Vetores

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Vetores
2
Segmento de Reta Orientado

• Consideremos uma reta r e sejam A e B dois pontos
  de r
• Ao segmento de reta AB, podemos associar 2
  sentidos de A para B e de B para A
• Escrevemos AB para representar o segmento de
  reta AB associado com o sentido de A para B

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• AB é o segmento orientado de origem A e
  extremidade B
• BA é o segmento orientado de origem B e
  extremidade A
• Chamamos BA , oposto de AB
• Se A B então o segmento orientado AB BA é o
  segmento nulo, denotado por AA 0

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• Definida uma unidade de comprimento, a cada
  segmento orientado, pode-se associar um número
  real não negativo que é a sua medida em relação a
  esta unidade
• A medida do segmento AB é denotada por med(AB)
• Os segmentos nulos têm medida igual a zero.
• med(AB) med(BA)

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• Dados dois segmentos orientados não nulos AB e
  CD, dizemos que eles têm mesma direção, se as
  retas suportes destes segmentos são paralelas ou
  coincidentes
• Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos
  orientados, se eles têm a mesma direção
• Dois segmentos orientados opostos têm sentidos
  contrários, mas têm a mesma direção

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Exemplos Mesmo sentido
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Exemplo Sentidos Opostos
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Equipolência

• O segmento orientado AB é equipolente ao segmento
  orientado CD se
• ambos têm mesma medida e mesmo sentido
• se ambos são segmentos nulos
• Denota-se AB CD

9
Exemplos
10
Exemplos
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Propriedades

• 1. AB AB (reflexiva)
• 2. Se ABCD então CDAB (simétrica)
• 3. Se ABCD e CDEF então ABEF (transitiva)

12
Propriedades

• 4. Dados um segmento orientado AB e um ponto C,
  existe um único ponto D tal que ABCD
• 5. Se ABCD então BADC
• 6. Se ABCD então ACBD

13
Vetores

• Chamamos vetor determinado por um segmento
  orientado AB, ao conjunto de todos os segmentos
  orientados equipolentes a AB
• O vetor determinado por AB, indicamos por AB

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• Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se
  ABCD
• Um vetor AB é determinado por uma infinidade de
  segmentos orientados, que são chamados
  representantes desse vetor, e que são todos
  equipolentes entre si
• Os segmentos nulos são representantes de um único
  vetor, chamado vetor nulo, e denotado por 0

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• Dado um vetor v AB, chamamos o vetor BA oposto
  de AB e indicamos por -AB ou -v

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Propriedade

• Decorre da propriedade 6 de equipolência a
  implicação
• Se AB CD então AC BD

17

• Dado um vetor u , todos os seus representantes
  têm a mesma medida, chamada módulo do vetor u, e
  indicamos por u
• Dizemos que os vetores AB e CD não nulos têm
  mesma direção (mesmo sentido), se AB e CD têm
  mesma direção (mesmo sentido)
• Um vetor u é unitário se u 1. Chamamos versor
  de um vetor não nulo u, o vetor unitário que tem
  mesmo sentido de u, e indicamos por u

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• Dizemos que dois vetores não nulos são
  ortogonais, se podem ser representados por
  segmentos orientados ortogonais, e indicamos por
  u _v
• O vetor Nulo é ortogonal a qualquer outro vetor
  no espaço

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Soma Ponto vetor

• Dados um ponto A e um vetor v, existe um único
  ponto B tal que AB v. O ponto B é a soma do
  ponto A com o vetor v, Indicado por A v

20
Propriedades

• 1. A 0 A
• 2. (A v ) v A
• 3. Se A v B v então A B
• 4. Se A u A v, então u v
• 5. A AB B

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Soma Vetor Vetor

• Considere dois vetores u e v , e um ponto
  qualquer A. Sejam B A u e C B v
• O vetor s AC é chamado vetor soma de u e v e
  indicamos por s u v

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(No Transcript)
23

• Observemos que o vetor s u v independe do ponto
  A. De fato, se considerarmos outro ponto A
  obteremos B A u e C B v
• Assim, AB AB e BC BC

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• Usando a propriedade 1 de Vetores , concluímos
  que AA BB e BB CC
• AA CC e portanto AC AC

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Propriedades

• (1) u v v u ( comutativa )

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• (2) (u v) w u (v w) ( associativa )

27

• (2) (u v) w u (v w) ( associativa)

28

• (3) u 0 u ( elemento neutro )
• (4) u (-u) 0 ( elemento oposto )
• Indicamos o vetor u (- v) por u - v.

29

• Notemos que u v ? v - u

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Produto de um número Real por um Vetor

• Dados a R e v ? 0 , chamamos produto de a por
  v, o vetor w av , que satisfaz as condições
• 1. w a v
• 2. A direção de w é a mesma da v
• 3. O sentido de w é igual ao de v se a gt
• 0, e contrário ao de v se a lt 0
• Se a 0 ou v 0, o produto av é o vetor nulo

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Exemplos
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• Se a ? 0 , o produto 1/a v é indicado por v/a. Se
  v ? 0, é fácil mostrar que v/ v é o versor de
  v
• vº v/ v
• portanto v v v

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Propriedades

• Considere u e v vetores quaisquer, a e b números
  reais quaisquer
• (1) a(b v) (ab) v
• (2) a(u v) au av
• (3) (a b)v av bv
• (4) 1 v v

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Exercícios

• Dados u, v e w, encontre 2u -3v 1/2w

u
v
w
35
Exercícios 1

• Dados u, v e w, encontre 2u -3v 1/2w

w/2
-3v
u
v
w
2u
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Exercício 2

• O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores
  AB e AD, Sendo M e N pontos médios dos lados DC e
  AB. Encontre
• ADAB
• BADA
• AC-BC

M
D
C
A
B
N
37
Exercício 2

• ANBC
• MDMB
• BM-1/2DC

M
D
C
A
B
N
38
Exercício 2

• ADABAC
• BADACDDACA
• AC-BCACCBAB
• ANBCANNMAM
• MDMBMDDNMN
• BM-1/2DCBMMDBD

M
D
C
A
N
B