Pr

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Optimisation sans gradient et applications (M3)
Laurent Dumas http//dumas.perso.math.cnrs.fr
/M3.html

• Quelques problèmes doptimisation en ingénierie
• 2. Méthodes sans gradient déterministes
• 2.1 Méthodes directes (Nelder Mead, MDS/Torczon)
• 2.2 Interpolation (modèles quadratiques et
  régions de confiance)
• 2.3 Surfaces de réponse (RBF, krigeage)
• 3. Méthodes sans gradient stochastiques
• 3.1 Recuit simulés
• 3.2 Algorithmes génétiques, essaim de
  particules, stratégies dévolution
• 3.3 Résultats de convergence
• 3.4 Extensions (adaptativité, gestion des
  contraintes , version multi-objectif)
• 4. Mise en œuvre sur des cas réels (projet en
  binôme)
• (réseaux de Bragg, parc de panneaux solaires)

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1.1 Problème 1 problème du voyageur de commerce

• Objectif déterminer la distance minimale à
  parcourir pour visiter toutes les villes une et
  une seule fois.

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1.2 Problème 2 configuration dune molécule
dénergie minimale
N4 atomes
N7 atomes

• Objectif déterminer la position de N atomes
  minimisant le potentiel de Lennard Jones de la
  molécule associée V( r )1/r12 2/r 6 pour 2
  atomes à une distance r.

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1.3 Problème 3 décodage dune image floue et
bruitée
Code à 13 chiffres

• Objectif à partir dune image floue et bruitée
  dun code barre, être capable didentifier ce
  code barre

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1.4 Problème 4 réduction de consommation dun
véhicule
A 120 km/h, facteurs de la consommation dun
véhicule

• Objectif obtenir la forme arrière optimale
  dune automobile par simulation numérique.

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1.4. Quelques exemples de Cx
Ford T 0.8 (année de
sortie 1908) Hummer H2 0.57
(2003) Citroën SM 0.33 (1970) Peugeot
407 0.29 (2004) et
Tatra T77 0.212 (1935)
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1.5 Principales caractéristiques de ces 4
problèmes
Problème 1 économie Problème 2 chimie Problème 3 image Problème 4 automobile
Paramètres permutations de 1,,n position des atomes signal 1D forme du véhicule
Fonction coût simple simple issue dune convolution issue dune EDP
Calcul du gradient // explicite non explicite non explicite
Minimas locaux // oui oui oui
Contraintes non non non linéaires non linéaires
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1.6 Autres exemples doptimisation en ingénierie

• Optimisation de formes de réseaux de Bragg
  (Alcatel)
• Optimisation de champs de panneaux solaires (GDF)
• Identification de paramètres de modèles physiques
  ou biologiques (multiples exemples!)

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Problème 1 optimisation de forme dun réseau de
Bragg

• Objectif étant donné la forme dun filtre en
  longueur donde, déterminer les caractéristiques
  dune fibre optique (réseau de Bragg) permettant
  dobtenir ce filtre.
• Problème posé par Alcatel.

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Problème 2 optimisation de parcs de panneaux
solaires

• Objectif étant donné une zone dimplantation de
  panneaux solaires, déterminer le meilleur
  positionnement des structures pour maximiser
  lespérance de production sur la durée de vie du
  projet.
• Problème posé par GDF/Suez.

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Problème 1 optimisation de formes de réseaux de
Bragg

• Fibre monomode standard de télécommunication à
  saut dindice
• Lindice du cœur est augmenté grâce à un dopant
  le germanium

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Problème 1 optimisation de formes de réseaux de
Bragg

• Dans un réseau de Bragg (ou FBG), une modulation
  périodique et permanente de lindice de
  réfraction de la silice dopée au germanium est
  effectuée sous irradiation UV
• Possibilité de travailler la forme de la
  modulation dindice suivant la fonction de
  filtrage recherchée (mono ou multi canal)

(spectre de réflectivité)
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Problème 1 optimisation de formes de réseaux de
Bragg

• Lindice de réfraction général dune réseau de
  Bragg est donné à laide dune fonction
  quasi-sinusoïdale dans la direction longitudinale
  z
• n(z)n0dn(z) cos(2pz/L0) z ?0, L
• avec les notations suivantes
• n0 indice de réfraction initial du cœur
• L0 période du réseau (ou lB 2 n0L0 longueur
  donde associée)
• dn(z) amplitude de lindice à variation lente
  (appelée apodisation)
• Le problème doptimisation, de type inverse,
  consiste donc à trouver la bonne fonction
  dapodisation réalisant les caractéristiques de
  filtrage voulues.

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Problème 1 optimisation de formes de réseaux de
Bragg

• Certaines hypothèses sont faites pour calculer
  le spectre de réflectivité (fibre sans perte et
  monomode dans la bande spectrale, faible
  différence dindice cœur-gaine).
• Pour toute longueur donde ? dans la bande de
  transmission, les enveloppes bF(z,?) et bB(z, ?)
  des deux ondes, incidente et réfléchie, sont
  alors solution dun système couplée dEDO
  linéaires du premier ordre à coefficients
  complexes
• avec , et

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Problème 1 optimisation de formes de réseaux de
Bragg

• Le spectre de réflectivité du réseau de Bragg est
  alors donné par la fonction l ? R(l) r(l) 2
  avec r(l) bB(0,l) / bF(0,l)
• Pour le calcul du spectre de réflectivité dun
  réseau de Bragg quelconque, en notant r(z,l)
  bB(z,l) / bF(z,l), on observe que r(., l)
  satisfait une EDO de Ricatti pouvant être
  intégrée numériquement de manière rétrograde.

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Problème 1 optimisation de formes de réseaux de
Bragg

• Les figures ci dessous correspondent au spectre
  de différents FBG (L10cm, n01.45, lB1550nm)
  pour plusieurs fonctions dapodisation

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Problème 2 optimisation de parcs de panneaux
solaires

• Afin doptimiser la production dénergie dun
  parc de panneaux solaires, il faut associer aux
  équations astronomiques permettant de connaître
  la position instantanée du soleil et son
  irradiation, des lois de probabilités
  représentatives de la nébulosité, des effets
  hygrométriques et aérosol, des températures, des
  vents au sol.
• Les effets dombrages liés à lhorizon où à la
  position des structures sont aussi à prendre en
  compte.

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Problème 2 optimisation de parcs de panneaux
solaires

• De plus, par contraintes légales, un parc
  solaire au sol
• (i) ne peut dépasser la puissance maximale
  cumulée de 12 MW
• (ii) deux parcs ne peuvent être distant de
  moins de 500 mètres.
• Seules ces contraintes géométriques vont être
  considérées ici.

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Problème 2 optimisation de parcs de panneaux
solaires

• En termes mathématiques, cela donne
• Soient deux réels ,Sgt0 et Dgt0, K un compact de X
  et ngt0 un entier. On considère une réunion
  disjointe PP1 , P2,, Pn de sous ensembles de
  K telle que
• Aire(Pi )ltS pour tout i dans 1,,n
• d(Pi , Pj )gtD pour tout couple de points
  distincts (i,j) dans 1,,n
• où Aire(Pi ) désigne laire de Pi et d(Pi , Pij)
  la distance entre Pi et Pj.
• Lobjectif est de trouver un couple (n,P) tel
  que la somme des Aire(Pi) soit maximale.
• En pratique, K est quelconque non convexe, non
  connexe, etc

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Problème 2 optimisation de parcs de panneaux
solaires

• Il peut être démontré que le problème est bien
  posé mathématiquement, à savoir quil possède au
  moins une solution.
• Pour simplifier la recherche, on fera ici des
  hypothèses simplificatrices sur la forme de K
  (rectangulaire) et sur celle des sous domaines Pi
  (disques triangles ou rectangles).

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Objectifs du projet 1 optimisation de formes de
réseaux de Bragg

• Calcul de la fonction coût (erreur entre spectre
  simulé et spectre idéal) pour une classe de
  fonctions particulières (affines ou splines).
• Optimisation avec deux types de méthodes
• une méthode de type déterministe (Nelder Mead ou
  MDS)
• une méthode de type stochastique (AG, stratégie
  dévolution ou PSO)
• Gestion de contraintes.

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Objectifs du projet 2 optimisation de parcs de
panneaux solaires

• Calcul de la fonction coût (aire totale) pour une
  classe de sous-domaines particuliers (disques,
  triangles, rectangles).
• Optimisation pour un nombre fixé de sous-domaines
  avec deux types de méthodes
• une méthode de type déterministe (Nelder Mead ou
  MDS)
• une méthode de type stochastique (AG, stratégie
  dévolution ou PSO)
• Gestion des contraintes.

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Déroulement pratique

• Deux séances de travail (obligatoires) sont
  organisées les mardi 4 et 11 décembre avec
  quelques compléments de cours (sur la gestion des
  contraintes en particulier).
• Date de la soutenance mardi 18 décembre.
• Chaque soutenance (en binôme) consistera en la
  rédaction et la présentation de transparents
  pendant 15 minutes, accompagnés dun code
  Matlab/Scilab dillustration.
• Les résultats obtenus devront être clairement
  illustrés par des exemples graphiques et des
  animations.

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