D

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DEuclide à Legendre, autour du 5ème Postulat

• III - Legendre, un géomètre entêté

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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D1 - Legendre mathématicien et pédagogue
• Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833), professeur à
  lÉcole Militaire et à lÉcole Normale
  supérieure, a produit des travaux en mécanique,
  analyse (méthode des moindres carrés) et théorie
  des nombres (loi de réciprocité quadratique dan
  son Essai sur la théorie des nombres en 1830).
• Pédagogue, entre 1794 et 1823 il publie 12
  éditions de ses Éléments de géométrie (30
  éditions en anglais), dans lesquels il tente de
  simplifier et de moderniser les Éléments
  dEuclide.
• Déditions en éditions, il prétend démontrer le
  5ème Postulat, en inventant des  preuves  quil
  juge ensuite insuffisantes, malgré leur
  originalité et leur élégance. Ainsi, dans
  lavertissement à sa 12ème édition (1823), il
  écrit
•  La démonstration de la théorie des parallèles,
  telle quelle avait été présentée dans la 3e
  édition de cet ouvrage et dans les éditions
  suivantes jusquà la 8e inclusivement, nétant
  pas à labri de toute objection, on sétait
  déterminé dans la 9e édition à rétablir cette
  théorie à-peu-près sur la même base quEuclide.
  Des réflexions ultérieures faites sur le même
  objet, dont on donnera le développement dans la
  note II, ont fait découvrir deux nouvelles
  manières de démontrer le théorème sur les trois
  angles du triangle, sans le secours daucun
  postulatum. 

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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D2 - La  démonstration  de la 3ème édition
  (1800)
• Excluant lhypothèse de langle obtus du
  rectangle de Saccheri (conduisant à une géométrie
  sphérique), Legendre suppose que lon peut
  prolonger une droite à linfini. Sa stratégie est
  détudier la somme des angles dun triangle.
• Il démontre dabord un lemme de géométrie absolue
  (donné pour 2 angles dans les Éléments dEuclide,
  prop. 17), connu comme théorème de Legendre
• La somme des trois angles dun triangle ne peut
  être plus grande que deux angles droits.
• Soit ABC un triangle dont la somme des trois
  angles est plus grande que deux droits. Sur AC
  prenez CE  AC, faites l'angle ?ECD ?CAB (prop.
  23), le côté CD  AB.
• Le triangle CDE est égal au triangle BAC (prop.
  4). Comme A, C, E sont alignés,
• ?ABC gt ?BCD et AC gt BD (prop. 25). Soit
  ACBD  d gt 0.
• On recommence cette construction n fois jusquen
  P et Q, suffisamment pour que APBQ  nd gt 2AB
  (où BQ est la longueur de la ligne brisée
  obtenue).
• On aurait AP gt ABBQQP, contraire à linégalité
  triangulaire (prop. 20). Lhypothèse est donc
  absurde.

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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D2 - La  démonstration  de la 3ème édition

Dans un deuxième temps, Legendre  démontre  le
théorème Dans tout triangle, la somme des trois
angles est égale à deux angles droits. Soit ABC
un triangle dont la somme des angles vaut
2d  z, langle a en A étant le plus petit (donc
a lt 2d/3). Soit D le point tel que ?BCD  ?ABC
et ?CBD  ?ACB. Les triangles ABC et DCB sont
égaux (prop. 26). Par D, point intérieur à
langle en A, on mène une droite quelconque qui
rencontre (AB) en F et (AC) en E (Cest cette
hypothèse qui porte en elle le 5e Postulat,
puisquil découle du théorème. Legendre obtient
laxiome équivalent dun point intérieur à un
angle moindre que 2/3 dun droit, il passe une
droite qui rencontre les deux côtés de langle).
Comme les sommes des angles des triangles FBD et
DCE nexcèdent pas 2d, on obtient que la somme
des angles du triangle AEF est inférieure ou
égale à 2d  2z. On recommence n fois cette
construction de telle sorte que 2nz gt 2d. La
somme des angles du grand triangle ainsi obtenu,
égale à 2d   2nz serait négative! Lhypothèse
est donc absurde, la somme des angles dun
triangle ne peut être ni plus grande, ni plus
petite que 2 angles droits.
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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D3 - La 11ème édition

Jusquà la 8ème édition de ses Éléments de
géométrie, Legendre donne sa  démonstration  du
5ème Postulat. On a dû lui faire des critiques
et de la 9ème édition à la 11ème, il abandonne
son beau théorème pour une autre présentation de
la théorie des parallèles. Têtu, il admet le
5ème Postulat comme une évidence. Celle-ci semble
être conséquence de légalité des angles droits,
le 4ème postulat dEuclide que Legendre prétend
aussi démontrer !
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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D3 - La 11ème édition

Legendre commence donc par  démontrer 
légalité des angles droits. PROPOSITION
PREMIÈRE THÉORÈME Par un point pris sur une
droite on peut élever une perpendiculaire sur
cette droite, et on nen peut élever
quune.  En effet, supposons quune droite AM
dabord couchée sur AC, tourne autour du point A
elle formera deux angles adjacents, MAC, MAB,
dont lun, MAC, dabord très petit, ira toujours
en croissant, et dont lautre, MAB, dabord plus
grand que MAC, ira constamment en décroissant
jusquà zéro. Langle MAC, dabord plus petit que
MAB, deviendra donc plus grand que cet angle par
conséquent, il y aura une position AM de la
droite mobile où ces deux angles seront égaux, et
il est évident quil ny en aura quune
seule . Corollaire Tous les angles droits sont
égaux. Sinon, par superposition de deux côtés de
manière que les sommets coïncident, on pourrait,
du sommet commun, élever deux perpendiculaires à
cette droite.
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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D3 - La 11ème édition

Legendre présente ensuite sa THÉORIE DES
PARALLÈLES PROPOSITION XXI Deux droites AC,
BD, perpendiculaires à une même droite CD, sont
parallèles (Cest une forme de la proposition 27
dEuclide, valable en géométrie
absolue). Largument de Legendre  Car, si
elles se rencontraient en un point M, par
exemple, on pourrait de ce point abaisser deux
perpendiculaires sur CD.  Lénoncé de Proclus -
Playfair en découle immédiatement
PROPOSITION XXI Par un point on peut mener
une parallèle à une droite.  Du point A abaissez
AB perpendiculaire à BC, et au même point, menez
AD perpendiculaire à AB, les deux droites AD et
BC, étant toutes deux perpendiculaires à AB,
seront parallèles . Legendre ajoute, comme à
regret  On admettra en second lieu, comme une
proposition évidente, que par un point on ne
peut mener quune seule parallèle à une droite ,
admettant ainsi  comme une proposition
évidente  le 5ème Postulat.
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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D4 - La 12ème édition, note II retour sur le
  passé

Legendre y présente  une nouvelle manière de
démontrer le théorème sur les trois angles du
triangle . Il sexplique dans une note II, avec
une belle lucidité  .... , nous avons fait
voir que toute la difficulté se réduisait à
construire un triangle qui contînt au moins deux
fois le triangle donné mais la solution que
nous avons donnée de ce problème, en apparence
très simple, suppose que par un point donné dans
un angle moindre que deux tiers dangle droit, on
peut toujours faire passer une ligne droite qui
rencontre à-la-fois les deux côtés de
langle. Nous avions ainsi beaucoup approché de
notre but, mais nous ne lavions pas atteint
entièrement, puisque notre démonstration
dépendait dun postulatum qui à toute force
pouvait être nié. Cest cette considération qui
nous a fait revenir, dans la 9e édition, à la
simple marche dEuclide, en renvoyant aux notes
pour la démonstration rigoureuse. En examinant
les choses avec plus dattention nous sommes
resté convaincu que pour démontrer complètement
notre postulatum il fallait déduire de la
définition de la ligne droite une propriété
caractéristique de cette ligne qui exclût toute
ressemblance avec la forme dune hyperbole
comprise entre ses deux asymptotes .
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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D4 - La 12ème édition, note II le postulatum
  justifié

Legendre tente alors de  démontrer son
postulatum , et aboutit aux mêmes
considérations métaphysiques quOmar Al-Khayyam
et que Saccheri Soit BAC un angle donné, et M
un point donné au dedans de cet angle divisez
l'angle BAC en deux également par la droite AD,
et du point M menez MP perpendiculaire sur AD
je dis que la droite MP prolongée dans un sens
et dans l'autre, rencontrera nécessairement les
deux côtés de l'angle BAC.  Car si elle
rencontre un des côtés de cet angle, elle
rencontrera l'autre, tout étant égal des deux
côtés à partir du point P si elle ne
rencontrait pas un côté, elle ne rencontrerait
pas l'autre par la même raison ainsi, dans ce
dernier cas elle devrait être renfermée tout
entière dans l'espace compris entre les côtés de
l'angle BAC or, il répugne à la nature de la
ligne droite qu'une telle ligne, indéfiniment
prolongée, puisse être enfermée dans un angle. En
effet, toute ligne droite AB tracée sur un plan,
et indéfiniment prolongée dans les deux sens ,
divise ce plan en deux parties qui étant
superposées coïncident dans toute leur étendue et
sont parfaitement égales  Or un  espace
angulaire n'est pas la moitié de tout le plan
donc la ligne droite qu'on suppose partager en
deux portions l'espace angulaire, ne pourra
partager qu'en deux parties inégales la totalité
du plan, ce qui est contraire à la nature de la
ligne droite .
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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D5 - La 12ème édition, introduction du Livre I

Un avertissement donne le ton  On a inséré une
des démonstrations du 5ème Postulat dans le
texte de cette édition, , qui ne semble pas plus
difficile à comprendre que celle qui avait été
donnée dans les éditions précédentes, depuis la
3e jusquà la 8e . Legendre ajoute dans la note
II  Nous laissons aux géomètres à décider si
cette démonstration ne mériterait pas d'être
admise dans les élémens, de préférence à toute
autre, pour rétablir la marche d'Euclide devenue
entièrement rigoureuse par la suppression de son
Postulatum.  Le Livre I commence par 20
définitions des objets de base données en
Principes, dont celle de la Géométrie  La
Géométrie est une science qui a pour objet la
mesure de létendue . Puis Legendre explique,
entre autres mots et symboles, ce quest un
axiome  une proposition évidente par
elle-même . Il donne alors la liste de ses
axiomes qui lui paraissent suffisants pour
engendrer toute la géométrie euclidienne.
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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D5 - La 12ème édition, introduction du Livre I

Les 5 axiomes de la géométrie de Legendre 1.
Deux quantités égales à une troisième sont égales
entre elles. (Première notion commune chez
Euclide). 2. Le tout est plus grand que sa
partie (9ème notion commune). 3. Le tout est
égal à la somme des parties dans lesquelles il a
été divisé. 4. D'un point à un autre on ne peut
mener qu'une seule ligne droite. (Première
demande dEuclide). 5. Deux grandeurs, ligne,
surface ou solide, sont égales, lorsque étant
placées l'une sur lautre elles coïncident
dans toute leur étendue. (8ème notion
commune). Les  démonstrations  des autres
demandes euclidiennes font lobjet des premières
propositions, la 5ème sera lobjet de la
proposition 19 Proposition première Les
angles droits sont tous égaux entre eux. (4ème
demande). Proposition 3 Deux lignes droites
qui ont deux points communs coïncident lune
avec lautre dans toute leur étendue, et ne
forment quune seule et même ligne droite.
(2ème et 6ème demandes).
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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D6 - La 12ème édition, structure du Livre I

Il est utile de donner un aperçu de la
progression du Livre I, pour bien situer la
démonstration que donne Legendre du 5ème Postulat
(prop. 19) Propositions 2 à 5 propriétés des
angles formés par deux droites sécantes Prop. 6,
7 et 11 les 3 cas dégalité des triangles Prop.
8 inégalité triangulaire Prop. 9, 10 et 14
inégalités de côtés et dangles dans les
triangles Prop. 12 et 13 angles et côtés dun
triangle isocèle Prop. 15 unicité de la
perpendiculaire issue dun point à une
droite Prop. 16 et 17 longueurs des obliques
issues des points dune perpendiculaire à une
droite, médiatrice dun segment Prop. 18 cas
dégalité des triangles rectangles Prop. 19
 Dans tout triangle, la somme des trois angles
est égale à deux droits .
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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D7 - La 12ème édition, théorie des parallèles

La suite de la proposition 19 constitue la
théorie des parallèles de Legendre. Le Livre I
se termine par les propriétés du parallélogramme
(prop. 28 à 31). De la propriété de la somme des
angles dun triangle, Legendre déduit rapidement
le 5ème Postulat (propositions 21 à
23). Proposition 21  Si deux lignes droites AB,
CD, sont perpendiculaires à une troisième FG, ces
deux lignes seront parallèlesPreuve Car si
elles se rencontraient en un point O, il y aurait
deux perpendiculaires OF, OG, abaissées dun même
point O sur une même ligne FG, ce qui est
impossible (prop.15). Proposition 22 Si deux
lignes droites AB, CD, font avec une troisième
EF, deux angles intérieurs BEF, DFE, dont la
somme soit égale à deux angles droits, les
lignes AB, CD, seront parallèles. Preuve résumée
Si les angles BEF, DFE sont droits, la prop. 21
conclut. Sinon, du point F, on abaisse la
perpendiculaire FG à AB (prop. 15). Dans le
triangle FGE, rectangle en G, la somme des
angles aigus vaut un droit (corollaire de la
prop.19), et comme BEF  EFD 2 droits, il
reste que DFG vaut 1 droit. Les droites AB et CD
sont donc perpendiculaires à FG, ce qui montre
quelles sont parallèles (prop. 21). Remarque
Cest la proposition 28 dEuclide qui ne
nécessite pas le 5ème Postulat !
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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D7 - La 12ème édition, théorie des parallèles

Legendre peut alors conclure Proposition 23 Si
deux lignes droites AB, CD, font avec une
troisième EF, deux angles intérieur dun même
côté, dont la somme soit plus petite ou plus
grande que deux angles droits, les lignes AB, CD,
prolongées suffisamment, devront se rencontrer.
(5ème demande dEuclide). Preuve en images
animées
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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D8 - La belle  démonstration  (prop. 19)

Donnons enfin la démonstration ingénieuse de
Legendre. Chercher lerreur ! Dans tout triangle,
la somme des trois angles est égale à deux
droits. Preuve en images animées soit un
triangle ABC, dangles ?, ?, ?? tels que
AB  AC  BC, doù ?    ?    ? (prop. 14).
????  ?
Soit I1 le milieu de BC et K1 sur (AB) tel que
AK1  AI1. K1 est entre A et B et AK1 gt AB/2, car
dans le triangle ABC, la médiane AI1 est plus
petite que le plus grand côté AB (prop. 16).
Soit C1 sur (AI1) tel que AC1  AB et B1 sur
(AB) tel que AB1  2AK1. On a donc AB1 gt AB.
Soient ??, ??, ????????????????????????? AB1C1.
On montre que ?1?1?1 ?????avec
AB1  AC1  B1C1 et que de plus que ?1  ????

• ?(C1AK1)  ?(BAI1) (1er cas dégalité, prop.6),
  doù C1K1 BI1 CI1 et ?AK1C1?AI1B et
  ?AC1K1?ABI1?
• ?(B1C1K1 )   ?(ACI1 ) (car B1K1  AK1  AI1 et
  ?C1K1B1 ?AI1C car supp à ?AK1C1 et ?AI1B)
  doù B1C1 AC  AB  AC1  AB1, de plus,
  ?K1C1B1  ?I1CA  ? et ?C1B1K1?CAI1  ??

• ?Doù ??1  ?AC1K1?K1C1B1   ?
  ??????????????????et ?  ?CAI1  ?I1AB  
  ?1  ?1, donc ?  ? ??   ?1  ?1 ????
  et comme B1C1  AC1, ?1   ?1, et donc ?1 
   ? /2 

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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D8 - La belle  démonstration  (prop. 19)

On a donc obtenu ?1?1?1 ????? ?1?1 ??
avec AB1  AC1  B1C1 et ?1  ?????et aussi
aire(ABC)  aire(ACI1)  aire(AI1B)  aire(B1K1C1)
  aire(AK1C1)  aire(AB1C1) Soit à nouveau I2
le milieu de B1C1 et K2 sur (AB1) tel que
AK2  AI2. K1 est entre A et B1.Soit C2 sur
(AI2) tel que AC2  AB1 et B2 sur (AB1) tel que
AB2  2AK2. Soient ??, ??, ??????????????????????
??? A21C2. On obtient de même ?2 ?2 ?2 ?1
?1 ?1 ? ? ????avec AB2  AC2  B2C2 ,
?2  ?1/2 ????? et ?2?2 ?1???On a encore
aire(AB2C2)   aire(AB1C1) aire(ABC).
Même construction pour obtenir le triangle AB3C3,
avec ?3 ?3?3 ? ? ?? AB3  AC3  B3C3 et
?3  ?/23,de plus ?3?3 ?2?ainsi que
aire(AB3C3)   aire(ABC)
Et ainsi de suite, on obtient le triangle ABnCn,
avec ?n ?n?n ? ? ?? ABn  ACn  BnCn, ?n 
?/2, ?n?n ?n1 aire(ABnCn)  
aire(ABC)
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Les Éléments de Géométrie de Legendre

• D8 - La belle  démonstration  (prop. 19)

On a finalement pour tout n un triangle ABnCn tel
que ?n ?n ?n ?  ?  ???avec
ABn  ACn  BnCn, ?n ?n ?n, ?n  ???n?et??n ?n
?n1 Et aire(ABnCn)   aire(ABC) !
Soit xn langle extérieur en Cn au triangle ABnCn
?n 2 droits xn. On a donc ?  ?  ? 
?n ?n ?n   ?n1 2 droits  xn Quand n ? 8,
?n ? 0 et la droite dn qui porte (ACn) tend à se
confondre avec (AB), et xn ? 0.A la limite, on a
donc ?  ?  ?  2 droits. C.Q.F.D. Legendre
présente ainsi son raisonnement Mais on peut
concevoir que le triangle ABnCn varie dans ses
angles et ses côtés, de manière à représenter les
triangles successifs qui naissent ultérieurement
de la même construction et sapprochent de plus
en plus de la limite où les angles ?n et ?n
seraient nuls. Dans cette limite la droite ACndn
se confondant avec ABn, les trois points A, Cn,
Bn, finissent par être exactement en ligne droite
alors les angles ?n et xn deviennent nuls en
même temps que ?n, et la quantité 2D ?n ?n
xn, qui mesure la somme des trois angles du
triangle ACnBn, se réduit à 2D, donc dans tout
triangle la somme des trois angles est égale à
deux angles droits. Mais  à la limite , le
triangle ABnCn saplatit et son aire tend donc
vers 0. Pourtant elle est constante, égale à
laire du triangle donné ABC ! Legendre ne semble
pas avoir remarqué ce  détail  qui laisse
planer un doute certain sur son raisonnement.