Clemens Simmer

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Was sind die meteorologischen Grundgleichungen?

• Clemens Simmer
• Meteorologisches Institut

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Gliederung

1. Einleitung
2. die meteorologischen Basisvariablen
3. die meteorologischen Grundgleichungen
4. Skalenanalyse der meteorologischen
   Grundgleichungen

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1 Einleitung
Zur Bestimmung der sieben grundlegenden
meteorolog. Variablen Wind (3)
Luftdruck Lufttemperatur
Luftdichte Luftfeuchtigkeit ...
...benötigen wir die sieben meteorologische
Grundgleichungen Bewegungsgleichung (3)
Kontinuitätsgleichungen 1. Hauptsatz der
Wärmelehre Wasserdampfbilanzgleichung
Zustandsgleichung der Luft.
Sechs der meteorologischen Grundgleichungen
sind Differentialgleichungen u.a. der Zeit -gt
(Wetter)Vorhersagen sind möglich!
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2 Die meteorologischen Basisvariablem (und ihre
Messung)

1. Windgeschwindigkeit
2. Luftdruck und Dichte
3. Temperatur
4. Feuchte

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2.1 Windgeschwindigkeit

• Geschwindigkeit, mit der sich die Luft bewegt und
  ihre Richtung
  
• Bezug ist dabei ein endliches Luftvolumen nicht
  einzelne Moleküle (Kontinuumsmechanik,
  Hydrodynamik).

Dabei ist ? die Winkelabweichung von der
Ostrichtung, und f die Winkelabweichung von der
Vertikalen.
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Horizontale Windgeschwindigkeit
Für große Skalen (lange Zeitmittelung (mehrere
Minuten) oder Mittelung über viele Kilometer gilt
uvgtgtw.
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2.2 Luftdruck und Luftdichte

• Was ist Luftdruck?
• Luftdruckgradient und Bewegungsantrieb (Kraft)
• Luftdruckmessung

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Was ist Luftdruck?

• (Luft-)Druck ist Kraft/Fläche
• Luftdruck hat keine ausgezeichnete Richtung.
• Luftdruck wird erzeugt durch die Impulsumkehr von
  Luftmolekülen an einer Wand (Molekularkinetik).
• Luftdruck ist daher
• proportional zur Dichte der Luft (mehr
  Moleküle?mehr Impulse), und
• proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit der
  Luftmoleküle, denn
• Impuls mv, (m Masse, v Geschwindigkeit) und
• Häufigkeit des Auftreffens auf die Wand v.
• Luftdruck bezeichnet die Flussdichte der Impulse
  der Luftmoleküle, denn
• Druck Kraft / Fläche
• kg x m/s2 / m2
• (kg x m/s) / (m2 s)
• Impuls / (Fläche x Zeit)

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Warum erzeugen Luftdruckgegensätze Bewegung (1)?
Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des
Luftvolumens in der Zeit ?t mit Umgebung
ausgetauscht werden.
tto
tto?t
Ist die Impulsdichte (Druck) an beiden Enden
gleich, so ändert sich der Gesamtimpuls des
Volumens nicht. Also keine Beschleunigung!
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Warum erzeugen Luftdruckgegensätze Bewegung (2)?
Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des
Luftvolumens in der Zeit ?t mit Umgebung
ausgetauscht werden. Rechts herrsche ein höherer
Druck (Impulsdichte) als links durch höhere
Temperatur (Tv²).
tto
tto?t
Das Volumen hat eine Gesamtimpulsänderung nach
links erfahren. Es wird also nach links
beschleunigt!
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Warum erzeugen Luftdruckgegensätze Bewegung (3)?
Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des
Luftvolumens in der Zeit ?t mit Umgebung
ausgetauscht werden. Rechts herrsche ein höherer
Druck (Impulsdichte) durch mehr Moleküle.
tto
tto?t
Das Volumen hat eine Gesamtimpulsänderung nach
links erfahren. Es wird also nach links
beschleunigt.
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2.3 Temperatur

• Was ist Temperatur?
• Temperatur und Wärmeenergie
• Temperaturmessung

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Was ist Temperatur?
Die Temperatur hängt mit der mittleren
kinetischen Energie (Bewegungsenergie) der
einzelnen Moleküle zusammen
Temperatur hängt also nicht von der Anzahl der
Moleküle (also z.B. von der Dichte) ab! (siehe
Ausdehnung ins Vakuum)
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Temperatur und Wärmeenergie
Der Wärmeenergie eines Luftvolumens (genauer
Definition der inneren Energie E) ist
proportional zu Temperatur T und zur
Wärmekapazität bei kontantem Volumen CV
(CVJ/K)
Die (massen-)spezifische (pro kg!)
Wärmekapazität cv eines idealen Gases hängt nur
von der Anzahl der Bewegungsfewegungsfreiheitsgrad
e f der Moleküle (3 Translationsrichtungen n
Rotationsrichtungen) ab.
Für trockene Luft gilt mit f5 cV 717 J/(kg
K) da 2-atomige Moleküle (N2, O2) vorherrschen.
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2.4 Feuchte

• Feuchtemaße

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Feuchtemaße
?w - absolute Feuchte kg m-3
e - Partialdruck des Wasserdampfs hPa
Td - Taupunkt K Abkühlung auf Taupunkt führt
zur Kondensation
q - spezifische Feuchte kg/kg Masse des
Wasserdampfes zur Gesamtmasse der feuchten Luft

• m gt q

m - Mischungsverhältnis kg/kg Masse des
Wasserdampfes zur Gesamtmasse der trockenen Luft
f - relative Feuchte mit es
Sättigungsdampfdruck
Tf - Feuchttemperatur K Messgröße beim
Psychrometer
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3 die meteorologischen Grundgleichungen-
Primitive Equations -
3.1 Bewegungsgleichung -gt Wind 3.2
Kontinuitätsgleichung -gt Luftdichte 3.3 Erster
Hauptsatz der Wärmelehre -gt Lufttemperatur 3.4
Haushaltsgleichung des Wasserdampfes -gt
Luftfeuchte, Wolken 3.5 Zustandsgleichung der
Luft -gt Luftdruck
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3.1 Bewegungsgleichung
Impulserhaltung
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Kräfte
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3.2 Kontinuitätsgleichung
Massenerhaltung
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3.3 Erster Hauptsatz der Wärmelehre
Energieerhaltung
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3.4 Haushaltsgleichung für Wasserdampf
Massenerhaltung von Wasserdampf
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3.5 Zustandsgleichung für Luft
ideale Gasgleichung
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Zusammenfassung
6 prognostische Gleichungen
1 diagnostische Gleichung
für sieben meteorologische Basisvariablen

• Alle Gleichungen sind mehrfach mit einander
  gekoppelt.
• Sie lassen sich durch die Zeitabhängigkeit für
  die Zukunft lösen
• Wetter und Klimavorhersage ist möglich!

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4 Skalenkonzept

• 4.1 Grundthesen
• 4.2 Skalendiagramm
• 4.3 Skalenanalyse der Bewegungsgleichung

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4.1 Grundüberlegungen

• Als Skalen bezeichnet man Längen- (L) und
  Zeitintervalle (T).
• Wir unterscheiden Skalen, mit denen wir messen
  (Maßstäbe) und Skalen die typisch für
  meteorologische Phänomene sind (Größenordnung).
• Die meisten meteorologischen Phänomene haben für
  sie ganz typische Längen- und Zeitskalen (z.B.
  Wolken, Hurrikane, Zyklonen).
• Je größer die Längenskala L eines Phänomens,
  desto größer i.a. die dazugehörige Zeitskala T
  also mit L nimmt T zu.
• Beobachtung In der Atmosphäre haben bestimmte
  meteorologische Phänomene (z.B. Tornados, Wolken,
  Tiefdruckgebiete) immer nur einen beschränkten
  Bereich von Ausdehnungen und Lebensdauern, also
  Skalenbereiche

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Skalendiagramm
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4.4 Skalenanalyse der Bewegungsgleichung

• Auftrennung in die drei Komponenten
• Synoptische Skalenanalyse der z-Komponente
  (Vertikalwind)
• -gt statische Grundgleichung
• Synoptische Skalenanalyse der x/y- Komponente
  (Horizonalwind)
• -gt der geostrophische Wind

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Bewegungsgleichung in Komponenten-
Navier-Stokes-Gleichung -
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Skalenanalyse Tiefdruckgebiet-
charakteristische Größen -

• Horizontalgeschw. U 10 m/s
• Vertikalgeschw. W 10-2 m/s
• Länge L 106 m (1000 km)
• Höhe H 104 m (10 km)
• Luftdruckschwank. DP 103 Pa (10 hPa)
• Zeit L/U T 105 s (ca. 1 Tag)
• Coriolisparam. f 2Wsinj 10-4 s-1
• Luftdichte r 1 kg/m3
• Luftdruck am Boden po 105 Pa (1000 hPa)

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Skalenanalyse Tiefdruckgebiet- statische
Grundgleichung -
W/T 1/r po/H g fU -
10-7 10 10 10-3
- m/s2
...Schwerebeschleunigung und Druckgradientbeschleu
nigung heben sich gegenseitig auf!
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Skalenanalyse Tiefdruckgebiet- geostrophischer
Wind -
U/T 1/r Dp/L fU fW -
10-4 10-3 10-3 10-6
- m/s2
...Coriolisbeschleunigung und Druckgradientbeschle
unigung heben sich gegenseitig auf!
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Geostrophischer Wind
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Geostrophischer Wind- Beispiel -
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Geostrophischer Wind

• ... weht parallel zu Isobaren mit niedrigem
  Druck links (auf SH rechts),
• ... ist proportional zur Stärke des
  Druckgradienten,
• ... ist eine gute Approximation des wahren Windes
  in der freien Atmosphäre,
• ... nimmt zu niedrigen Breiten bei gleichem
  Druckgradienten zu,
• ... verliert seine Gültigkeit mit Annäherung an
  den Äquator, da Coriolisbeschleunigung dann
  abnimmt.