance.
Newton, après avoir précisé les notions de temps
et despace, résumera ses travaux en plusieurs
lois
La loi de la dynamique Force Masse x
Accélération (dusage universel)
La loi dinertie (Galilée) et légalité entre
action et réaction.
La loi de la gravitation (en notations
modernes).
La dernière loi écrite pour 2 points matériels
sera étendue à des masses non ponctuelles.
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La mécanique céleste selon Newton
Pour des raisons qui ne sont pas entièrement
claires, Newton n'a jamais formellement écrit les
lois qui portent son nom. Encore plus curieux, il
n'a jamais écrit dans les Principia d'équations
différentielles, et par conséquent n'a jamais
présenté de solutions analytiques au mouvement
des planètes.
Cette particularité a contribué au mouvement de
contestation des lois de Newton après la
publication des Principia. Expliquons-nous
L'un des points les plus contesté des Principia
(par Huygens et Bernoulli) est l'idée d'une
action à distance et son coté un peu magique qui
trouble le monde scientifique de l'époque, qui
croit y revoir les explications métaphysiques des
anciens.
A l'époque, les explications de Descartes avec
des "tourbillons à caractère magnétique"
présentent l'avantage du concret et sont bien
mieux acceptés.
La non utilisation de l'outil mathématique (dans
ses publications) est d'autant plus troublante
que la preuve du caractère elliptique des orbites
planétaires repose sur des raisonnements
géométriques mais aussi sur une loi en 1/R²
énoncée par Newton.
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Newton naissance de la modernité 
Néanmoins, Newton exploite ses lois. Il mesure
l'accélération de la pesanteur à la surface de la
Terre g9,81m/s², la masse étant concentrée au
centre de gravité. Il en déduit la valeur de MT.G
Ces lois ouvraient à l'astronomie des
possibilités nouvelles. Elles permirent, entre
autres choses, de peser la Terre et le Soleil en
déterminant la constante G (ce qui viendra plus
tard). Elles permirent aussi de comprendre les
effets de marée.
Curieusement, dans les décennies qui suivirent,
lAngleterre ne bénéficia pas de limmense
notoriété de Newton. Rappelons pourquoi ?
Newton dans ses années de jeunesse (durant la
grande peste de Cambridge) a inventé un outil
extraordinaire, le calcul intégral. Par la suite,
il rejeta cette technique  automatique  de
résolution des problèmes au profit de la
géométrie des Grecs.
Limmense prestige de Newton incita ses collègues
et ses successeurs anglais à travailler comme
lui. Pendant ce temps, sur le continent, on
compris rapidement le parti quon pouvais tirer
du calcul intégral.
Il résultat de cette situation que le premier à
écrire les lois de la mécanique telles que nous
les connaissons aujourdhui fut le génial
mathématicien Léonard Euler.
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Newton naissance de la modernité 
Si les lois de la gravitation universelle
créaient les fondements de la mécanique céleste,
elles n'expliquaient pas les causes physiques de
ce phénomène.
Cette force d'attraction qui agit à distance et
que rien n'arrête était loin de faire l'unanimité
parmi la communauté scientifique. Huygens
combattra ce point de vue qui  sentait le
souffre  et la magie. La seule force à laquelle
on veut croire à lépoque est le magnétisme. En
fait Newton na pas donné une véritable
explication, mais plutôt un  moyen de calcul .
Néanmoins, les preuves de la mécanique de Newton
se sont accumulées au cours des siècles
Halley, à l'aide de ces lois, calcule les orbites
de 24 comètes et prédit le retour de la comète
qui porte son nom en 1759. Il décédera en 1756 et
ne la verra donc pas.
Toutes les découvertes de planètes au 19ème
siècle et tous les calculs de trajectoires de
comètes retrouvées plus tard sont des preuves
indirectes de la validité des lois de Newton.
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La  conquête  de la Lune
En marge des progrès réalisés sur la modélisation
du mouvement des planètes du système solaire, il
faut signaler le  problème roi  de la mécanique
céleste, qui a mobilisé tous les grands
théoriciens, depuis lépoque de Newton jusquau
début du 20ème siècle La théorie du mouvement
de la Lune.

• Le problème est extraordinairement difficile pour
  au moins deux raisons
• La proximité de la Lune qui donne aux
  observations une très grande précision
• Leffet du Soleil dont lénorme masse éloigne
  lorbite de la Lune dune ellipse.

Sans entrer dans la technique, il est juste de
citer les grands esprits qui ont participé à
cette fantastique aventure sur les traces dIsaac
Newton
Au 18ème siècle Euler, Clairaut DAlembert Lagra
nge Laplace
Au 19ème siècle Laplace Delaunay Hansen Hill Brow
n
.
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Le décollage de la mécanique céleste au 18ème
siècle  
A partir de la fin du 17ème siècle, lastronomie
va faire en Europe des progrès immenses,
notamment aux 18ème et 19ème siècles.
Le 18ème siècle est le siècle des lumières. Cest
aussi le siècle où les grandes nations
européennes vont favoriser lastronomie, à la
fois pour des raisons de prestige culturel, mais
aussi pour favoriser la navigation hauturière.
Les deux grands acteurs des fantastiques progrès
que connais la mécanique céleste au 18ème siècle
se nomment Euler et Lagrange. Ils ne découvrent
pas dastre nouveau mais développent les
puissantes méthodes de calculs qui permettent
dexploiter les lois de Newton.
Lagrange met au point une méthode de prévision à
long terme du mouvement des planètes. Cest la
méthode de variation des constantes, les
inconnues dépendant du temps nétant plus les
coordonnées dun astre mais les 6 éléments de son
orbite elliptique qui deviennent variable..
Cest le même Lagrange qui fait la théorie des
 figures déquilibre  du problème à 3 corps,
les célèbres points de Lagrange, dont la théorie
précède dun demi siècle lobservation (les
Troyens de Jupiter).
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Le prodigieux 19ème siècle des astronomes  
Entre le 18ème et 19ème siècle, on trouve la
fabuleuse œuvre de Pierre Simon de Laplace.
Laplace à fait avancer tous les domaines des
mathématiques et de la physique et en particulier
la mécanique céleste.
Laplace est lauteur dun traité de mécanique
céleste en 5 volumes qui reprend et complète
largement le savoir de ses prédécesseurs. A
laide des méthodes inventées par Lagrange, il
résous un problème dinégalité inexpliquée sur
Jupiter et Saturne.
Laplace est le premier à sinterroger sur le
caractère instantané de la loi de gravitation
universelle
Laplace va aussi développer les méthodes de
détermination des orbites qui seront reprises et
étendues par K.F. Gauss.
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Le prodigieux 19ème siècle des astronomes  
Le 19ème siècle commence le 1er janvier 1801 par
la découverte de Cérès par Piazzi. Cette
découverte sera suivi tout au long du siècle et
encore aujourdhui par la découverte de nombreux
petits corps qui orbitent entre Mars et Jupiter.
Le 19ème siècle est aussi celui de la découverte
de Neptune (Le Verrier 1846) par le calcul (Ainsi
que par Adams). Au départ, il sagissait
dexpliquer une erreur persistance sur la
modélisation de lorbite dUranus.
A la fin du siècle Félix Tisserand reprendra un
peu à la manière de Laplace, lensemble des
théories relatives à la mécanique céleste dans un
ouvrage en 5 volumes qui est encore cité
aujourdhui.
On peut toutefois regretter quaucun de ces grand
géomètre nai jamais pensé à examiner de plus
près les axiomes de Newton, et en particulier
celui qui impliquait une attraction instantanée
alors quà lépoque la notion de propagation
était déjà dans les esprits.
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Le prodigieux 19ème siècle des astronomes  
A la fin de ce siècle, on verra aussi des
astronomes non européens sintéresser à la
mécanique céleste et publier des tables. Cest en
particulier le cas de laméricain Simon Newcomb
(1835 1909) . En 1870, en visite à Paris, il
quitte la ville assiégée mais réussit à se
procurer des résultats dobservations sur une
période bien plus importante que ceux dont il
disposait en Amérique. Au congrès de 1896, il est
admis par la communauté des astronomes que se
sont les constantes élaborées par Newcomb qui
sont les meilleures.
Ces publications de tables sont accompagnes de
progrès sur la plan théorique, notamment avec les
travaux de Félix Tisserant pour les planètes et
de Hansen et Delaunay pour les théories lunaires.
La fin du 19ème siècle voit a la fois le triomphe
éclatant des sciences dures telles que la
mécanique céleste, mais aussi les premiers
questionnements qui conduiront aux lézardes dans
lédifice de la physique et ouvriront la voie à
la physique moderne du 20ème siècle à laquelle
lastronomie va prendre une part déterminante.
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Les fissures de la Physique à la fin du 19ème
siècle  
Dans son mouvement, la Terre s'approche de
sources lumineuses. On devrait alors observer des
vitesses relatives supérieures à celles de la
lumière. On imagina de faire des mesures.
La plus célèbre de ces expériences est celle de
Michelson et Morley en 1887. Mais toutes les
expériences furent unanimes la vitesse de la
lumière dans le vide ne dépend pas de la
direction de la source ni de la vitesse de
lobservateur. "L'éther" qui a longtemps servi de
support et de référence à la lumière ne tient
plus face à la réalité.
Dans ce contexte, Einstein abandonne les idées
classiques de ses prédécesseurs au sujet de
l'espace et du temps. Dans l'univers de Newton,
les astres se meuvent dans un cadre rigide et
absolu l'espace, et selon une chronologie
invariante le temps
Pour Einstein, espace et temps, matière et
énergie sont interdépendants. Seule constante de
cette scène cosmique mouvante la vitesse de la
lumière, pivot invariant et absolu de ses
théories la relativité, restreinte (1905) puis
générale (1916)
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Le 20ème siècle Les doutes, Einstein et
lordinateur
Le 20ème siècle est donc caractérisé dabord par
des remises en cause de lespace et du temps
durant le premier quart du siècle. Rapidement, la
relativité sinvite dans lastronomie avec la
relativité générale et ses preuves expérimentales.
La mécanique dEinstein sème durablement le
trouble dans la communauté scientifique. Il
faudra deux succès, la prévision de lavance du
périhélie de Mercure et la déviation des rayons
lumineux par une masse importante pour convaincre
une grande partie des septiques.
Pour la seconde moitié du siècle, cest
lapparition de calculateur électronique qui va
changer le visage de la mécanique céleste. On ne
se limite plus aux problèmes qui ont une solution
analytique. On calcule ce dont on a besoin.
Aujourdhui, toutes les éphémérides sont
calculées numériquement. Le numérique na aucune
 modestie . Tout se modélise, le big-bang comme
les trous noir ou lintérieur des étoiles.