Tema 8: Procesos Estoc

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Tema 8 Procesos Estocásticos
Los procesos estocásticos (PE) son Una
generalización de las variables aleatorias cuando
se manifiestan como función de un parámetro real
Un PE puede considerarse como Una familia de
variables aleatorias que se rigen por dos
argumentos normalmente uno temporal y otro, el
asociado a la noción convencional de variable
aleatoria
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Proceso Estocástico
Ejemplo Lanzamiento moneda dos veces repetido en
el tiempo
Consecuencia Los valores observados de la
variable X en el conjunto finito de tiempo t
1,2,,T (x1, x2, , xT) son la realización
muestral del proceso estocástico x(t1), x(t2),
x(t3), , x(tT)
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Desde esta perspectiva Una serie temporal no es
más que una REALIZACIÓN MUESTRAL de un proceso
estocástico El proceso estocástico ( x(t1),
x(t2), x(t3), , x(tT) ) tiene una distribución
de probabilidad conjunta P (x(t1), x(t2), ,
x(tT)) y una función de Distribución F ( x1,
x2, , xT t1, t2, , tT ) P ( x(t1)
x1 x(t2) x2 ., x(tT) xT )
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• CLASIFICACIÓN
• PE de estado discreto
• PE de estado continuo
• PE de parámetro discreto ó de parámetro tiempo
  discreto
• PE de parámetro continuo ó de parámetro tiempo
  continuo
• Si todas las variables aleatorias pertenecen a la
  misma familia de distribuciones, los PE
  correspondientes se denominan normales, de
  Poisson, binomiales, etc.

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• Si las variables aleatorias que constituyen el PE
  se concatenan de una forma especial, aparecen
• Medias móviles (MA)
• Autorregresivos (AR)
• Autorregresivos y medias móviles (ARMA)
• Cadenas de Markov
• P ( xn x1, x2, , xn-1 t1, t2, , tn-1)
  P ( xn xn-1 tn-1 )
• Son procesos sin memoria o de memoria nula

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• Caracterización de un proceso estocástico
• Mediante la distribución de probabilidad conjunta
• P ( x1, x2, x3, , xT )
• Mediante los momentos
• Media E x(t) µt
• Varianza Var x(t) s2(t) E (x(t) - µt)2
  
• Covarianza ó Autocovarianza Cov(t1,
  t2)E(x(t1)-µt1)(x(t2)-µt2)
• Autocorrelación ?(t1, t2) Cov (t1, t2) / s(t1)
  s(t2)

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PROCESOS ESTOCÁSTICOS ESTACIONARIOS Un PE es
estacionario si las funciones de distribución
para una sucesión cualquiera x(ti) en t1, t2, ,
tn y para t1 t, t2 t, , tn t son
idénticos, es decir, la función de distribución
no depende del origen Propiedades F(x t)
F(x t t) F(x1, x2 t1, t2) F( x1, x2 t1
t, t2 t ) si t - t1 F(
x1, x2 t2 t1 ) Momentos µt µ s2(t)
s2 ? ( t2 t1 ) ? (t2 t1)
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PRINCIPALES PROCESOS ESTOCÁSTICOS
ESTACIONARIOS 1.- Ruido Blanco (puramente
aleatorio)
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PRINCIPALES PROCESOS ESTOCÁSTICOS
ESTACIONARIOS 2.- Paseo ó Camino
aleatorio Ejemplo Cotizaciones
bursátiles 3.- Proceso Gaussiano
Distribución conjunta normal n-dimensional
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PRINCIPALES ESTOCÁSTICOS LINEALES 1.- Modelo
AR(p) Autorregresivos de orden p El
comportamiento de la variable x en el periodo t
viene explicado por una media ponderada de sus
p valores anteriores, en t-1, t-2, , t-p y un
término de error aleatorio (ruido blanco)
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PRINCIPALES ESTOCÁSTICOS LINEALES 1.1- AR(1)
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PRINCIPALES ESTOCÁSTICOS LINEALES 1.1- AR(1)
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PRINCIPALES ESTOCÁSTICOS LINEALES 2.- Modelo
MA(q) Medias móviles de orden q
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PRINCIPALES ESTOCÁSTICOS LINEALES 2.- Modelo
MA(q) Medias móviles de orden q