Pr

1
Chapitre VI Description interne des systèmes
linéaires invariants (SLI) - Représentation détat
VI-1 Introduction
VI-2 Représentation détat
VI-3 Obtention des équations détats
VI-4 Solution générale des équations d'états
VI-5 Expression de la transmittance en fonction
de la représentation d'état (? Matrice de
transfert)
VI-6 Représentation d'état d'un système
échantillonné
VI-7 Commandabilité et Observabilité dun SLI
2
VI-1 Introduction
Nous allons dans les chapitres VI et VII
introduire un nouvel outil pour létude des
systèmes LA REPRESENTTION DETAT Cet outil
utilise lalgèbre linéaire (calcul matriciel)
dont les principaux avantages sont

• Un même formalisme pour les systèmes analogiques
  ou échantillonnés.
• Un même formalisme pour les systèmes mono- ou
  multi-variable.
• Une analyse interne des systèmes.
• Lutilisation généralisée de lordinateur.

VI-2 Représentation détat
Prenons par exemple un système dordre n
n équations du 1er ordre sf(e,x)
équation différentielle dordre n
e
s
Equation détat
Equation dobservation
3
p entrées q sorties
avec
n
A matrice de dynamique ou matrice détat B
matrice de commande C matrice dobservation D
matrice de transfert direct
n
p
A, B, C et D constitue la représentation détat
n
n
q
p
D sera nulle pour un système physique réel
q
Exemple 1
1er Ordre
variable détat v (tension aux bornes du
condensateur)
C
équation dobservation
v
s
e
R
équation dobservation
4
2ème Ordre
Exemple 2
Equation du mouvement
Pour un système le vecteur d'état n'est pas
unique il existe une infinité de représentation
pour un même système.
Prenons les variables suivantes
On prend pour variables celles qui définissent
les CI
5
Exemple 3
d2
d1
h1
h2
S1
S2
q2
q1
6
VI-3 Obtention des équations détats
VI-3-1 Cas Continu

1. directement (voir exemples précédent)
2. A partir de la transmittance

Principe Transmittance ? schéma bloc

• variables d'états sortie des intégrateurs
• réécrire n équations différentielles du 1er ordre

1ère Réalisation Compagne (Matrice de
commandabilité)
On part de la forme normalisée
On peut poser
et
On revient maintenant dans le domaine temporel
et
7
Schéma de la transmittance




s(t)




an
an-1
an-2
a0
a1

x
x(n-1)
x(n)
x(n-2)

1/p
1/p
1/p
e(t)
x(t)
x1
xn-1
xn
x2
-
bn-1
bn-2
b1
b0






Intégrateur
8
Equation d'état
Equation d'observation
1ère Forme Compagne
Si DO
et
9
2ème Réalisation Compagne (Matrice
d'observabilité)
On part de la forme normalisée
10
Schéma de la transmittance
e(t)
a0
an-2
an-1
an




x1
x2
xn
1/p
1/p
1/p
s(t)
-
-
-
b0
bn-2
bn-1
Equation d'observation
11
Equation d'état
2ème Forme Compagne
Si DO
et
12
Réalisation Diagonale ou modale ou de Jordan
Ici on va décomposer la transmittance F(p) en
éléments simples.
Cas de n pôles simples
Intégrateur
graphe
Donc le graphe de F(p) sera décrit par une
succession de ces graphes élémentaires
13

an
e(t)
s(t)


x1

r1


p1
xn


rn


Equation d'observation
pn
Equation d'état
14
Cas d'un pôle multiple p1 d'ordre ?
Quel est le graphe de



E(p)



p1
p1
p1
? cellules
Le graphe de sera la cascade de ?-1 cellules
Donc le graphe final sera
15

an
e(t)
s(t)


??


??-1

x?
x?-1
x1




?1




p1
p1
p1

x?1

r?1


p?1


xn

rn

pn
16
Equation d'état
Bloc de Jordan
?-1
?
Equation d'observation
17
Exemple
Soit la transmittance suivante
1ère Réalisation compagne
2ème Réalisation compagne
18
Réalisation Modale
19
VI-3-2 Cas Discret
Equation détat
Continu
Equation dobservation
D

x


C
B
s(t)
e(t)

A
Equation détat
Discret
Equation dobservation
D
Retard d'un échantillon



C
B
sk
ek

A
20
VI-4 Solution générale des équations d'états
VI-4-1 Cas Continu
Equation détat
Solution Solution générale sans entrée (e0)
Solution particulière avec entrée (e)
a - Solution générale sans entrée (e0)
où t0 est l'instant initial
La matrice s'appelle la matrice de transition
d'état
Propriétés de ?
21
Calculs de ?

• Par le calcul de la série

• Si A est diagonale

• Par la transformée de Laplace

La méthode consiste donc à calculer la matrice
puis à prendre la transformée de Laplace inverse
de chacun des termes de la matrice
22

• Par le théorème de Caley-Hamilton

Le théorème exprime que toute matrice carrée A
est solution de l'équation caractéristique
Donc
An s'exprime donc en combinaison linéaire de I,A,
A2, , An-1. Il en découle que le développement
est limité au degré n-1
Les coefficients ?i vérifient pour chaque valeur
propre ?i l'équation
b - Solution particulière pour e?0
On utilise la technique classique de variation de
la constante, donc on cherche une solution
particulière de la forme
23
on sait que
Donc la solution est
Généralement on peut toujours se ramener à t00
Si de plus on a e(t) causale
24
c Réponse Forcée et Réponse Impulsionnelle
Réponse impulsionnelle
VI-4-2 Cas Discret
a Régime libre
b Solution Globale
25
Si e est causale
c Réponse Forcée et Réponse Impulsionnelle
Calcul de Ak
Prenons la TZ de (1)
26
En utilisant les deux expressions connues de xk
on obtient
VI-5 Expression de la transmittance en fonction
de la représentation d'état (? Matrice de
transfert)
e est de taille p s est de taille q n ordre du
système
On considère le système suivant
En prenant la TL
27
p
q
Dans le cas général F(p) sera une matrice
Remarque importante Les éléments de la matrice
ont tous le même dénominateur égale à Donc les
valeurs propres de la matrice dynamique A sont
solutions de l'équation et sont aussi les pôles
de la transmittance
VI-6 Représentation d'état d'un système
échantillonné
T
F(p) A,B, C, D
s(t)
B0
ek
sk
Ae, Be, Ce, De
F(Z)
Réalisation à l'aide d'une des trois méthodes
décrites
28
Calcul de Ae,Be, Ce, De
On sait que le système continu A, B, C, D a pour
solution
On utilise un bloqueur d'ordre zéro donc e(?) est
constant entre les instants k et k1, et vaut ek
Be
Ae
De
Ce
Si le système A, B, C, D est invariant ? le
système Ae, Be, Ce, De est invariant également
? Donc Be ne dépend pas de k
29
VI-7 Commandabilité et Observabilité dun SLI
Définition Commandabilité ou Gouvernabilité
Un système déquations est commandable à
linstant t0 si
Quelque soit les états x(t0) et x(t) pour tgtt0,
il existe une loi de commande e(t0 à t) capable
de transférer le système de x(t0) à x(t). On dit
donc que le système est commandable à linstant
t0 Le système est complètement commandable ou
commandable sil lest quelque soit t0 (Cas des
systèmes invariants)
Définition observabilité
Un système A, B, C, D est observable à linstant
t0
Sil existe un instant tgt t0 tel que x(t0) puisse
être déterminé à partir de la connaissance de
s(t0 à t) quelque soit e(t). Le système est
complètement observable ou observable sil lest
quelque soit t0 (Cas des systèmes invariants)
30
VI-7-a Critère de Commandabilité
Le système A, B, C, D est commandable si en
représentation diagonale B na pas de ligne nulle.
Si la ligne i de la matrice b est nulle implique
que xi ne dépend daucunes entrées ej
Critère général de Commandabilité
On construit la matrice de commandabilité Le
système est commandable si C est de rang n ou
encore sil existe un déterminant nn ?0
31
VI-7-b Critère dObservabilité
Le système A, B, C, D est observable si en
représentation diagonale C na pas de colonne
nulle.
Si la colonne j de la matrice C est nulle
implique quaucunes des sorties (s1 à sq) ne
dépendra de xj
Critère général dObservabilité
On construit la matrice dobservabilité
Le système est observable si ? est de rang n ou
encore sil existe un déterminant nn ?0
32
VI-7-c Deux cas de perte dObservabilité
1 Par échantillonnage
(concerne les systèmes possédant au moins une
paire de pôles complexes conjugués)
Prenons lexemple dun deuxième ordre
échantillonné par un bloqueur dordre zéro.
Système continu
T
s(t)
sk
B0
ek
1ère Réalisation Compagne
On constate bien que le système A, B, C, D est
observable, car ? est de rang 2 donc Observable
Système échantillonné
33
1ère Réalisation Compagne
Calculons le déterminant de ? pour discuter de
lobservabilité du système
La distance verticale entre les deux pôles
complexes conjugués ne doit pas être un multiple
de ?e
2 Par compensation de pôles et zéros
E
S
34
1ère Réalisation Compagne
Perte dobservabilité si un zéro est égale à un
pôle