Drums

1
3. Membranen, Platten und Schalen
Analogien
2
3.1. Membranen
2-D-Wellengleichung Koordinatenwahl ? Form der
Einspannung (Transversalschwingung)
3
Statische Auslenkung
0 für Angriffspunkt
Membran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt
Saite
Membran
4
Schwingungsmoden von Rechteckmembranen
m 1 n 1
m 2 n 1
m 1 n 2
m 2 n 2

• Quadratische Membran Lx Ly
• Entartung ?mn ?nm
• Modenüberlagerung möglich

m 3 n 1
m 3 n 2
5
Schwingungsmoden von Kreismembranen
2R
m 0 n 1
m 1 n 1
?mn n-te Nullstelle der Besselfunktion Jm
m 2 n 1
m 3 n 1
m 0 n 2
m 3 n 2
6
Frequenzfolge bei idealen Kreismembranen
7
Kreismembran Applet

• http//www.falstad.com/mathphysics.html

8
3.2. Dünne isotrope Platten
a) Longitudinale Wellen nicht-dispersiv keine
signifikante Schallabstrahlung
9
b) Transversale Wellen nicht-dispersiv keine
signifikante Schallabstrahlung
(zweidimensionales Analogon zu Torsionsschwingunge
n von Stäben)
10
c) Biege/Verformungs-Wellen dispersiv
signifikante Schallabstrahlung
(zweidimensionale Verallgemeinerung der
Balken-Biegeschwingung)
11
( i.A. schwieriges Problem )
(x,y) Kopplung

• Einfache Unterstützung Knotenlinien (m,n) wie
  Membran
• Andere Randbedingungen Gekrümmte Knotenlinien
  durch Mischung der (m,n) und (n,m) Membranmoden
  für m n 2,4,6,...

12
Messung an freier Aluminiumplatte
(x,y) Kopplung bei Lx ? Ly
Modenaustausch
Lx const.
Lx / Ly
13
Fundamentalmoden quadratischer Platten
( 1 , 1 )
( 0 , 0 )
( 0 , 0 )
14
Moden quadratischer Platten
15
Strahlung einer Kreismembran in einer Schallwand
16
Perkussionsinstrumente -Trommeln
17
Perkussionsinstrumente -Trommeln Geschichte

• Trommeln sind praktisch so alt wie die
  Menschheit. Ausgenommen die menschliche Stimme
  stellen Sie die ältesten Musikinstrumente dar!
• Die ersten Trommel waren wahrscheinlich
  Holzstücke über Erdlöchern und etwas später hohle
  Baumstümpfe!
• Die ältesten bekannten Trommeln mit Membranen
  sind 5000 Jahre alt. Die Membran bestand aus
  Fischhaut oder Wildleder.
• In der Kulturgeschichte des Menschen spielten
  Trommeln in der Musik allgemein vor allem aber in
  religiösen Ritualen und Festen eine wichtige
  Rolle!

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Perkussionsinstrumente -Trommeln Kategorisierung

• Alle Trommeln lassen sich grob in 2
  Hauptkategorien einteilen Solche die ein gutes
  Gefühl für die Tonhöhe vermitteln und solche, die
  das nicht tun.
• Zur ersten Gruppe gehören z.B. kettledrums und
  tabla.
• Zur zweiten Gruppe gehören bass drum, snare drum,
  tom-toms, bongos, congas
• Als schwingungsfähige Systeme unterteilt man
  Trommeln in 3 Gruppen solche mit von der Membran
  abgeschlossenem Resonanzkörper (kettledrums),
  solche mit Luft zu beiden Seiten der Membran
  (tom-toms, Tambourine) und solche mit einem durch
  2 Membranen isolierten Hohlraum (bass drum und
  snare drum).

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Perkussionsinstrumente -Trommeln

• kettledrums oder timpani sind die wichtigsten
  Trommeln in modernen Orchestern. Ihre Bedeutung
  resultiert vor allem aus den Einstellungsmöglichke
  iten.
• Eine timpani kann in etwa eine Quinte (5 Töne)
  je nach Membranspannung abdecken. Über die Pedale
  kann der Spieler einen weiteren Ton hinzufügen.
• Die Moden einer idealen Membran sind nicht
  harmonisch. Eine gut eingestellte timpani einen
  Grundton und nur 2 oder 3 Obertöne. Der Grundton
  stammt dabei von der 1,1 mode.

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Aufbau einer Kesselpauke
Seitenansicht
Aufsicht
21
Energieverlust

• Es gibt vier hauptsächliche Ursachen für den
  Energieverlust einer Membran in einer Trommel
• Schallabstrahlung
• Mechanische Verluste in der Membran
• Wärmeverlust der eingeschlossenen Luft
• Mechanische Verluste in den Außenwänden

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Schallabstrahlung
23
Schallabstrahlung
24
Das Schlagzeug
Toms
Hi Hat
Crashbecken
Snare
Bass-Drum
25
(No Transcript)
26
Elektronisches Drumset
27
Bass Drums

• Erzeugt die höchste Leistung aller Instrumente in
  einem Orchester (bis zu 20W)
• Normaler Durchmesser 80-100cm
• Meist 2 Membranen, unterschiedlich stark gespannt
• Mylarmembranen (Polyester), manchmal auch
  Kalbsfell für große Konzertbassdrums
• Schlagfell (batter) ist stärker gespannt als das
  Resonanzfell (carry) (Unterschied von bis zu
  75),
• ?Sound erscheint verstärkt und klingt schneller
  ab
• Für Soli wird auch das Gegenteil empfohlen, bzw.
  beide auf gleiche Spannung

28
Bass Drums

• Moden sind überraschend nahe einer harmonischen
  Serie
• Ab 200Hz entstehen viele unharmonische Anteile
  (ca. 160)
• Interessante Kopplungseffekte für die niedrigsten
  Moden
• Bei gleicher Spannung ? 0,1 einfacher
  2-Massen-Oszillator mit
• f1f0
• f2sqrt(f022fc2)
• fc Kopplungsfrequenz, die von der Beschaffenheit
  des Luftvolumens und der Membranmassen abhängt
• fc 67 Hz für 0,1

Moden Carry bei kleinerer Spannung Gleiche Spannung Batter und Carry
0,1 39 44 , 104
1,1 80 76 , 82
2,1 121 120
3,1 162 160
4,1 204 198
5,1 248 240
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Bass Drums

• Entfernt man das Resonanzfell, ändert sich nur
  wenig gegenüber den Frequenzen bei Carry auf
  kleinerer Spannung
• Abklingraten ca. 3-9 dB/s
• Steigt auf 6-11 dB/s, wenn man Spannungen von
  Carry und Batter angleicht
• Ohne Carry 3-8 dB/s
• Oberflächenspannung einer Membran steigt beim
  Schwingen mit einer endlichen Amplitude
• ?T d2
• f v(T0?T) v(T0 d2)
• ? daher hat jede Mode eine höhere Frequenz, im
  Moment des Anschlags, die dann mit Abklingen der
  Amplitude kleiner wird
• Typische Amplitude 6mm ? Frequenz Shift von
  10, was ungefähr einem ganzen Ton entspricht

30
Snare Drums

• Typische Maße 35cm Durchmesser, 13-25cm Tiefe
• An der unteren Membran befinden sich gespannte
  Metalldrähte ? ergeben typischen Snaresound
• Bei Anschlag der oberen Membran,
  schwingen die
  Snareseiten gegen die Membran
• Kopplungen der Membranen wie bei Bass
• Eingeschlossene Luft und/oder das Gehäuse ? Paare
  von Moden

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Snare Drum

• Bei ersten beiden Moden schwingen Batter und
  Snare gleich oder entgegen (kann wiederum mit
  einem simplem 2-Massen Modell beschrieben werden)
• Bei Mode 3 und 4 sind Berechnungen wesentlich
  komplizierter
• Offensichtlich muss die Luft jedoch bei Mode 3
  einen größeren Weg zurück legen als bei Mode 4,
  was den Frequenzunterschied erklärt

32
Snare Drum
33
Snare Action

• Kopplung zwischen Snare und Membran hängt von der
  Masse der Federkonstante der Snares
• Bei genügend großer Anschlagamplitude lösen sich
  die Snares von der Membran ab einem bestimmten
  Zeitpunkt im Schwingungszyklus und schwingen die
  Membran zurück ?charakteristischer Snare Sound
• Je größer die Spannung der Snares, umso größer
  ist die dazu benötigte Amplitude
• Zu Beginn verhält sich die Geschwindigkeit der
  Snare sinusförmig, wobei Periodendauer größer als
  die der Membran ist
• Dadurch kehrt die Membran erst ihre Richtung um
  und verliert dann den Kontakt zur Snare
• Anschließend schlagen beide stark zusammen bei
  der Rückwärtsbewegung ? charakteristischer Snare
  Sound

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Snare Action
35
Snare Action
36
Tom Toms

• Durchmesser 20-45cm, 20-50cm Tiefe
• Eine oder zwei Membranen
• Toms mit Verstärkung im Zentrum geben klarere
  Töne, was daran liegt, dass die niedrigen
  Frequenzen harmonischer liegen
• Außerdem vergrößern die Verstärkungen die
  Abklingzeiten aller Moden
• Wie bei Bass Drum erzeugen 2 Membranen wieder 2
  Frequenzen in der (0,1)-Mode
• Wieder Effekt der Tonerhöhung bei starkem Anschlag

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Tom Toms
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Onset und Decay

• Wird die Membran zentral angespielt ? größter
  Teil der Energie geht in kreissymmetrische Moden
  (0,1) und (0,2)
• Zum Ende der 1. Sekunde enthält das Spektrum
  viele weitere Moden über die Kopplung zu (0,1)
  und (0,2)
• Abklingzeit
• Art der Membran
• Spannung
• Kesselgewicht und material
• Halterung des Toms
• Bsp. Die Änderung der Länge des Armes, der das
  Tom hält, kann die Zerfallszeit von 5.5s auf 0.6
  ändern

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Onset und Decay
40
Perkussionsinstrumente -Trommeln Indian Drums

• Die beiden wichtigsten Trommeln aus Indian sind
  die Tabla

41
Indian Drums

• und die mrdanga aus Nord- und Südindien

42
Indian Drums

• Beide Trommeln produzieren harmonische Obertöne
  durch Verwendung bestimmter Materialien, wie
  Gummi oder Speisestärke im Trommelkopf (Paste).
• Der Kopf der Tabla besteht aus drei Lagen
  Tierhäuten, die an den Enden zusammen geflochten
  sind und durch einen Lederring befestigt sind.
• Die Spannung kann durch die Position kleiner
  Holzzylinder auf der Oberfläche der Außenwände
  variiert werden.
• Mittels eines Hammers kann der Lederring nach
  oben oder unten verschoben werden, was eine noch
  feinere Einstellung erlaubt.

43
Indian Drums

• Im Zentrum der Membran befindet sich ein runder
  schwarzer Fleck einer aus Reis und Eisenoxid
  hergestellten Paste, welche die Dichte erhöhen
  soll. ()
• Die ersten vier Obertöne der Tabla sind
  harmonische über der Fundamentalen, welche von
  (0,1) mode erzeugt wird.
• Die Obertöne werden durch unterschiedliche Mode,
  welche dieselbe Frequenz erzeugen produziert.
• Zweite (1,1) Dritte (2,1) und (0,2) Vierte
  (3,1) und (1,2)
• Fünfte (4,1), (0,3) und (2,2)

44
Indian Drums
45
Indian Drums

• Abb 18.15 (Verschiedene Moden produzieren gleiche
  Frequenzen)
• Die meiste Energie ist eingeschlossen im
  Trommelkopf.

46
Indian Drums

• Der Trommelkopf ist im wesentlichen in drei
  konzentrische Bereiche aufgeteilt, die es dem
  Spieler ermöglichen drei deutlich unterschiedlich
  Töne hervorzubringen.
• tun ? Mitte tin ? nicht gedämpfter Bereich
  und na
• ? Rand.
• Erwähnenswert ist auch noch, dass die
  verschiedenen Moden umso eher gleiche Frequenzen
  erzeugen je größer die Anzahl dünner Schichten an
  Paste ist.

47
Indian Drums

• Abb. 18.16

48
Japanese Drums

• Viele verschiedene Trommeln wie die O-daiko,
• turi daiko und die kotodumi. (Abb. 18.18)

49
Japanese Drums
50
Japanese Drums

• Die o-daiko besteht aus einem Holzzylinder von
  ca. 50-100cm Durchmesser über dessen Enden eine
  Membran aus Kuhhaut gespannt ist.
• Sie wird mit großen, fellüberzogenen Schlägern
  angeschlagen und produziert eine tiefen,
  donnernden Ton. Ihr ursprünglicher Einsatzzweck
  waren religiöse Feste in Tempeln und bei heiligen
  Schreinen.
• Die Moden der o-daiko sind denen der bass drum
  sehr ähnlich.
• Dämpfung durch Luft wichtig bei großen Membranen.
  Die Frequenzen der o-daiko stimmen sehr gut mit
  den theoretischen Werten ohne Luft überein ? die
  Membranspannung und Masse sind groß!

51
Japanese Drums

• Die turi-daiko ist eine kleine Hängetrommel, die
  im klassischen japanischen Theater und Orchester
  verwendet wird.
• Der Trommelkörper besteht aus einem ausgehöhlten
  Baumstamm. Durchmesser ca. 30 cm ? Länge 7 cm.
• Die (0,1) mode liefert eine Frequenz von 195 Hz
  welche sich verringert, wenn man die Länge der
  Trommel erhöht.

52
Japanese Drums

• Die kotodumi besteht aus einem Holzkörper an
  dessen Enden Eisenringe befestigt sind, über die
  eine Membran gespannt ist. Hanfseile erlauben es
  dem Spieler die Spannung der Membran zu
  variieren.
• Die kotodumi produziert vier verschiedene Klänge
  ta, ti, pu und po, abhängig von der
  gewählten Spannung.
• ta und ti Klänge beruhen auf hoher
  Membran-spannung. pu und po Klänge werden
  erzeugt in dem bei hoher Membranspannung
  angeschlagen wird und unmittelbar nach dem Schlag
  die Spannung der Membran verringert wird, was den
  Klang zu tieferen Frequenzen hin verschiebt.

53
Latin American Drums
54
Latin American Drums

• Die Wurzeln dieser Trommeln liegen Afrika.
• In heutigen Tanz Orchestern und Jazz Ensembles
  findet man hauptsächlich bongos, congas und
  timbales.
• Die Trommelkörper der Congavorläufer bestand aus
  einem ausgehöhlten Baumstamm. Heute wird die
  Conga aus Holzleisten zusammengesetzt
  (Durchmesser ca. 23-30cm).
• Die Tonhöhe variiert von 131 Hz 262 Hz.
• Unterschiedliche Klänge werden hauptsächlich
  durch die Schlagposition und Technik bestimmt.

55
Latin American Drums

• Bongos produzieren die höchsten Frequenzen unter
  den Lateinamerikanischen Trommeln (Durchmesser
  15-25cm).Die Außenhaut besitzt konische Gestalt.
• Ursprünglich wurde die Membran festgenagelt,
  heute werden aber Schrauben zum Regulieren der
  Spannung angebracht.
• Timbales waren ursprünglich aus Holz werden heute
  aber aus Metall gefertigt (Durchmesser ca. 30-35
  cm).
• Die Außenhaut ist entweder am Boden offen oder es
  existiert nur eine handgroße Öffnung. Gespielt
  werden timbales mit Holzschlägern, mit denen
  unter um Umständen auch die Außenhaut
  angeschlagen wird.

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Das Xylophon

• Beispiel einer quadratischen Platte ?siehe
  Theorieteil.
• Das Wort Xylophon leitet sich aus dem
  Griechischen ab und bedeutet soviel wie
  Holzklang.
• Decken in etwa 3- 3 1/2 Oktaven ab f349-4186
  Hz).
• An der Unterseite bogenförmig angeschnitten.
• Grund Dies verändert (verringert) die
  Frequenzen, welche von den Moden erzeugt werden,
  die das Torsionsmodul beanspruchen.
• Der erste Oberton liegt in der Frequenz in etwa
  dreimal höher als die Fundamentalfrequenz
  (Grundton).
• Das Holz wirkt auf diesen Oberton wie ein
  Resonator was den Klang verbreitert ? siehe
  Fig.5.6.

57
Das Xylophon

• Manchmal wird dem ganzen Instrument noch ein
  Resonator zugefügt. Oder die Xylophonhölzer
  (bars) werden über einem kastenartigen Hohlraum
  montiert, der den Klang dehnt, indem er
  Interferenz reduziert, die aus Schallabstrahlung
  der Hölzerenden resultiert.

58
Quellen

• Skript Physik der Musikinstrumente (Vorlesung SS
  2007)
• The Physics of Musical Instruments (Springer
  Verlag, 2000)
• google
• Wikipedia
• http//home.comcast.net/scottxs/piezogyro/applet/
  index.html