TEOREMA DI PITAGORA

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Questo ipertesto è stato realizzato da dr. Rita
Agnelli dr. Elisabetta Porrera dr. Sofia
Sabatti dr. Chiara Zaina Il suo utilizzo è
consentito esclusivamente previa autorizzazione
da parte delle autrici. E-mail sofia_at_sabatti.it
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IL TEOREMA DI PITAGORA
Francobollo emesso dalla Grecia il 20 agosto 1955.
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LA SFIDA
CASI PARTICOLARI
EUCLIDE
IL TEOREMA DI PITAGORA
DIMOSTRAZIONI
LEGAMI CON ALTRE DISCIPLINE
LA STORIA
GLI IRRAZIONALI
4
INDICE

• 1. LA SFIDA
• il problema della duplicazione del
  quadrato errori comuni soluzione del
  problema un esercizio
• 2. CASI PARTICOLARI
• un triangolo rettangolo isoscele terne
  pitagoriche una verifica numerica

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3. IL TEOREMA DI PITAGORA NEGLI ELEMENTI DI
EUCLIDE un nuovo personaggio Euclide la
sua opera gli Elementi libro I, prop. 47 -
48 libro VI, prop. 31 4. DIMOSTRAZIONI
cosa significa dimostrare alcune dimostrazioni
significative
6
5. LA STORIA le civiltà potamiche -
Egiziani - Babilonesi - Indiani -
Cinesi Pitagora e la sua scuola 6.
UNINTRODUZIONE AI NUMERI IRRAZIONALI la
duplicazione del quadrato e la radice quadrata
di 2 costruzione della radice quadrata
di n aspetti naturalistici
7
7. LEGAMI CON ALTRE DISCIPLINE educazione
artistica - origami - la spirale della
Sagrada Familia educazione tecnica pesiamo
il teorema di Pitagora 8. BIBLIOGRAFIA ED
ELENCO SITI
8
CIAO, SONO PIT!Ti accompagnerò alla scoperta del
Teorema di Pitagora.
Un teorema è un enunciato la cui validità è
assicurata da una dimostrazione rigorosa. Quello
di cui ci occuperemo riguarda la geometria e deve
il suo nome ad un personaggio che conosceremo
insieme Pitagora. Durante lesplorazione di
questo mondo affascinante, fai attenzione ai miei
consigli ti aiuteranno a scoprire i segreti
nascosti di tante figure, a capire meglio quello
che ti verrà spiegato e a risolvere i problemi
che incontrerai!
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1. LA SFIDA
La chiave di accesso alla nostra avventura
insieme è la tua voglia di metterti in gioco
benvenuto, allora, alla nostra prima sfida!
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La sfida che ti propongo è questa sai
disegnare un quadrato che abbia area doppia
rispetto a quella di un quadrato assegnato?
Disegna un quadrato sul tuo quaderno e poi
disegnane uno di area doppia.
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Se ti sembra un problema inutile...

• prova a pensare di essere un sarto e di aver
  cucito un fazzoletto che, alla fine, risulta
  essere troppo piccolo cosa faresti se te ne
  commissionassero uno grande il doppio?
• E se tu fossi un geometra e dovessi preparare un
  preventivo per la recinzione di un appezzamento
  di terreno quadrato, di area doppia rispetto
  allultimo di cui ti sei occupato?

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Se ci sei già riuscito sei veramente
incredibile! Se invece hai bisogno di una mano,
prova a leggere qui sotto...

• Molti, al primo tentativo, quadruplicano il
  quadrato, invece di raddoppiarlo.
• Altri raddoppiano larea, ma invece di disegnare
  un quadrato, disegnano un rettangolo.
• Prova a concentrarti e ad usare un po della
  fantasia che hai...

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Devo pensare, devo provare e riprovare Ma
come faccio a non abbattermi?!...

• Hai provato a suddividere il quadrato in altre
  figure più piccole?
• Hai pensato che se il tuo quadrato contiene (ad
  esempio) quattro figure uguali il suo doppio ne
  dovrà contenere otto?
• Hai provato con figure diverse ad esempio con
  dei triangoli?

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Congratulazioni! Sono sicuro che, a questo punto,
hai trovato la soluzione.
Prova a confrontarla con quella che ho trovato io
15
Ti propongo ora unaltra sfida sai
disegnare un quadrato che abbia area dimezzata
rispetto a quella di un quadrato assegnato?
Se sei stato attento, non ti sarà difficile
disegnare un quadrato sul tuo quaderno e poi
disegnane uno che abbia area la metà.
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2. CASI PARTICOLARI

• - i quadrati costruiti sui lati di un triangolo
  rettangolo isoscele
• - le terne pitagoriche
• - una verifica numerica un po più generale.

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Sono sicuro che sarai molto orgoglioso di aver
risolto il problema della duplicazione del
quadrato. Ora vorrei solo farti notare che si
può leggere tale soluzione anche in un altro
modo
dato un triangolo rettangolo isoscele, il
quadrato costruito sulla sua ipotenusa è
equivalente alla somma dei due quadrati costruiti
sui due cateti.
18
Ebbene secondo te, questa proprietà (che
abbiamo verificato valere per i triangoli
rettangoli isosceli) sarà valida anche per altri
triangoli rettangoli?
Prova a disegnare sul tuo quaderno un triangolo
che abbia i lati di 3 cm, 4 cm e 5 cm. Verifica
che è rettangolo e poi vedi se il quadrato
costruito sulla sua ipotenusa è equivalente (o
no) alla somma dei due costruiti sui suoi cateti.
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Se hai fatto i calcoli giusti, dovresti aver già
verificato che, anche in questo caso particolare,
il quadrato costruito sullipotenusa è
equivalente alla somma dei due costruiti sui
cateti.
20
Prova a disegnare sul tuo quaderno un triangolo
che abbia i lati di 6 cm, 8 cm e 10 cm. Verifica
che è rettangolo e poi vedi se il quadrato
costruito sulla sua ipotenusa è equivalente (o
no) alla somma dei due costruiti sui suoi cateti.
Ed ora, per allenarti ancora un po, prova a
verificare cosa succede per un triangolo che
abbia i lati di 5 cm, 12 cm e 13 cm.
21
Ti sarai reso conto che in tutti questi casi si
ottiene un triangolo rettangolo, per il quale il
quadrato costruito sullipotenusa è equivalente
alla somma dei due costruiti sui cateti. Terne
di numeri naturali di questo tipo sono
dette terne pitagoriche. In altre parole, tre
numeri naturali a, b e c formano una terna
pitagorica se
22
Per ora abbiamo incontrato queste terne
pitagoriche (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12,
13). Ce ne sono altre? Che ne dici?
24
25
7
23
Probabilmente sarai già riuscito a trovare
tantissime terne pitagoriche.
Se vuoi un consiglio, fermati qua tutto il tempo
della tua vita non ti basterebbe per trovarle
tutte, perché sono infinite!
Infatti, comunque presi due numeri naturali x e y
si ha che i numeri a x2 - y2 b 2 x y c x2
y2 costituiscono una terna pitagorica.
24
Abbiamo allora visto che per infiniti triangoli
rettangoli (tutti quelli i cui lati hanno le
misure corrispondenti ai numeri di una terna
pitagorica) il quadrato costruito sullipotenusa
è equivalente alla somma dei due costruiti sui
cateti. Ora scopriremo, facendo qualche misura,
che i triangoli rettangoli per cui vale questa
proprietà sono ancora di più!
25
Ebbene, anche se abbiamo visto che per infiniti
triangoli rettangoli il quadrato costruito
sullipotenusa è equivalente alla somma di quelli
costruiti sui cateti, nulla ci permette ancora di
dire che ciò avviene per tutti i triangoli
rettangoli. Sarà così o non sarà così? Chi ce
lo assicura? È quello che vedremo insieme, se
hai la pazienza e la voglia di continuare questo
viaggio con me!
26
3. IL TEOREMA DI PITAGORA...

• PRESENTATO DA EUCLIDE!

27
Incontriamo adesso un nuovo personaggio, che ci
illustrerà come ha dimostrato il nostro ormai
noto teorema di Pitagora.
Avete idea di chi possa essere? Provate a
pensare, forse lo avete già incontrato vi
dicono niente le parole assiomi, nozioni comuni,
Elementi? Adesso dovreste proprio avere capito
di chi stiamo parlando! Si tratta di Euclide!
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EUCLIDE IV - III sec. a.C.
Euclide è lautore del trattato di geometria più
diffuso nel mondo ciò nonostante sono pochissime
le informazioni che possediamo circa la sua vita.
Secondo quanto si legge nel Commentario al primo
libro degli Elementi di Proclo (V sec. d.C.),
Euclide è vissuto tra il IV e il III secolo a.C.
ad Alessandria, in Egitto, e appartiene a quel
periodo che è noto come età aurea della
matematica greca. Dopo aver ricevuto la sua
formazione ad Atene, presso la scuola di Platone,
viene chiamato ad Alessandria, maggior centro
culturale dellantichità, per insegnare
matematica.
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Di questo periodo, si narrano due aneddoti che ci
forniscono qualche notizia sul temperamento di
questo personaggio. Alla richiesta del sovrano
Tolomeo di fornirgli una facile introduzione alla
geometria, Euclide risponde che non esistono vie
regie che portano a tale disciplina. In unaltra
occasione, ad una alunno che chiede quali
vantaggi si possono trarre dallo studio della
geometria, Euclide fa dare, da un suo servo, una
moneta per sottolineare che lallievo ha bisogno
di trarre un vantaggio pratico da ciò che impara
e poi lo caccia via.
30
Ad Alessandria Euclide scrive gli Elementi, che
diventeranno lopera matematica più nota e
conosciuta, tanto da essere il testo più tradotto
dopo la Bibbia. Si tratta di un manuale
introduttivo allo studio della matematica,
costituito da 13 libri che trattano
rispettivamente di

• libri I - VI geometria piana
• libri VII - IX teoria dei numeri
• libro X le grandezze incommensurabili
• libri XI - XIII geometria solida.

Il Teorema di Pitagora viene enunciato e
dimostrato nella proposizione 47 alla fine del
libro I.
31
A testimonianza delle numerosissime traduzioni
degli Elementi in svariate lingue, voglio
mostrarti questa immagine che illustra la prima
proposizione del primo libro degli Elementi di
Euclide, tradotti in cinese nei primi anni del
XVII secolo dal gesuita Matteo Ricci.
32
Unaltra edizione molto interessante degli
Elementi è questa versione in lingua inglese a
colori, dovuta a Oliver Byrne, che risale al
1847.
33
Ti mostro ora le proposizioni degli Elementi che
riguardano il teorema di Pitagora. Le cito dalla
edizione in italiano dellUTET curata da Attilio
Frajese e Lamberto Maccioni.
34
Libro I, proposizione 47

• Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato
  opposto allangolo retto è uguale alla somma dei
  quadrati dei lati che comprendono langolo retto.

35
Con la proposizione 48 del libro I, Euclide
risponde a questo problema dato un triangolo e
costruiti i quadrati sui suoi lati, se la somma
di due dei quadrati è uguale al terzo, possiamo
affermare con certezza che il triangolo è
rettangolo?
?
36
Libro I, proposizione 48

• Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è
  uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti due
  lati del triangolo, langolo che è compreso dai
  due rimanenti lati del triangolo è retto.

37
Con la proposizione 31 del libro VI, Euclide
risponde a questo problema sui lati del
triangolo rettangolo, devo costruire proprio dei
quadrati? Il teorema non vale se costruisco
altre figure?
?
38
Libro VI, proposizione 31

• Nei triangoli rettangoli la figura descritta sul
  lato opposto allangolo retto è uguale alla somma
  delle figure simili e similmente descritte sui
  lati che comprendono langolo retto.

39
Cliccando su queste immagini puoi verificare
quanto Euclide dice nella proposizione 31 per due
casi particolari.
40
4. IL TEOREMA DI PITAGORA? DIMOSTRAMELO!

• Fin da prima di Euclide, i matematici non si sono
  accontentati di accorgersi di alcune proprietà
  dei numeri e delle figure geometriche, bensì
  hanno sentito lesigenza di dimostrarle.
• Ma cosa vuol dire dimostrare?

41
Prova a pensare con i tuoi compagni al
significato di questo verbo. Non si tratta di
vedere chi per primo indovina la definizione
esatta, ma di provare insieme a riflettere sui
diversi modi e sulle diverse occasioni in cui
ciascuno di voi ha usato, sentito o letto questa
parola.
Datevi tempo e scrivete su un foglio di carta le
cose che vi vengono in mente.
42
Ora provate a cercare su un vocabolario della
lingua italiana i significati di questa parola e
confrontateli con quelli che avevate trovato voi.
43
Io, sul Vocabolario della lingua italiana di
Nicola Zingarelli edito da Zanichelli, ho trovato
questi significati 1) mostrare o manifestare
apertamente uno stato, una qualità, un sentimento
e sim., con fatti, parole, segni esteriori 2)
provare la verità di un enunciato, di una tesi,
di una dottrina e sim. fornendo le necessarie
prove 3) spiegare, insegnare, far vedere 4)
scoprire 5) prendere parte ad una dimostrazione
pubblica.
44
Nessuno di questi significati è quello a cui
pensano i matematici quando parlano di
dimostrazioni. È vero però che alcune parole
usate dal vocabolario possono esserci utili per
avvicinarci al significato specifico che vogliamo
dare a questo verbo. Probabilmente alcune di
queste parole chiave si trovano anche tra le
definizioni o i sinonimi che avete dato voi

• mostrare - manifestare - far vedere
• provare - prove
• scoprire
• insegnare - spiegare
• apertamente - con segni esteriori.

45
Lidea di mostrare è importante ci dice che
una dimostrazione deve essere chiaramente
comprensibile a chi la fa e a chiunque la legga.
Anche quando si fa riferimento ai segni
esteriori si intende dare importanza al fatto
che una dimostrazione deve essere comunicabile
non può essere qualcosa che abbiamo solo in mente
o solo nel cuore. Quando si parla di prove si
sottolinea il fatto che una dimostrazione deve
essere convincente, non deve lasciare spazio a
dubbi o perplessità. Infine le dimostrazioni ci
rendono sicuri delle nostre scoperte e ci
permettono di insegnarle anche agli altri.
46
Per i matematici dimostrare significa passare da
certe premesse accettate, che chiamiamo ipotesi,
a una proposizione, che chiamiamo tesi,
attraverso una sequenza finita di ragionamenti
logici.
Lipotesi, la tesi e la dimostrazione costruita
da un matematico per passare dalla prima alla
seconda costituiscono un teorema.
47
Vediamo ora qual è lipotesi e qual è la tesi del
teorema di Pitagora (proposizione 47 del libro I
di Euclide). Successivamente vedremo tanti
diversi modi di dimostrarlo. Anzi prima di
guardare le dimostrazioni che ti propongo io,
datti da fare per inventarne una tu!
Ipotesi ABC è un triangolo rettangolo, retto in
A. Tesi il quadrato costruito sullipotenusa BC
è equivalente alla somma di quelli costruiti sui
cateti AB e AC.
48
Abbiamo analizzato insieme la proposizione 47
evidenziando ipotesi e tesi.Prova a fare lo
stesso con la proposizione 48.
Quali analogie puoi trovare? Prova a confrontare
lipotesidelluno con la tesi dellaltroe
viceversa...
49
Avrai certamente notato che lipotesi della
proposizione 47 corrisponde alla tesi della 48 e
lipotesi della 48 alla tesi della 47.Non è uno
scioglilingua!Se in questo modo ti ho confuso le
idee, chiariscitele con il seguente schema
ABC è un triangolo rettangolo in A
47
48
Il quadrato costruito su BC è equivalente alla
somma di quelli costruiti su AB e AC.
50
Proposizioni come la 47 e la 48 del I libro degli
Elementi si dice che sono luna linversa
dellaltra.
51
Una dimostrazione mobile!
La dimostrazione che ti propongo ora è una
variazione di quella originale di Euclide, che
puoi trovare alla proposizione 47 del libro I
degli Elementi. Clicca su questa icona e vedrai!
52
Una dimostrazione che sfrutta le similitudini.
La dimostrazione che puoi vedere da qui richiede
che ti siano noti i criteri di similitudine dei
triangoli e le loro conseguenze. Euclide
affronta questi temi nel libro VI degli Elementi.
53
Una dimostrazione per scomposizione e movimenti
rigidi.
Questa dimostrazione, per essere davvero formale,
richiede lo studio delle isometrie (o movimenti
rigidi). Anche se non li conosci a fondo,
cliccando su questa icona ne puoi capire lo
spirito!
54
La dimostrazione del presidente.
Questa dimostrazione, richiede una certa
familiarità con luso delle formule, ma se vuoi
ce la puoi fare anche tu (ce lha fatta il
Presidente degli U.S.A!).
55
5. LA STORIA

• Abbiamo già parlato di Euclide, uno dei
  personaggi legati al teorema di Pitagora.
• Ma la storia di questo teorema è cominciata molto
  tempo prima.
• Se proprio insisti te la racconto!

56
IL TEOREMA NELLE CIVILTA POTAMICHE

• Quello che noi chiamiamo Teorema di Pitagora era
  noto, con altri nomi, anche ad altre civiltà?
• Sembra proprio di sì
• e adesso te lo mostrerò.
• Preparati ad un viaggetto nel tempo!

57
Cominciamo in ordine di tempo, ovvero con la
civiltà più antica quella degli EGIZIANI
58
Devi sapere che presso questa cultura non si è
raggiunta una vera e propria conoscenza del
teorema infatti non ci sono pervenuti documenti
o testimonianze a riguardo.
Ma le esigenze pratiche legate alla misurazione
per tracciare la pianta dei templi o per
ridefinire i confini cancellati dalle inondazioni
del Nilo, portarono allo sviluppo di una prima
forma di geometria.
59
Per ottenere il triangolo rettangolo e disegnare
langolo retto necessario per la misurazione dei
terreni e per la squadratura dei blocchi di
pietra dei templi, i geometri egiziani ricorsero
a corde divise in 12 parti uguali tramite dei
nodi. Per questo motivo i geometri egiziani sono
chiamati anche "tenditori di corde" o
"agrimensori.
Prova ad immedesimarti in un architetto
egiziano. Come faresti ad ottenere langolo
retto?
60
Confronta ora la soluzione che hai dato con
quella dei tuoi amici agrimensori. I geometri
egiziani fissavano sul terreno il quarto e
lottavo nodo della corda e poi la tendevano agli
estremi in tal modo ottenevano un triangolo
rettangolo di lati 3, 4, 5. Questi numeri
formano la più famosa fra le terne pitagoriche.
61
Spostiamoci ora nella regione compresa fra i
fiumi Tigri ed Eufrate, dove vivevano i
BABILONESI
62
Pare che in Mesopotamia la geometria e l'algebra
avessero raggiunto un livello più elevato
rispetto a quello ottenuto dagli
Egiziani. Infatti abbiamo a disposizione
documenti che attestano una conoscenza
consapevole del teorema di Pitagora esistono
tavolette appartenenti al periodo babilonese
antico (vedi figura) che mostrano un largo
utilizzo del teorema.
E non solo! Più avanti incontreremo un nuovo
numero la radice quadrata di 2. Sappi che
anche i babilonesi la conoscevano!
63
Ci sono pervenuti anche alcuni esercizi con i
quali si dilettavano i ragazzi di questo popolo
immagino che adesso non vedrai l'ora di provare a
risolvere uno di questi problemi. Eccoti
accontentato!
Una scala o una trave di lunghezza 0,30 è
appoggiata a una parete si chiede di quanto si
allontanerà dalla parete lestremità inferiore se
lestremità superiore scivola giù per una
distanza di 0,6 unità?
64
Una canna è appoggiata ad una parete. Se la cima
scivola giù di 3 unità quando lestremità
inferiore scivola via di 9 unità, quanto è lunga
la canna?
Io adesso ho bisogno di riposare! Tu, invece,
impegnati e risolvi questo problema!
65
e in INDIA ?
66
Alcuni scavi archeologici documentano
lesistenza, in questa regione, di unantica e
raffinata civiltà durante il periodo dei
costruttori delle piramidi egiziane ma non ci è
pervenuto alcun documento matematico indiano
risalente a tale epoca. Anche qui tuttavia le
conoscenze matematiche sono legate alla pratica
(costruzione di templi, misurazione di altari)
e, per quanto riguarda il teorema di Pitagora,
presentano decise analogie con la matematica
mesopotamica.
67
Troviamo infatti nel Sulvasutra di Apastamba,
che risale forse fino al tempo di Pitagora,
regole per la costruzione di angoli retti per
mezzo di tre cordicelle, le cui lunghezze formano
terne pitagoriche come 3, 4 e 5, oppure 5, 12 e
13, oppure 8, 15 e 17, oppure 12, 35 e 37. Queste
terne si possono facilmente ricavare dallantica
regola babilonese. Apastamba conosceva la regola
secondo cui il quadrato costruito sulla diagonale
di un rettangolo è uguale alla somma dei quadrati
costruiti sui due lati adiacenti tuttavia è
possibile che anche questa forma del teorema di
Pitagora provenisse dalla Mesopotamia.
68
Spostiamoci adesso in un'altra parte del globo e
andiamo in CINA
69
Anche presso questa civiltà troviamo tracce del
teorema di Pitagora. In un testo databile tra il
200 a.C. e il 200 d.C. intitolato Chou Pei
(Classico Aritmetico dello Gnomone e delle Orbite
Circolari del Cielo), si riscontra infatti una
primitiva analisi del triangolo rettangolo e
un'acquisita conoscenza del teorema di Pitagora.
70
Nel secondo libro di questo trattato è presente
il seguente dialogo tra il principe Chou Kung e
il suo ministro Shang Kao
Una volta, Chou Kung si rivolse a Shang Kao,
dicendo Ho sentito che il Grande Prefetto è
versato nellarte del calcolo. Posso avere
lardire di chiedere in che modo Fu- Hsi stabilì
anticamente i gradi della sfera celeste? Non vi
sono scalini con cui si possa salire al cielo e
la terra non è misurabile con un regolo della
lunghezza di un piede. Mi piacerebbe sapere da te
qual è lorigine di questi numeri. Shang Kao
rispose Larte del calcolo proviene dal cerchio
e dal quadrato. Il cerchio è derivato dal
quadrato e il quadrato dal rettangolo.
71
Il rettangolo ha origine dal (fatto che) 9?9
81. Dividiamo perciò un rettangolo e poniamo che
la larghezza sia di 3 (unità) e la lunghezza di 4
(unità). La diagonale fra i (due) angoli sarà
allora lunga 5 (unità). Adesso, dopo aver
disegnato un quadrato su questa diagonale,
circoscriviamolo con mezzi rettangoli come quello
che è rimasto fuori, in modo da formare una
tavola (quadrata). I quattro mezzi rettangoli
esterni che misurano 3 unità di larghezza, 4 di
lunghezza e 5 di diagonale, formano in tal modo
insieme due rettangoli (di superficie 24) così
(quando questa viene sottratta dalla tavola
quadrata di superficie 49) il resto è una
superficie di 25 unità. Questo (procedimento) è
chiamato accumulare i rettangoli.
72
I metodi usati da Yu il Grande per governare il
mondo erano derivati da questi numeri. Chou
Kung esclamò Davvero grande è larte del
calcolo. Mi piacerebbe conoscere il Tao delluso
del triangolo rettangolo. Shang Kao rispose
Il triangolo rettangolo in piano (posto sul
terreno) serve a stendere il progetto di (opere)
diritte e squadrate (con laiuto di) corde. Il
triangolo rettangolo inclinato serve ad osservare
le altezze. Il triangolo rettangolo rovesciato
serve a scandagliare le profondità. Il triangolo
rettangolo in posizione orizzontale è usato per
accertare le distanze.
73
Mediante la rotazione di un triangolo rettangolo
(compasso) si può formare un cerchio. Unendo
triangoli rettangoli si formano quadrati (e
rettangoli). Il quadrato appartiene alla terra,
il cerchio appartiene al cielo, in quanto il
cielo è rotondo e la terra è quadrata. Poiché i
numeri del quadrato costituiscono il modello, le
(dimensioni del) cerchio vengono (dedotte) da
quelle del quadrato. Il cielo è come un cappello
da sole conico. I colori del cielo sono il blu e
il nero, quelli della terra il giallo e il rosso.
Per rappresentare il cielo viene usata una tavola
circolare, tracciata secondo i numeri celesti
sopra, come un indumento esterno, essa è blu e
nera, sotto, come un indumento interno, è rossa e
gialla. Così viene rappresentata la figura del
cielo e della terra.
74
Colui che comprende la terra è un uomo saggio, e
colui che comprende il cielo è un sapiente. La
conoscenza è derivata dalla linea retta. La linea
retta è derivata dallangolo retto. E la
combinazione dellangolo retto con i numeri è il
principio che guida e governa le diecimila
cose. Chou Kung esclamò Davvero eccellente!
Il testo ora riportato è completato dal
seguente diagramma, chiamato Hsuan Thu.
75
Il commentatore Liu Hui definisce tale diagramma
come il diagramma che fornisce i rapporti fra
lipotenusa e la somma e la differenza degli
altri due lati per cui si può ricavare ciò che è
ignoto da ciò che è noto. Osserviamo che la
formula algebrica che nel testo è espressa a
parole corrisponde alla seguente
avendo indicato con la lettera h lipotenusa ,
con la lettera a laltezza e con la lettera b la
base del triangolo rettangolo.
76
PITAGORA E LA SUA SCUOLA
Ora ti condurrò alla scoperta di Pitagora, questo
illustre sconosciuto, e della sua scuola, ma...
mi serve la tua attenzione!
77

• Pitagora, scienziato e filosofo greco, nacque
  nellisola di Samo nel VI secolo a.C..
• Le notizie riguardanti la sua vita sono spesso
  avvolte da un alone leggendario.
• I suoi viaggi in Egitto e in India gli permisero
  di entrare in contatto con concezioni mistiche e
  matematiche nuove ed interessanti, che lo
  portarono poi a fondare a Crotone una comunità
  la scuola pitagorica.

78
Il mistero che avvolgeva sia Pitagora che i suoi
seguaci insospettiva e intimoriva gli abitanti di
Crotone che scacciarono i pitagorici e
costrinsero Pitagora a rifugiarsi nel Metaponto
(lattuale Basilicata), dove poi morì verso la
fine del V secolo a.C.
79
Ora ti racconto un aneddoto sulla vita di questo
nostro nuovo amico. Si dice che mentre Leone,
principe di Flio, assisteva ai Giochi Olimpici,
chiese a Pitagora come si sarebbe definito.
Pitagora rispose Io sono un filosofo, ma Leone
non aveva mai sentito prima quella parola e
chiese spiegazioni. Pitagora allora rispose, più
o meno, così...
Pitagora rappresentato in un particolare della
Scuola di Atene di Raffaello
80
La vita, principe Leone, può essere ben a
ragione paragonata a questi giochi olimpici,
perché nella vasta folla qui convenuta taluni
sono attirati dal guadagno, altri sono mossi solo
dalla speranza e dallambizione di ottenere la
fama e la gloria. Ma tra costoro ve ne sono
alcuni, che sono venuti qui per osservare e
capire che cosa accade. Nella vita avviene lo
stesso. Alcuni sono influenzati dallamore della
ricchezza, mentre altri sono ciecamente condotti
dal folle desiderio di potere e di dominio, ma
luomo migliore si dedica a scoprire il
significato e lo scopo della vita stessa. Egli
cerca di scoprire i segreti della natura. È
questo luomo che io chiamo filosofo perché,
sebbene nessun uomo sia completamente saggio
sotto ogni rispetto, egli può amare la sapienza
in quanto chiave di accesso ai segreti della
natura. (Singley, Lultimo teorema di Fermat,
Sansoni)
81

• Ora, occupiamoci un po della scuola pitagorica.
  Non devi immaginarti una scuola come quella che
  frequenti tu oggi essa aveva piuttosto le
  caratteristiche di una setta religiosa in essa
  si viveva una rigida vita morale ed ascetica,
  nella quale si coltivavano le diverse componenti
  della matematica.

82
Lappartenenza effettiva alla scuola, che durava
per tutta la vita, era concessa ai soli uomini
le donne potevano unicamente ascoltare le
lezioni. I membri erano vincolati al segreto,
relativamente alle conoscenze che nella scuola
venivano apprese e coltivate. Per quanto concerne
la sfera filosofica i pitagorici si ispiravano
alla religione greca ritenevano fondamentale
purificare lanima dalla contaminazione del corpo.
83

• Novità ed elemento caratterizzante di questa
  concezione filosofica era la scienza vista dunque
  come strumento di purificazione.
• Dopo la morte di Pitagora i suoi seguaci si
  dispersero, diffondendo ovunque i risultati dei
  loro studi.

84
Studi dei Pitagorici

• Gli allievi della scuola di Pitagora studiavano
  geometria, musica, astronomia e matematica.
• Non usavano libri ogni scoperta veniva messa
  in comune, divenendo patrimonio di tutti.
• I Pitagorici conoscevano i numeri interi e
  razionali e li rappresentavano con sassolini
  disposti in vario modo. Proprio tale
  rappresentazione dei numeri rendeva facile il
  passare dallaritmetica alla geometria

luno era il punto, il due la linea, il tre la
superficie e il quattro il solido, il dieci
(considerato il numero perfetto) era un triangolo
equilatero nel quale per ogni lato si ripete il
numero quattro.
85

• Tra i contributi, in ambito matematico, che
  vengono attribuiti ai pitagorici ricordiamo
• il teorema relativo alla somma degli angoli
  interni di un triangolo
• il teorema di Pitagora
• lo studio dei poliedri regolari
• lincommensurabilità del lato e della diagonale
  del quadrato.

86
Pitagora e il suo teorema
Perché il teorema di Pitagora porta il nome di
questo personaggio così misterioso? non essere
impaziente, continua questo viaggio con me!
87

• Allorché Pitagora trovò il famosissimo teorema,
  
• di buoi un grandioso sacrificio celebrò
• Apollodoro di Atene (II sec d.C.)
• Secondo Diogene Laerzio, storico del III sec
  d.C., fu Pitagora stesso ad enunciare il teorema
  che porta il suo nome Proclo (410-485 d.C.),
  noto commentatore degli Elementi di Euclide e
  fonte storica di rilievo non trascurabile,
  conferma la tradizione letteraria (della quale
  troviamo traccia anche in Cicerone) secondo la
  quale Pitagora avrebbe sacrificato buoi agli dei
  per festeggiare il grande traguardo raggiunto con
  la scoperta del teorema.

88

• Anche se, come abbiamo visto, la tradizione
  attribuisce a Pitagora la paternità di questo
  teorema, è difficile distinguere lopera del
  maestro da quella dei suoi seguaci. Tanto più che
  le attribuzioni a Pitagora risalgono ad unepoca
  successiva a quella in cui egli visse.

89
6. I NUMERI NUOVI!
90
Ma che numero è?

• Allinizio della nostra avventura insieme ti
  avevo lanciato una sfida costruire un quadrato
  di area doppia ad uno dato. Ora possiamo
  chiederci se assumiamo il lato del quadrato di
  partenza come unità di misura, quanto misura il
  lato del quadrato di area doppia? Cioè quante
  volte ci sta il lato del primo quadrato in quello
  del secondo?

91
La risposta a questa domanda è data da un
numero nuovo. Prova a pensare. Se il lato
del primo quadrato misura 1, la sua area avrà
valore 1 x 1 1 Ma allora, il quadrato di area
doppia a questa deve avere area 2 (cioè il
doppio di 1). Quindi il suo lato dovrà avere per
misura un numero n tale che n x n 2 Qual è
questo numero?
92
Hai le idee un po annebbiate? Non preoccuparti,
anche a me succede qualche volta. E sta pur
tranquillo che non è così solo per noi anche
gli antichi Greci, quando si resero conto che i
numeri che avevano sino ad allora inventato (o
scoperto?) non bastavano per misurare le
lunghezze di tutti i segmenti, si sentirono
parecchio confusi.
93
I Greci non diedero un nome a questo numero
forse perché non accettavano che potesse
esistere, anche se ce lavevano lì, davanti agli
occhi. Be, facciamo presto a dirlo noi, più di
2000 anni dopo! Ad ogni modo, noi abbiamo sia un
nome sia un simbolo per questo numero. Si chiama
radice quadrata di due e si indica così
94
Un altro modo per indicare il nostro nuovo
amico...
In inglese radice quadrata si dice square
root. Da questa parola deriva un altro modo
per indicare la radice quadrata di 2 sqrt (2).
95

• A questo punto, credo che possiamo porci due
  domande
• cosa ha a che fare questo nuovo numero con il
  teorema di Pitagora?
• la radice di due è lunico numero nuovo che
  questo teorema ci costringe ad inventare?

96
E va bene. Abbiamo conosciuto due nuovi
numeri. Ma ce ne sono altri, che possiamo
scoprire grazie al teorema di Pitagora? Direi
proprio di sì. Anzi, è importante anche che ci
rendiamo conto che la natura aveva scoperto
questi numeri molto tempo prima di noi e prima
di Pitagora!
97
Se apri questo file vedrai come, disegnando
successivi triangoli rettangoli sino a formare
una specie di spirale, si riescono a costruire
segmenti la cui misura è
98
Questa è invece limmagine di un fossile di
ammonite la sua forma non ti ricorda forse
quella della spirale che abbiamo appena costruito?
99
Questa è unimmagine che illustra la galassia a
spirale ordinaria NGC 628 M74
Non ti ricorda forse la nostra spirale?
100
7. LEGAMI ALTRE DISCIPLINE

• Educazione artistica
• gli origami
• la spirale della Sagrada Familia
• Educazione tecnica metodo archimedeo della
  bilancia

101
Educazione Artistica

• Spesso hai giocato con fogli di carta piegati in
  vario modo, hai costruito barche, rane che
  saltellano Questo non è solo un gioco, ma è
  anche una forma darte gli origami.
  Ora ti farò una richiesta
  insolitaprova a dimostrare il teorema di
  Pitagora con gli origami.

102

• Non abbatterti ti darò un piccolo aiuto prendi
  un foglio quadrato e suddividilo in nove quadrati
  equiestesi.

103

• Piega un foglio di carta quadrato come in
  figura

104

• Osserva il triangolo FAB è un triangolo
  rettangolo con ipotenusa AB e cateti FB e FA.
• Piega il foglio lungo le linee AO e NO otterrai
  il quadrato costruito sul cateto maggiore (AONF)
  ora piegando il quadrato così ottenuto lungo la
  linea BK, otterrai la seguente figura che è
  costituita dalla somma dei due triangoli dati.
• Ne segue che il quadrato FNOA equivale a 4
  triangoli FAB.

105

• Piegando il foglio lungo i lati BA, BC, CD, DA si
  potrà osservare che il quadrato centrale vuoto
  non è altro che il quadrato costruito sul cateto
  minore e il quadrato globale è il quadrato
  costruito sull'ipotenusa.

106
Abbiamo già detto che il teorema di Pitagora ci
permette di costruire una caratteristica spirale
tale figura ricorre anche nellarte. Osserva
leffetto ottico prodotto da questa scala a
chiocciola. Si trova in una delle torri della
Sagrada Familia, chiesa progettata da A. Gaudì e
in costruzione a Barcellona (Spagna).
107
(No Transcript)
108
Educazione Tecnica
Ora ti farò unaltra richiesta inaspettata
prova a dimostrare il teorema di Pitagora con
una bilancia, delle forbici e del cartone.
109
Sul cartone disegna un triangolo rettangolo.
Su ciascuno dei suoi lati costruisci un
quadrato e ritaglialo. Prendi la bilancia e
distribuisci i tre quadrati in modo che i suoi
due piatti sino in equilibrio riesci?
?
110
Ti sarai certamente accorto che lequilibrio dei
piatti della bilancia si ottiene quando poniamo
su un piatto il quadrato costruito sullipotenusa
e sullaltro i due quadrati costruiti sui cateti.
111
9. BIBLIOGRAFIA ED ELENCO SITI
Gli Elementi di Euclide, a cura di Attilio
Frajese e Lamberto Maccioni, Torino, UTET,
1970 C. B. Boyer, Storia della
matematica, Cuneo, Arnoldo Mondadori,
1998 http//www-history.mcs.st-and.ac.uk/ La
home page dellarchivio McTutor
112
http//aleph0.clarku.edu/djoyce/java/elements/ele
ments.html Testo con commento degli Elementi, sul
sito di David E. Joyce della Clark University,
USA http//www.cut-the-knot.com/pytagoras/index.h
tml Sono illustrate varie dimostrazioni del
teorema di Pitagora http//sunsite.ubc.ca/Digital
MathArchive/Ratdolt/index.html Ricco di
fotografie dell'edizione degli Elementi curata da
Erhard Ratdolt nel 1894 (Londra) http//sunsite.u
bc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/byrne.html Ricco
di fotografie dell'edizione degli Elementi curata
da Byrne nel 1847, in cui si fa uso dei colori.
113
http//www.cmontmorency.qc.ca/sdp/philo/pythagore.
html Varie informazioni su Pitagora http//jeff56
0.tripod.com/theorem.jpg Francobollo emesso dalla
Grecia il 20 agosto 1955, nell'occasione del
Pythagoras's Congress. Riporta un'immagine del
teorema di Pitagora, in bianco e
nero http//jeff560.tripod.com/formula5.jpg Franc
obollo emesso dal Nicaragua il 15 maggio 1971.
Riporta la formula ed alcune immagini connesse al
teorema di Pitagora